Les Nombres Premiers

Les Nombres Premiers
Yves Aubry
Cours de I 55 – L3 Info
Université du Sud Toulon-Var
Septembre 2008
Qu’est-ce qu’un nombre premier
?
C‘est un entier naturel
(élément de
N={0,1,2,3,…})
qui vérifie une propriété
de divisibilité.
Notion de divisibilité à
introduire…
Domaine de la Théorie des
Nombres
C’est la reine des
Mathématiques
A la fois très ancienne et
très actuelle
Médaille Fields
De nombreuses « médailles Fields » en théorie des
nombres ; par exemple :
- Jean-Pierre Serre (1954)
- Alan Baker (1970)
- Laurent Lafforgue (2002)
- Prix spécial à Andrew Wiles (1998)
Divisibilité
a divise b s’il existe un entier c tel que :
b=ac
Exemples
 2 divise 6 car 6=2 x 3
 3 ne divise pas 10 car le reste dans la division
euclidienne de 10 par 3 n’est pas nul.
Remarques
 Tout entier est divisible
par 1.
 Tout entier est divisible
par lui-même.
En effet, pour tout entier
n, on a:
n=1 x n
En effet, pour tout entier
n, on a :
n=n x 1
Définition
Un nombre premier est un entier naturel qui
est divisible par exactement deux entiers
naturels : 1 et lui-même.
Exemples
 1 n’est pas premier.
 2 est premier (c’est le seul entier pair qui soit
premier).
 3 est premier.
 4 n’est pas premier (4=2x2).
 5 est premier.
Théorème Fondamental de
l’Arithmétique
Tout entier non nul peut s’écrire (de manière
unique à l’ordre des facteurs près) comme
produit de nombres premiers.
Exemples
6=2x3
 5 500 = 2^2 x 5^3 x 11
 1 260 = ?
1 260 = 2 x 630 = 2^2 x 315 = 2^2 x 3 x 105
= 2^2 x 3^2 x 35 = 2^2 x 3^2 x 5 x 7.
 2^(2^5) +1 = 2 284 842 197 = ?
Démonstration
Supposons qu’il existe un entier qui ne s’écrive pas
comme produit de nbres premiers.
Soit N le plus petit tel entier.
Puisque N n’est pas premier, il s’écrit
N=nm avec 1<m,n<N.
Par définition de N, les entiers m et n sont des
produits de premiers ; et donc N(=nm) aussi :
contradiction.
Combien y a-t-il de nombres
premiers ?
Théorème
Il existe une infinité de nombres premiers.
Démonstration d’Euclide
Mathématicien grec du
IIIe siècle (AV. JC)
Démonstration (Euclide)
Supposons que la liste p_1=2, p_2=3,…, p_r, des
nombres premiers soit finie. Considérons alors
l’entier
P=p_1p_2…p_r +1
Soit p un nombre premier divisant P.
Il ne peut être égal à l’un des p_i car sinon il diviserait
la différence P-p_1p_2…p_r=1, ce qui est
impossible.
Donc, p est un nombre premier n’appartenant pas à la
liste.
Exercice
Démontrer qu’il existe une infinité de nombres
premiers de la forme 4n+1.
Indications
 Commencer par démontrer que si –1 est un carré modulo un
premier impair p alors p =1 (mod 4) (la réciproque est même
vraie).
 Considérer un entier n >1 et p un diviseur premier de
N=(n!)^2 +1. Montrer que p>n et que p=1 mod 4.
Reconnaître les
nombres premiers
Comment reconnaître qu’un
entier N est premier ?
1ère méthode : on tente de le diviser par les
entiers 2,3,4… jusqu’à la partie entière de
√N (le plus grand entier inférieur ou égal à √N).
Si aucun de ces entiers ne divise N alors il est
premier.
Exemple
37 est-il premier ?
Notons que E(√37)=6.
On regarde si 37 est divisible par les entiers
2,3,4,5 et 6.
Ce n’est pas le cas : on en conclut que 37 est
premier !
Liste des premiers nombres
premiers ?
On peut faire la liste des premiers nombres
premiers en procédant au crible
d’Eratosthène.
Eratosthène
Mathématicien,
astronome et
philosophe grec de
l'école d'Alexandrie
(vers 290 AV. J.-C.)
La méthode du crible
- On écrit tous les entiers jusqu’à N.
- On raye tous les multiples de 2 supérieurs à 2.
- A chaque étape, on raye tous les multiples du plus
petit entier p qui n’a pas été encore rayé, et qui sont
supérieurs à p.
- On le fait pour les p tels que p^2<N.
- Ceux qui ne sont pas rayés sont tous les premiers
<=N.
Crible
d’Eratosthène pour N=101
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Crible d’Eratosthène : multiples de 2
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Crible d’Eratosthène : multiples de 3
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Crible d’Eratosthène : multiples de 5
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Crible d’Eratosthène : multiples de 7
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Nombres premiers jusqu’à 101
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Critères de primalité
A-t’on des caractérisations des nombres
premiers ?
Autrement dit, p est premier si et seulement si
une formule est vérifiée ?
Petit théorème de Fermat
(Pierre de Fermat (16071665))
Si p est premier alors
pour tout entier a on
a que
p divise a^p –a.
Congruences
On dit que a est congru à b modulo n :
a=b mod n
si
n divise a-b.
Nouvelle Formulation du petit
théorème de Fermat
Si p est premier alors
a^p=a mod p
pour tout entier a.
En particulier, si p (premier) ne divise pas a alors :
a^{p-1}=1 mod p
Démonstration du petit
théorème de Fermat
 Si a=1 alors 1^p=1 mod p
 Hypothèse de récurrence : on suppose que
pour un certain a>=1, on a : a^p=a mod p.
On a : (a+1)^p=a^p+1=a+1 mod p
car les coefficients binomiaux C_p^k pour
1<=k<=p-1 sont divisibles par p (exercice!).
Donc, le résultat est vrai pour tout entier a.
Condition nécessaire
 On a 2^8=4 mod 9 donc 2^8 not= 1 mod 9
donc 9 n’est pas premier.
 La condition est-elle suffisante ?
Autrement dit, la réciproque du théorème de
Fermat est-elle vraie ?
Autrement dit, est-ce une caractérisation des
nombres premiers ?
Nombres de Carmichael
 Il existe des entiers n qui ne sont pas premier et qui
vérifient pourtant que a^{n-1}=1 mod n pour tout
entier 1<a<n premier avec n.
 Par exemple : 561=3.11.17
 Ils sont appelés nombres de Carmichael.
 Il en existe une infinité (Alford-GranvillePomerance (1992)).
Exercice
 Démontrer le théorème de Wilson qui
affirme que si p est premier alors
(p-1)!= -1 mod p.
 La réciproque est-elle vraie ?
Tests de Primalité
Il existe de nombreux tests de primalité
(Miller-Rabin, Solovay-Strassen…) basés sur
des propriétés arithmétiques des entiers.
Notion de nombres « probablement premiers ».
Primalité pour des nombres particuliers :
Nombres de Fermat I
Considérons les nombres de la forme :
2^m+1
Lemme : Si 2^m+1 est premier alors m est une
puissance de 2.
Dém : Si m admet un facteur impair r : m=r.2^t, alors
2^m+1=(2^{2^t})^r-(-1)^r est factorisable.
Primalité pour des nombres particuliers :
Nombres de Fermat II
On considère les nombres :
F_n=2^{2^n}+1
appelés nombres de Fermat.
F_0=3, F_1=5, F_2=17, F_3=257, F_4=65 537
Ils sont tous les cinq premiers !
Primalité pour des nombres particuliers :
Nombres de Fermat III
- Fermat a conjecturé que tous les F_n étaient
premiers.
- Euler a montré que F_5= 641x 6 700 417
- On ne connaît pas d’autre nombre de Fermat qui
soit premier en dehors des cinq premiers !
- Ceux dont on connaît la factorisation complète :
F_5, F_6, F_7, F_8, F_9 et F_11.
- On ne sait pas si F_22 est premier ou non.
Primalité pour des nombres particuliers :
Nombres de Fermat IV
Problème ouvert : existe-t-il une infinité de
nombres de Fermat premiers ?
Intérêt : Polygones réguliers
Théorème (Gauss) : Si n est
un entier >2, le polygone
régulier à n côtés peut être
construit à la règle et au
compas seulement si n=2^k
p_1…p_h
où k>=0, h>=0 et les p_i sont
des nombres de Fermat
premiers et distincts.
Primalité pour des nombres particuliers :
Nombres de Mersenne I
On considère les nombres de la forme
a^m-1
Primalité pour des nombres particuliers :
Nombres de Mersenne II
Lemme : Si a^m-1 est premier alors a=2.
Dém : a^m-1=(a-1)(a^{m-1}+…+1)
donc si cet entier est premier alors
nécessairement a-1=1, c’est-à-dire a=2.
Primalité pour des nombres particuliers :
Nombres de Mersenne III
Lemme : Si 2^m –1est premier alors m est
premier.
Dém : si m=pq alors 2^m-1=(2^p)^q-1^q
qui se factorise.
Primalité pour des nombres particuliers :
Nombres de Mersenne IV
Marin Mersenne (1588-1648)
Définition : Les nombres
M_p=2^p-1 avec p
premier sont appelés
nombres de Mersenne.
Record !!
- Le plus grand nombre de Mersenne premier connu
est M_24036583 :
224 036 583 - 1
- C’est un nombre à 7 235 733 chiffres.
- C’est le 41-ème nombre de Mersenne premier
trouvé.
- Il a été trouvé le 15 mai 2004.
- C’est le plus grand nombre premier connu.
Conjecture des nombres premiers
jumeaux
 Des nombres premiers
jumeaux sont des couples
de nombres premiers dont
la différence vaut 2 (par
exemple 11 et 13).
 Conjecture : il existe une
infinité de nombres
premiers jumeaux.
Problème ouvert…
Record !!
Le plus grand couple de premiers jumeaux est :
33218925 · 2169690 +-1
Ils possèdent 51 090 chiffres !
(Brillhart-Lehmer-Selfridge, 2000)
Conjecture de Goldbach
Christian Goldbach
(1690-1764)
Mathématicien prussien
4=2+2, 6=3+3, 8=3+5,…
Conjecture de Goldbach
 Dans une lettre à Euler en 1742, Goldbach
conjecture que :
(G) tout entier n>=5 est la somme de trois nombres
premiers.
 Euler lui répond qu’il est facile de voir que
l’assertion est équivalente à :
(G’) tout entier pair 2n>=4 est la somme de deux
nombres premiers.
Exercice
Montrer l’équivalence
des assertions (G) et (G’).
Toujours non démontré…
Factorisation
Difficulté ?
La factorisation de
grands entiers est
un problème
difficile.
Un vieil exemple
F_5=2^(2^5) +1 = 2 284 842 197 = ?
Tester sa primalité avec des tables : suppose que l’on
dispose d’une table de nombres premiers jusqu’à
100 000 (pas le cas de Fermat).
Des années après Fermat, Euler a montré:
2^(2^5) +1 = 641 x 6 700 417
Un calcul
 Divisions successives jusqu’à racine de n.
 D’après Tchebycheff, si pi(x) désigne le
nombre de nombres premiers inférieurs à x
(cf plus loin), on a, pour x>=11 :
pi(x)>(x/ln x)ln(2^(1/2)3^(1/3)5^(1/5)/30^(1/30))
Un calcul (suite)
Donc la méthode d'Ératosthène, pour factoriser un
nombre de 100 chiffres qui serait le produit de
deux nombres premiers de 50 chiffres,
nécessiterait plus de
10^(50)/ln 10^(50) x 0,92 divisions.
A raison de mille divisions par nanoseconde sur un
super-ordinateur, il faudrait donc la bagatelle de
2 x 10^(28) années…
ce qui est plus que l'âge de l'univers !!…
Rivest-Shamir-Adleman
R.S.A.
 Le cryptosystème à clef publique R.S.A.
(Rivest-Shamir-Adleman), proposé en 1976,
est basé sur cette difficulté.
 Un entier, connu de tous, est utilisé pour
crypter un message.
 Mais seuls ceux qui connaissent la
factorisation de cet entier peuvent déchiffrer
les messages.
C’est la cryptographie à clef
publique
Utilisations de la
cryptographie
 Codes secrets des cartes bancaires
 Transactions financières (transferts de fonds,
paiements électroniques,…)
 Télévision à péage
…
Comment se répartissent
les nombres premiers ?
Nombres premiers inférieurs à 101
11
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31
41
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81
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22
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25 26
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95 96
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7
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8
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88
98
Il y en a 26.
9 10
19 20
29 30
39 40
49 50
59 60
69 70
79 80
89 90
99 100
Théorème des nombres premiers
Hadamard et De La Vallée Poussin, 1896
Si l’on note pi(x) le nombre de premiers <=x,
on a :
pi(x) équivalent à x/log x
i.e. lim (x : infini) pi(x)/(x/log x) =1
Une meilleure approximation
Une meilleure approximation de pi(x) que
x/log x est donnée par la fonction intégrale
logarithmique :
Li(x)=int_2 ^x dt/log t
Résultat conjectural
Sous l’Hypothèse de Riemann (qui
dit qu’une certaine fonction (la
fonction zêta de Riemann introduite
en 1859) n’a des zéros non triviaux
que sur une certaine droite (la
droite Re(s)=1/2)), on a :
pi(x) = Li(x)+O(sqrt{x} log x)
(pi(x)-Li(x) est une fonction dominée par
sqrt{x}log x, i.e. qu’il existe une fonction u
bornée au voisinage de l’infini telle que
pi(x) – Li(x) = u(x)sqrt{x}log x
au voisinage de l’infini )
Bernhard Riemann
Postulat de Bertrand
Entre tout entier n>1 et 2n,
il y a toujours un nombre premier.
Autrement dit : pi(2n)-pi(n)>=1 pour n>=2.
(démontré par Tschebycheff en 1852)
Deux corollaires au théorème
des nombres premiers
Le n-ième nombre premier
Si p_n désigne le n-ième nombre premier, le
théorème des nombres premiers donne :
p_n équivalent à n log n
Probabilité de tirer un premier
Soit n un entier. Puisque n/log n des n entiers
inférieurs à n sont premiers (théorème des nombres
premiers), la probabilité que l’un d’entre eux soit
premier est donc :
1/log n
Par exemple : un nombre de 100 chiffres a une chance sur
log 10^100 =230 d’être premier.
Une formule pour pi(n)
(Willians, 1964) :
 Posons : F(j)=[cos^2 pi ((j-1)!+1)/j]
 Par Wilson, pour j>1, F(j)=1 si j est premier
et 0 sinon (F(1)=1).
 D’où : pi(n)=-1 + sum_{j=1}^n F(j)
Espacements entre nombres premiers
consécutifs
Que peut-on dire de la différence d_n=p_n+1 –p_n
entre deux nombres premiers consécutifs ?
d_n peut être arbitrairement grand : en effet, pour tout
N>1, il existe une succession d’au moins N entiers
consécutifs non premiers ;
par exemple : (N+1)!+2, (N+1)!+3,…, (N+1)!+(N+1)
Nombres premiers en progression
arithmétique
Dirichlet a démontré en 1837 qu’il y en a une
infinité
(théorème dit de la progression arithmétique)
Plus précisément :
Théorème de Dirichlet
Si d>=2 et a not=0 sont
premiers entre eux alors la
progression arithmétique
a, a+d, a+2d, a+3d,…
contient une infinité de
nombres premiers.
Curiosité :
un polynôme ayant une longue
série de valeurs premières
Le polynôme d’Euler
Le polynôme
X^2 + X + 41
prend des valeurs premières
pour les 40 valeurs
0, 1, 2, …, 39.
Leonhard Euler
1707-1783
(pour 40, la valeur est 41^2)
Sujet inépuisable…
Fin
Annexes : solutions des exercices
Annexe : p divise C_p^k
Soit 1<=k<=p-1. On a :
p!=C_p^k k! (p-k)!
Puisque C_p^k est un entier et que p divise p!,
on en déduit que :
p divise C_p^k k! (p-k)!
Or, p est premier avec k! (p-k)! (car 1<=k<=p-1) ;
d’après le théorème de Gauss, on en déduit
donc que p divise C_p^k.
Annexe : Théorème de Wilson
Soit p premier. Il s’agit de démontrer que
(p-1) ! = -1 mod p.
D’après le petit Th. de Fermat, 1, 2, …, p-1 sont
racines de X^{p-1} –1 mod p.
Ce polynôme ne peut avoir plus de racines modulo p
(p premier !) que son degré.
Donc X^{p-1} –1 = (X-1)(X-2)…(X-(p-1)) mod p.
En comparant les termes constants, on obtient :
-1 = (-1)^{p-1} (p-1)! mod p
= (p-1)! mod p (car ou bien p=2 ou bien p impair).
Annexe : réciproque Wilson
Par contraposée.
Si N>1 est non premier alors
N=nm avec 1<n,m<N-1.
Donc m divise N et aussi (N-1)!
(car (N-1)!=1.2….(N-1) et m<N-1).
Donc (N-1)!not= -1 mod N
car sinon il existerait un entier k tel que
(N-1)! + k N = -1
et m diviserait (N-1)! + k N = -1.
Annexe : réciproque Wilson bis
Une autre façon de démontrer la réciproque
du Th. De Wilson consiste à remarquer que si
(n-1)!= -1 mod n
alors –1.(n-1)!=1 mod n, que l’on peut aussi écrire :
(-1)(1)(2)…(n-1) = 1 mod n.
Cela montre que tout élément non nul est inversible
modulo n (donc Z/nZ est un corps) et donc que n est
premier.
Annexe : équivalence Goldbach
(G) Tout entier n>=5 est la somme de trois nombres premiers.
(G’) Tout entier pair 2n>=4 est la somme de deux nombres
premiers.
(G’) implique (G) : 2n-2=p+p’où p et p’ sont premiers. Ainsi
2n=2+p+p’ et 2n+1=3+p+p’, ce qui démontre (G).
(G) implique (G’) : si 2n>=4 alors 2n+2=p+p’+p’’ où p,p’,p’’
sont premiers. Un de ces premiers est alors nécessairement
pair, par exemple : p’’=2 ; donc 2n=p+p’, d’où (G’).
Annexe : les carrés modulo p premier impair
Proposition : Un élément x est un carré modulo un
premier p impair ssi x^{(p-1)/2}=1.
Dém : Il y a au plus (p-1)/2 éléments vérifiant cette égalité car
ce sont les racines d’un polynôme de degré (p-1)/2 dans un
corps.
D’autre part, si x est un carré alors il vérifie cette équation car :
si x=a^2 mod p alors x^{(p-1)/2}=a^{p-1}=1 mod p (par
Petit Fermat). De plus, il y a (p-1)/2 carrés non nuls modulo
p (car x donne x^2, pour x non nul modulo p, a pour noyau
{1,-1}).
Annexe :-1 carré modulo p
Proposition : –1 est un carré modulo p premier impair
ssi
p=1 mod 4.
Dém : -1 est un carré modulo p ssi
(-1)^{(p-1)/2}=1 mod p (propostion précédente)
ssi (p-1)/2 est pair
ssi p = 1 mod 4.
Annexe : Premiers p=1 mod 4
Proposition : Il existe une infinité de premiers de la forme
4m+1.
Dém :
 Soit n un entier>1 et p un diviseur premier de N=(n!)^2+1.
 Si p<=n alors p divise n! donc p divise 1=N-(n!)^2 :
absurde. Donc, p>n.
 On a : -1=(n!)^2 mod p donc –1 est un carré modulo p, donc
p=1 mod 4 par la proposition précédente.
 Conclusion : pour n aussi grand que l’on veut, on peut
trouver un premier p plus grand que n et de la forme 4m+1.
 CQFD.
Annexe :
Liste des nombres premiers inférieurs à 1010
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139
149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211
223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367
373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443
449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523
541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613
617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691
701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787
797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877
881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971