Parallélogrammes

Parallélogrammes
Remarque
1) Parallélogrammes
2) Parallélogrammes particuliers
3) Aire d’un parallélogramme
Remarque
B
B
A
A
C
D
ABCD est un quadrilatère
non croisé.
C
D
ABDC est un quadrilatère
croisé.
Dans la suite, nous ne parlerons que de
quadrilatères non croisés.
1) Parallélogrammes
a) Définition
b) Propriétés
c) Comment reconnaître un parallélogramme
a) Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère
dont les côtés opposés sont parallèles.
b) Propriétés
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors
ses diagonales ont le même milieu et ce point
est le centre de symétrie de ce parallélogramme.
A
B
O
D
O est le centre de symétrie, donc :
C
AB = CD
BC = AD
ABC = CDA
DAB = BCD
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors :
• ses angles opposés ont la même mesure;
• ses côtés opposés sont de même longueur.
c) Comment reconnaître un parallélogramme
Les réciproques de ces propriétés sont vraies.
Exemple :
Si un quadrilatère a ses diagonales
qui se coupent en leur milieu, alors
c’est un parallélogramme.
A
B
Si :
O milieu de [AC] et de [BD].
O
D
Alors :
C
ABCD est un parallélogramme.
• Si un quadrilatère a
ses côtés opposés égaux, alors c’est un parallélogramme.
• Si un quadrilatère a
2 côtés opposés parallèles et égaux, alors c’est un parallélogramme..
• Si un quadrilatère a
ses angles opposés de même mesure, alors c’est un parallélogramme.
Ces réciproques peuvent permettre de :
• tracer un parallélogramme ;
• reconnaître un parallélogramme ;
• démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme.
2) Parallélogrammes particuliers
a) Le rectangle
b) Le losange
c) Le carré
a) Le rectangle
• Propriétés
Si un quadrilatère est un rectangle, alors :
• il a quatre angles droits ;
• c’est un parallélogramme ;
• ses diagonales ont la même longueur ( et le même milieu ) ;
• il a un centre de symétrie et deux axes de symétrie
(médiatrices des côtés).
• Comment reconnaître un rectangle
Si un parallélogramme a un angle
droit, alors c’est un rectangle.
Si :
EFGH est un
parallélogramme
dont l' angle F̂ est droit,
Alors :
EFGH est un rectangle.
Si un parallélogramme a ses diagonales
de même longueur, alors c’est un
rectangle.
Si :
• AC = BD et
• [AC] et [BD] ont le même milieu,
Alors :
ABCD est un rectangle.
b) Le losange
• Propriétés
Si un quadrilatère est un losange, alors :
• il a 4 côtés de même longueur ;
• c’est un parallélogramme ;
• ses diagonales sont perpendiculaires ( et ont le même milieu ) ;
• il a un centre de symétrie et deux axes de symétrie (ses
diagonales).
• Comment reconnaître un losange
Si un parallélogramme a 2 côtés
consécutifs de même longueur,
alors c’est un losange.
Si :
EFGH est un parallélogramme et EF = FG,
Alors :
EFGH est un losange.
Si un parallélogramme a ses diagonales
perpendiculaires, alors c’est un losange.
Si :
• AC  BD et
• [AC] et [BD] ont le même milieu,
Alors :
ABCD est un losange.
c) Le carré
• Propriétés
Un carré est à la fois un rectangle et un losange.
Il a donc toutes les propriétés de ces deux quadrilatères.
• Comment reconnaître un carré
Pour démontrer qu’un quadrilatère
est un carré, il faut prouver que
c’est à la fois un rectangle et un
losange.
Si :
• [AC] et [BD] ont le même milieu;
• AC = BD;
• (AC)  (BD).
Alors :
ABCD est un carré.
3) Aire d’un parallélogramme
a) Exemple
b) Formule
a) Exemple
Soit un parallélogramme tel que :
Côté = 1O cm
Hauteur = 5 cm
En le découpant suivant les pointillés, on obtient la figure
suivante :
C’est un rectangle.
Son aire est 5  10 = 50 cm ².
Donc l’aire de ce parallélogramme est de 5O cm ².
b) Formule
Côté = c
Hauteur = h
Pour calculer l’aire d’un parallélogramme, on multiplie la
longueur d’un côté par la hauteur relative à ce côté.
Aire d’un parallélogramme
= côté x hauteur correspondante
=cxh