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Observation du théorème de Moivre-Laplace
• Planche de galton
Applications de l’étude des
fluctuations
d’échantillonnage dans les
nouveaux programmes de
première
Animation nouveau programme de
première
Mai 2011
– Partie 1 –
Étude de la fluctuation
d’échantillonnage
Un minimum de « théorie »
p
n tirages avec remise.
X nombre de boules
rouges
X suit la loi binomiale de moyenne
E(X) = np et d’écart type n p(1 p)
F  1 X correspondant à la fréquence des
n
boules rouges a pour moyenne
E(F)  1 E(X)  p
n
et pour écart type
p(1 p)
1
1
 (F)   (X)  np(1 p) 
n
n
n
Pour n « assez grand » la loi binomiale est
proche d’une loi normale et
F suit approximativement la loi normale de
moyenne p
et d’écart type p(1 p)
n
Pour une loi normale, environ 95 % des
observations se font dans un intervalle de
rayon 2 écarts types autour de la moyenne.
Intervalle de fluctuation de 95 % des
observations :
p(1 p)
n
[p–2
p(1 p)
n
; p+2
]
On peut majorer cet intervalle :
p(1 p)  1
4
d’où
2
p(1 p) 1

n
n
Intervalle de fluctuation de plus de 95 % des observations du programme de 2nde
[ p– 1
n
; p + 1
n
]
Observations par simulation
Échantillon n° 1 : f 1 = 0,61
...
0,80
0,75
0,70
0,65
0,60
0,55
0,50
0,45
0,40
0
Population :
p = 0,6
Roue 1
Échantillon n° 50 : f50 = 0,51
Roue 2
Roue 3
10
20
30
40
50
Fréquences f1, f2, ..., f50
obtenues sur les 50 échantillons
0
5
10 15 20
Distribution
d’échantillonnage
1
0,99
0,98
0,97
0,96
0,95
0,94
0
200
400
Roue 1
600
Roue 2
800
1000
Roue 3
Observation_theorie_Echantillonnage.xls
Quels obstacles, quelles questions ?
· Bien distinguer population et échantillon(s).
· Définition de « échantillon ».
· Intérêt de certaines « images mentales » comme l’urne (de
Bernoulli) ou la roulette.
· Nécessité d’expérimenter, physiquement et par simulation.
· La définition de l’intervalle de fluctuation s’énonce en
termes de probabilité.
· La formule de l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %
n’est pas à faire apprendre aux élèves de seconde.
– Partie 2 –
La prise de décision
Un minimum de « théorie »
p = p0 ?
échantillon
f connu
On fait l’hypothèse que la proportion de boules
rouges dans l’urne est p = p0 .
Si l’hypothèse est vraie, on sait que la
probabilité qu’un échantillon aléatoire de taille n
fournisse une fréquence dans l’intervalle (de
fluctuation) [ p0 – 1 , p0 + 1 ]
n
n
est environ (ou supérieure à) 0,95.
On prélève un échantillon aléatoire de taille n dans
l’urne sur lequel on observe une fréquence f de
boules rouges. En 2nde, on suit la règle de décision
suivante :
– Si f appartient à [ p0 – 1 , p0 + 1 ],
n
n
on accepte l’hypothèse p = p0 au seuil de 5 %.
– Si f n’appartient pas à [ p0 – 1 , p0 + 1 ],
n
n
on rejette l’hypothèse p = p0 au seuil de 5 %.
•Les nouveaux programme de 1ère permettent de
définir plus formellement l’intervalle de fluctuation:
L’intervalle de fluctuation à 95 % d’une fréquence
correspondant à la réalisation, sur un échantillon
aléatoire de taille n, d’une variable aléatoire X de loi
a b
binomiale, est l’intervalle  ;  où
n n
• a est le plus petit entier tel que P(X a) > 0,025 ;
• b est le plus petit entier tel que P(X b)  0,975.
Cette définition permet donc de réinvestir:
•le cours de probabilités
•l’algorithmique pour trouver les bornes de l’intervalle de
fluctuation.
…pour résoudre des problèmes !
•Fin des apports théoriques…en attendant les questions.