PHY106B-MAgneto

II- Loi de Biot et Savart
La loi de Biot et Savart relie les sources (courant) au champ magnétique crée en
tenant compte de la géométrie du système support du courant électrique.
•Le champ magnétique crée en M est donné par :
I
xM
dl S



0
idl  SM
B( M ) 
 ) SM 3
4 ( conducteur
Unités B en Tesla
0  4 .107 H . m1
dB
i
 Spire circulaire

R
x
M
Par raison de symétrie de révolution autour de l’axe Ox, le champ magnétique total en M est
dirigé selon Ox et dans le sens des x croissants (règle du tire bouchon).
Un élément de longueur de la spire crée un champ magnétique élémentaire donné par :



0 idl  SM
dB( M ) 
4 SM 3
1ère méthode( intégration)
Les deux vecteurs


dl et SM
sont orthogonaux et sachant que le champ total est dirigé selon Ox, on ne va retenir que la
composante du champ élémentaire selon cet axe :

 idl

dB( M )  0
sin

u
x
4 SM 2

0
idl
0i
Sin2
0i 3 


B( M ) 
.2R 2 sinux 
sin ux
2 sin ux 

4 ( spire) SM
4
R
2R



SM  SO  OM
2ème méthode



0
idl  SM
B( M ) 
 ) SM 3
4 ( spire

2
S  R ux


 
 


dl  OM    dl   OM  0

 ( spire ) 
( spire )



 dl  SO  2S
( spire )
orienté par le sens du courant dans la spire.


0i 2S
0i 3 
B( M ) 
sin  ux
3 
4 SM
2R
Allure du champ magnétique crée par la spire su son axe .
B(x)
i
x
R
Si on considère une bobine plate constituée de N spires avec un rayon moyen R et de faible épaisseur, le
champ magnétique crée par la bobine en un point de son axe est Nx le champ magnétique crée par une
spire.
1)Bobines de Helmholtz
Utilité : c’est l’un des rare système qui permet de réaliser un champ magnétique constant
dans un certaine région de l’espace. La condition repose sur le choix d’un écartement des
deux bobines d’une distance égale à leur rayon moyen.
Bobines identiques
comportant N spires parcourues
par un courant I
Composition des champs magnétiques des deux bobines
Bobines de Helmholtz
Induction magnétique totale en fonction de la distance x sur l’axe
i
i
x
i i
x
d>R
d=R

 
4 
B( M )  B(O)1  1152
.
4
R 

x  
Ecart par rapport à l’origine
Symétrie en Magnétostatique
Le champ magnétique est un champ axial et se transforme par les opérations de
symétrie différemment que le champ électrostatique ( champ polaire).
Ci-dessous les transformations d’un champ magnétique par des plans de symétrie et
d’antisymétrie.
PS
PAS
Champ magnétique = Champ axial
I.III. Théorème d’Ampère
1.Enoncé
Soit une boucle de courant © parcourue par un courant i.
Soit un parcours fermé (g) et orienté de façon arbitraire.
si (g) intercepte la boucle © : la circulation du champ magnétique sur le parcours (g) est égale à
 0i
Si (g) n’intercepte pas la boucle © : la circulation du champ magnétique sur le parcours (g) est nulle.
 
 B.dl  0i
Formulation mathématique
Si (g) intercepte ©
(g )
 
 B.dl  0i
(C)
(C)
i
i
ng
ng
( g)
(g)
(g)
(-)
(+)
Si (g) n’intercepte pas ©
Applications du théorème d’Ampère.
Fil rectiligne infini parcourue par un courant constant
ng
i
r
(g)
Symétrie de révolution implique que le champ magnétique a une norme dépendante uniquement de r.
Le sens de B est défini par la règle du tire bouchon - ou la règle du Bonhomme d’Ampère
( couché sur le fil et regardant le point ou on cherche le champ magnétique,
sa main gauche indique la direction du champ magnétique).
Le sens du parcours (g) est choisi de telle façon que sa normale soit dans le sens de i.
Le fil ayant une longueur infini, on peut considérer que c’est une boucle de courant de rayon infini.
Le théorème d’Ampère donne :
 

0i 
( g )B.dl  0i  B.2r  B(r )  2r u
Champ magnétique crée par un solénoïde de longueur infini

i
B


•
1 : n’intercepte pas de courant et il est situé à l’intérieur du solénoide.
La circulation de B est nul implique que B est uniforme dans le solénoïde :
 
 B.dl  B .l  B .l  B
uniforme dans le solénoïde.
( 1)
3 : intercepte des courants et la circulation est :
 


B
.
dl

B
.
l


nli

B


ni
(

u
int
0
int
0
x)

(  3)
2 : extérieur au solénoïde. La circulation sur ce parcours est nulle et donc B est uniforme à l’extérieur
du solénoïde. La valeur de B est nécessairement nulle en dehors du solénoïde.
Champ magnétique d’un solénoïde dans le cas où l’on ne tient pas
compte des effets de bords (solénoïde de longueur infinie)
Conducteur massif de longueur infini parcouru par
un courant i de densité j constante
Plan d'Antisymétrie
Plan de symétrie
Symétrie :
•Axe de révolution implique que B ne dépend que de r.
•Plan de symétrie : tout plan contenant l’axe du conducteur
•Plan d’antisymétrie : tout plan perpendiculaire à l’axe du conducteur
•Règle du tire Bouchon : fixe le sens de B
•Symétrie de translation : B indépendant de z.
Calcul de B à l’extérieur
(g)
R
 
0i
B. dl  0i  B.2r  Bext 

2r
( spire )
r
Calcule de B à l’intérieur
 
0 jr
0ir
2
B. dl  0 j.r  B.2r  Bint 

2

2
2

R
( spire )
Flux d’un champ magnétique à travers une spire parcouru par un courant.
i
B
n
La surface délimité par la spire est orienté positivement par le sens de (i) par la règle du tire-bouchon.
Flux du champ magnétique
   
   B.dS  B.S  i.L
(S)
si le champ magnétique est uniforme.
L= coefficient d’auto induction (Henry)
Calcul de l’inductance d’une longueur l d’un solénoïde
i
B
Le champ magnétique est uniforme à l’intérieur du solénoïde :


B   0niux
Le flux de B à travers les nl spires se trouvant sur la longueur l est :
 
  nlB.S  0n2ilS  iL
L’inductance d’une longueur l d’un solénoïde est :
L  0n 2 Sl
Unité (H : Henry)
Coefficient d’induction mutuelle entre deux portions
de deux solénoïdes de même section
i
i
B
Le flux du solénoïde (1) à travers n2l spires du solénoïde (2) est :


12  B1 .n2 lS2  0n1n2 S2 li1  L21i1  Mi1
Donc le coefficient de mutuelle-induction est M=L21=L12, son signe est positif si
les courants sont orientés dans le même sens sinon , il est négatif.
Inductance propre d’une bobine torique de N spires
rectangles ((b-a),c) parcourues par i
Montrer que le champ magnétique
est donné par :
i
 0 Ni 
B
u
2r
En calculant le flux, en déduire que l’inductance est de la forme:
b
a
0 N 2
b
L
(b  a) Ln
2
a