Propriétés des Déterminants Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Introduction Nous présentons dans ce diaporama les propriétés des déterminants. Dans chaque cas, l’idée de la preuve est illustrée à l’aide de déterminants d’ordre 3, mais il est facile de voir comment on peut généraliser ces illustrations pour en faire une démonstration. Nous utiliserons ces propriétés pour simplifier le calcul d’un déterminant en faisant apparaître des zéros sur une ligne ou une colonne. Elles nous serviront également pour démontrer la méthode de Cramer pour un système de trois équations à trois inconnues. Cette démonstration est facilement généralisable sous la forme que nous présenterons. Ces propriétés nous permettront également de comprendre pourquoi le produit d’une matrice carrée A et de son adjointe donne une matrice scalaire dont le scalaire est det A. Propriétés du déterminant Propriété 1 Si tous les éléments d’une ligne (ou d’une colonne) d’une matrice carrée A sont nuls, alors : S det A = 0 Idée de la preuve a11 0 Soit A = a21 0 a31 0 a13 a23 . a33 En développant le déterminant selon la colonne de zéros, on obtient : det A = 0 C12 + 0 C22 + 0 C32 = 0 , par le développement de Laplace. On constate facilement qu’il suffit de procéder de la même façon, quelle que soit la dimension de la matrice carrée, pour montrer que le déterminant d’une matrice ayant une ligne (ou une colonne de zéros) est nul. Propriétés du déterminant Propriété 2 Soit A, une matrice carrée et B obtenue en multipliant les éléments d’une ligne ou d’une colonne de A par un nombre réel k. Alors : S det B = k det A Idée de la preuve a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a31 a32 a33 et B = a21 a22 a31 a32 Soit A = ka13 ka23 . ka33 En développant le déterminant selon la colonne qui a été multipliée par k, on obtient : det B = ka13 C13 + ka23 C23 + ka33 C33 , par le développement de Laplace = k (a13C13 + a23 C23 + a33 C33) , par mise en évidence = k det A. Exemple 3.3.1 Calculer le déterminant de la matrice A = 1/5 1/5 2/5 4 8 16 . S 7/2 3/2 5/2 Tous les éléments de la première ligne ont 1/5 comme facteur, ceux de la deuxième ligne ont tous 4 comme facteur et ceux de la troisième ligne ont 1/2 comme facteur. On a donc : 1/5 1/5 4 8 7/2 3/2 det A = 2 = 5 1 2 4 3 5 1 2/5 1 1 4 1 16 = 5 2 7 5/2 –1 1 4 7 5 +2 1 2 7 3 1 2 2 4 3 5 2 –2 2 = 5 [1(10 – 12) – 1(5 – 28) + 2(3 – 14)] = 5 [–2 + 23 – 22] = 5 Le déterminant de cette matrice est –2/5. Propriétés du déterminant Propriété 3 Soit A, une matrice carrée d’ordre n, et k, un nombre réel. Alors : S det (kA) = kn det A Idée de la preuve a11 a12 Soit A = a21 a22 a31 a32 a23 , alors kA = ka21 ka22 ka23 . ka31 ka32 ka33 a33 ka a12 ka a13 a22 ka21 ka22 ka23 = k32 a21 ka a31 ka a32 ka31 ka32 ka33 ka a23 ka11 ka12 ka13 det kA = ka11 ka12 ka13 a13 a11 = k3 det A ka a33 De la même façon, on montre que pour un déterminant d’ordre n, on a : det (kA) = kn det A Propriétés du déterminant Propriété 4 Soit A, une matrice carrée d’ordre n. Si une matrice B est obtenue en permutant deux colonnes (ou deux lignes) consécutives de la matrice A, alors : det B = – det A S Idée de la preuve a b c a c b e f Soit A = d et B = d f e . g h i g i h a c b f e = –c(dh – ge) + f(ah – gb) – i(ae – db) det B = d g i h = –[c(dh – ge) – f(ah – gb) + i(ae – db)] =– a d g b e h c f i = – det A S S Propriété 5 Propriétés du déterminant Soit A, une matrice carrée d’ordre n. Si une matrice B est obtenue en permutant deux colonnes (ou deux lignes) quelconques de la matrice A, alors : det B = – det A S Idée de la preuve Supposons que l’on veutcolonnes permuter(ou la première et la quatrième colonne En permutant deux deux lignes) consécutives, on du déterminant suivant :par –1. On a donc : multiplie le déterminant = –1 = (–1)5 = (–1)2 = (–1)3 = (–1)4 Chaque fois que l’on veut changer deux colonnes (ou deux lignes) de position, le nombre de permutations est 2k + 1, où k est le nombre de colonnes (ou de lignes) entre celles que l’on veut permuter. S On multiplie donc le déterminant par (–1)2k+1 = –1, ce qui revient à changer le signe du déterminant et det B = – det A. Propriétés du déterminant Propriété 6 Soit A, une matrice carrée d’ordre n. Si deux colonnes ou deux lignes de A sont identiques, alors : S det (A) = 0 Idée de la preuve b a b On peut, de lefaçon plus simple, tenirla Développons déterminant selon e e . Soit A = d le raisonnement première colonne. suivant : g h h b a b Soit A une matrice carrée ayant deux colonnes (ou deux lignes) e e det A = dLa permutation = a(eh – he) – d(bh – hb) +(ou g(bede– ces eb) =deux 0 identiques. de ces deux colonnes g heffeth de changer le signe du déterminant. ParS lignes) a pour ailleurs, cette permutation donne le même déterminant. On doit Dans une matrice de dimension n, en choisissant judicieusement la donc avoir : colonne ou la ligne du développement, on parvient toujours à des A = – det d’oùayant 2 det A = 0 colonnes et det A =(ou 0 deux lignes) déterminantsdet d’ordre plusA,petit deux identiques. Propriétés du déterminant Propriété 7 Soit A, une matrice carrée d’ordre n. Si deux colonnes ou deux lignes de A sont proportionnelles, alors : S det (A) = 0 Idée de la preuve a b Soit A = det A = kb d e ke . Par les propriétés 2 et 6 , on a : g h kh a b kb d e ke g h kh =k a b b d e e g h h = k 0 = 0 Propriétés du déterminant Propriété 8 Si chaque élément d’une colonne où d’une ligne d’une matrice carrée A est la somme de deux termes, alors le déterminant de A peut être écrit comme une somme de deux déterminants. S Idée de la preuve a b c+r d e a b a – (f + s) det A = d e f + s = (c + r) + (i + u) g h g h d g h i+u b e S En distribuant : =c d e –f g h a g h d e f g h i +i a b d e a b r a b c = b + d e s g h u +r d e g h –s a b g h +u a b d e Le déterminant de A peut donc être écrit comme une somme de deux déterminants. Propriétés du déterminant Propriété 9 Si B est une matrice carrée d’ordre n formée de tous les éléments d’une matrice A, à l’exception d’une colonne (ou d’une ligne) à laquelle on a ajouté un multiple d’une autre colonne (ou d’une autre ligne), alors det B = det A. S Idée de la preuve a b Soit A = d e g det B = h c f et B = i a b + ka c d e + kd f g h + kg i = = a b + ka c d e + kd f . g h + kg i a b c d e f g a h b i c d e f g h i + S a ka b d kd e g kg h + 0 = det A S Propriétés du déterminant Propriété 10 Si A est une matrice triangulaire supérieure (ou inférieure) d’ordre n. Alors, le déterminant de A est le produit des éléments de sa diagonale principale. On écrit symboliquement : det A = a11 a22 a33 … ann S Idée de la preuve a11 a12 a13 Soit A = det A = 0 a22 a23 . En développant le déterminant selon la première colonne, on obtient : 0 0 a33 a11 a12 a13 0 a22 a23 0 0 a33 = a11 a22 a23 0 a33 = a11 (a22 a33 – 0) = a11 a22 a33 Procédure Calcul et propriétés pour calculer un déterminant à l’aide des propriétés 1. Repérer la colonne (ou la ligne) où il est plus simple de faire apparaître des zéros. 2. Faire apparaître les zéros en ajoutant à une colonne (ou à une ligne) un multiple d’une autre colonne (ou d’une autre ligne). Répéter le procédé au plus grand nombre de colonnes (ou de lignes) : Ci Ci + kCj , où k R ou Li Li + kLj , où k R 3. Développer le déterminant selon la colonne (ou la ligne) contenant les zéros. 4. Si nécessaire, refaire les opérations dans le déterminant d’ordre n – 1. Exemple 3.3.4 4 2 –2 –5 4 1 –2 3 Soit A = . Utiliser les propriétés pour calculer det A. 5 3 –5 6 S 2 –2 5 –4 Par de faisons apparaître des zéros zéros sur sur la la Développons le déterminant selon la deuxième ligne.des Par des des opérations opérations de colonnes, lignes, faisons apparaître deuxième en en considérant l’élément a22élément comme apivot. deuxième ligne colonne considérant le nouvel 22 comme pivot. 2 4 2 –2 –5 C1 – 4C2 –4 0 1 4 1 –2 3 C2 det A = = 3 5 3 –5 6 C3 + 2C2 –7 2 –2 5 –4 C4 – 3C2 10 –2 –4 = 1 –7 10 2 –11 L1 – 2L2 10 1 –3 = L2 –7 17 1 2 L3 – L2 2 –11 0 0 1 –3 1 2 S S 0 –5 1 –3 = 1 (50 + 85) = 135 0 5 Remarque Lorsqu’on fait apparaître des zéros dans un déterminant, il faut appliquer correctement la propriété 9. On doit faire apparaître les zéros en ajoutant à une colonne (ou à une ligne) un multiple d’une autre colonne (ou d’une autre ligne). Ci 1Ci + kCj , où k R ou Li 1Li + kLj , où k R Dans cette écriture symbolique, le coefficient de la colonne ou de la ligne modifiée est 1. Il ne faut pas multiplier une colonne (ou une ligne) par une constante avant de lui additionner un multiple d’une autre colonne (ou d’une autre ligne) car alors on multiplie la valeur du déterminant par cette constante. Ainsi, on ne peut faire une opération du genre L2 2L2 – 3L1, comme on faisait sur les matrices car cela a pour effet de multiplier la ligne, donc le déterminant, par 2. Exercice 3 1 –2 4 1 1 4 –5 Soit A = . Utiliser les propriétés pour calculer det A. 2 –3 2 1 S 4 –2 2 2 Par des Développons des opérations opérations le déterminant de de colonnes, lignes, selon faisons faisons la troisième apparaître apparaître colonne. des des zéros zéros sur sur la troisième ligne colonne en en considérant considérant le nouvel l’élément élément a33 comme a33 comme pivot.pivot. 5 –2 3 1 –2 4 L1 + L3 7 1 1 4 –5 L2 – 2L3 –3 det A = = 2 –3 2 –3 2 1 L3 2 1 4 –2 2 2 L4 – L3 0 0 2 5 –7 1 0 1 S S C1 – 2C2 5 –2 5 –5 –7 5 = 2 –3 7 –7 = C2 – C3 2 11 14 –7 = 2 (–70 + 77) = 14 2 1 1 0 0 1 C3 Théorème Méthode de Cramer Soit un système de trois équations à trois inconnues : a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 Ce système admet une solution unique (x1; x2; x3) = (k1; k2; k3) si et seulement si le déterminant de la matrice des coefficients, det A, est différent de 0 et cette solution est : k1 = b1 a12 a13 a11 b1 a13 a11 a12 b1 b2 a22 a23 a21 b2 a23 a21 a22 b2 b3 a32 a33 a31 b3 a33 a31 a32 b3 a11 a12 a13 , k2 = a11 a12 a13 et k3 = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 a33 Démonstration Méthode de Cramer Supposons qu’il y a une solution (k1; k2; k3) au système; cela signifie que les trois énoncés suivants sont vrais : S a11k1 + a12k2 + a13k3 = b1 a21k1 + a22k2 + a23k3 = b2 S a31k1 + a32k2 + a33k3 = b3 Considérons cette hypothèse. L’hypothèse permet 2effectuer on apeut : d’écrire : l’opération Parplus, De la propriété on peut 9, onalors l’opération effectuer : C1 C1:+Ck13C 3 :C1+ k2C2 b1 a12 a13 : b2 a22 a23 ba111 +12 aa12 ak1322 +aa13 a13 11 ka 11a12 12 12 13k3 a13a12 12 b3 a32 a33 + ak2322 +aa.23 a22≠ 0,aon k1 det A = ba221 Sikdet 21 ka 1a 122 22 aa 22 22 22 23 3 a23A 23 a : k1 = 22 a11 a12 a13 ba331 + ak3322 +aa33 a33 31 ka 1a 132 32 aa32 32 3233k3a33a32 32 a21 a22 a23 On procède de façon analogue pour k2 et k3. a31 a32 a33 S S Méthode de Cramer Procédure pour résoudre un système de n équations linéaires à n inconnues par la méthode de Cramer 1. Calculer le déterminant de la matrice des coefficients pour s’assurer que le système a une solution unique : det A ≠ 0. 2. Construire et calculer le déterminant associé à la ie inconnue en substituant la colonne des constantes à la colonne des coefficients de cette inconnue : det Ai , où i est la colonne associée à la ie inconnue (i = 1, ..., n). 3. Calculer le quotient du déterminant associé à l’inconnue sur le déterminant de la matrice des coefficients : xi = (det Ai)/(det A). 4. Répéter les étapes 2 et 3 pour chacune des inconnues du système. Exemple 3.3.6 Résoudre le système d’équations : 2x1 – 3x2 + 5x3 = –8 4x1 – 2x2 + x3 = 12 x1 + 5x2 – x3 = –3 S Calculons d’abord le déterminant de la matrice des coefficients. 2 det A = 4 1 –3 5 L1 – 2L3 0 –13 7 –2 1 = L2 – 4L3 0 –22 5 = 1 (–65 +154) = 89 5 –1 1 5 –1 L3 S Le déterminant est non nul, la solution est unique et la méthode de Cramer est utilisable. –8 –3 5 2 –8 5 2 –3 –8 12 –2 1 4 12 1 4 –2 12 –3 5 –1 1 –3 –1 1 5 –3 267 –178 –356 =3 = –2 = –4 x1 = , x2 = et x3 = 89 89 89 89 89 89 S La solution est (3; –2; –4). Exercice Résoudre le système d’équations : 3x1 + 2x2 + 4x3 = 31 x1 – 3x2 + 2x3 = 37 2x1 + 6x2 + 3x3 = –5 S Calculons d’abord le déterminant de la matrice des coefficients. 3 det A = 1 2 2 –3 6 4 L1 – 3L2 0 11 –2 2 = L2 1 –3 2 = –1 (–11 + 24) = –13 3 L3 – 2L2 0 12 –1 S Le déterminant est non nul, la solution est unique et la méthode de Cramer est utilisable. 31 2 4 3 31 4 3 –2 31 37 –3 2 1 37 2 1 –3 37 –5 278 –5 3 2 6 –5 –65 6 3 –91 =5 = –6 =7 x1 = , x2 = et x3 = –13–13 –13–13 –13 –13 S La solution est (5; –6; 7). a Soit la matrice A = d g a d g b c e f • h i Matrice adjointe b c e f . Déterminer Calculer A •adj cof adjA. A. A. h i e f h i db cf –– gh i db ce ge hf bd cf – g i h i a c g i aa cb –– gd hf bd ce eg hf aa cb –– dg hf a b d e = S c11A c012 c013 det c021 det c22A c023 c031 c032 det c33A Le A) •AAest donne la mêmescalaire matrice. ce cas,estlesle Le produit produit (adj A • adj une matrice et Dans ce scalaire cfcci la adaagaproduits b ebbhb csont éléments de bebla diagonale sont la somme des dessomme éléments déterminant de A. Les éléments de la diagonale des e ef ccff d adad f ccff d adade bebe ===correspondante de correspondante par leurs cofacteurs etleurs les == 0det == a–g –+b– h ebh + fi ligne ddgdad e ehbee f fcfifrespectifs + 0 cla gades – c = 0 –gda–d = i det A S produits éléments de la par – e + c A cc11 =colonne = det A S 23 21 31 13 12 33 22 32 S h i g i g h h i g i g h e f d f d e e f d f d e h idiagonale g isont la gsomme h S éléments hors desgdiagonale gdgéléments cofacteurs respectifs et les éléments hors sont lacolonne somme a hhheb i ifci d’une par cofacteurs d’une colonne. desles éléments d’une ligneautre par les cofacteurs d’une autre ligne. S Conclusion Les propriétés du déterminant permettent d’en simplifier le calcul en faisant apparaître des zéros sur une ligne ou une colonne et en ramenant le calcul à celui d’un déterminant d’ordre moins élevé. En utilisant ces propriétés, on peut facilement généraliser la méthode de Cramer à des systèmes de n équations linéaires à n inconnues. Un tel système a une solution unique si et seulement si le déterminant de la matrice des coefficients est non nul. Ces propriétés permettent également de comprendre pourquoi le produit d’une matrice carrée A et de son adjointe donne une matrice scalaire dont le scalaire est det A. Cela donne une des méthodes pour trouver l’inverse d’une matrice que nous présenterons au prochain chapitre. Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature, section 3.3, p. 69 à 76. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines, section 3.3, p. 69 à 76. Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature, section 3.4, p. 77 et 78. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines, section 3.4, p. 77 et 78.