Orientation d`un R

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Orientation d’un R-espace vectoriel
Orientation d’un R-espace vectoriel
I Cas général
Il existe deux types de matrices inversibles p × p :
– celles à déterminant strictement possitif,
– et celles à déterminant strictement négatif
Définition 1
On définit GL+
p (R) comme l’ensemble des matrices p × p inversibles à déterminant strictement
positif, et GL−
(R)
comme l’ensemble des matrices p × p inversibles à déterminant strictement négatif.
p
Proposition 1
GL+
p (R) est un sous-groupe de GLp (R)
Attention: GL−
p (R) n’est pas un sous-groupe de GLp (R)
−1
Preuve : A, B ∈ GL+
, AB ∈ GL+
p (R) : A
p (R).
+
−1
∈ GL−
A, B ∈ GL−
p (R) mais AB ∈ GLp (R)
p (R) : A
Proposition 2
Soit E un R-espace vectoriel. Soient A et B deux bases de E. On dira que A et B sont de même
orientation si, et seulement si
P ∈ GL+
p (R)
AB
Ceci définit une relation d’équivalence entre les bases. Pour cette relation, il y a deux classes d’équivalence
Orienter l’espace, c’est convenir d’appeler directes les bases de l’une des deux classes, et indirectes
les bases de l’autre.
Exemples:
i
Rp contient une base "canonique" E = (e1 , ..., ep ) où ei = (0, ...., 0, 1, 0, ..., 0). L’orientation canonique de
Rp est alors celle pour laquelle E est directe.
Dans Mp,1 (R) l’orientation canonique est celle pour laquelle
 

 0
0
1





1
0
 0 
 





, 0 , ...,  ...  est directe.
vdots

 
 

0   ... 
0

0
1
0
Remarques:
Soit B une base de E. On définit B ′ comme la base obtenue à partir de B en permutant deux vecteurs.
B et B ′ ont alors des orientations différentes. (La matrice de passage a comme déterminant −1)
Soit B = (b1 , ..., bp ) une base de E. On définit B ′ = (−b1 , −b2 , .; ., −bp ). Dans ce cas, P ′ = Ip et
BB
det P ′ = (−1)p .
BB
Si p est pair, alors B et B ′ sont de même orientation. Sinon, ils ont des orientations différentes.
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Orientation d’un R-espace vectoriel
II Cas euclidien
Considérons deux bases orthonormées A et B. Elles peuvent être de même orientation ou d’orientations
différentes. P est orthogonale (et appartient à Op (R) : son déterminant est alors égal à +1 ou −1.
AB
det = det B det : égalité entre formes p-linéaires alternées
A
A
B
Lorsque A et B sont des bases orthonormées :
– Si A et B ont la même orientation : detA = detB
– Si A et B ont des orientations différentes : detA = − detB .
Dans un espace euclidien orienté, pour toutes les bases orthonormées directes A, les detA sont égaux
entre eux. Cette forme p-linéaire est notée
det ou vol
On a alors, pour toute base orthonormée directe A :
µ
¶
det(x1 , ..., xp ) = vol(x1 , ..., xp ) = det Mat(x1 , ..., xp )
A
III Produit vectoriel
Soit E un espace euclidien orienté de dimension 3. Pour tout couple (x, y) de E 2 on définit :
ϕ:
E
7→ R
z → vol(x, y, z)
À cause de la multilinéarité du déterminant, ϕ est une forme linéaire (et appartient donc à E ∗ , et, de
par les propriétés du produit scalaire, il existe un unique vecteur u de E tel que :
ϕ = (u/•)
Cet unique vecteur est noté x ∧ y.
Définition 2
Dans E euclidien de dimension 3, pour tout couple (x, y) de E 2 , x ∧ y est défini par :
∀z ∈ E : vol(x, y, z) =
(x ∧ y/z)
| {z }
prend le nom de produit mixte
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