Introduction

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Algorithmique
(Introduction)
Préalables
• Structures de données:
–
–
–
–
–
Pile
File de priorit
Arbres
Tables de hachage
Etc.
• Mathématique discrètes:
–
–
–
–
Fonctions et relations
Graphes
Induction mathématique (preuves par récurrences)
Un peu de probabilité
Définition informelle
Algorithme: Procédure ou ensemble fini de règles permettant
de résoudre un problème
Exemple: programme en C.
Structures de données: Méthodes permettant d'organiser de
grandes quantités de données.
Il y a plusieurs algorithmes possibles pour un même problème.
Exemple 1
Multiplication: algorithme standard
45
×
19
-----405
+ 45
-----855
(9 × 45)
(1 × 45)
Exemple 2
Multiplication à la russe
45
22
11
5
2
1
19
38
76
152
304
608
19
76
152
608
------855
Exemple 2 (suite)
Multiplication à la russe
19
9
4
2
1
45
90
180
360
720
45
90
720
------855
Objectifs principaux du cours
• Apprendre certaines techniques permettant
de concevoir des algorithmes efficaces
• Être en mesure d'analyser et de comparer
l'efficacité de différents algorithmes.
Origine
Le mot algorithme dérive du nom:
Abû Abdullah Muhammad Ibn Mûsâ Al-Khawarizmî
Vers 825 après J.C. il écrit un ouvrage de mathématique où il
décrit la façon d'effectuer l'addition, la multiplication, etc.
Premier algorithme non trivial connu (295 avant J.C.):
Algorithme d'Euclide pour calculer le plus grand commun
multiple de deux nombres entiers.
Algorithme naïf
PGCD(m,n)
i = min(n,m) + 1
répéter
i=i-1
jusqu'à ce que i divise m et n
retourner i
Algorithme d'Euclide (version moderne)
PGCD(m,n)
tant que m>0 faire
t=m
m=n mod m
n=t
retourner n
t
15
6
3
m
15
6
3
0
n
21
15
6
3
Problèmes
On est intéressé par les problèmes algorithmiques seulement:
1.
2.
Doit pouvoir se résoudre sur un ordinateur: Par exemple le
problème de trouver une juste sentence pour une personne
reconnu coupable d'un délit fait appel à des considérations
culturelle et philosophiques et ne peut donc pas être résolu par
un ordinateur.
L'ensemble des solutions correctes doit être non ambiguë: Par
exemple la traduction d'un texte de l'anglais au français peut être
réalisée par un ordinateur mais il n'est pas clair ce que l'on doit
considérer comme une traduction correcte.
Problèmes algorithmiques
Un problème algorithmique est défini par:
1. La description de l'ensemble des entrées possibles
(chaque entrée est une séquence finie de caractères).
2. La description d'une fonction qui associe à chaque
entrée un ensemble de résultats corrects (chaque
résultat est aussi une séquence finie de caractères)
Exemples de problèmes algorithmiques
• Multiplication (problème d'évaluation):
Entrée: Deux entiers binaires x et y (de longueur arbitraire)
Sortie: Le produit de x par y en binaire
• Test de primalité (problème de décision):
Entrée: Un entier binaire positif n
Sortie: 1 si n est premier, 0 sinon.
• Problème du plus court chemin (problème d'optimisation):
Entrée: Un graphe pondéré, donné sous la forme d'une matrice
d'adjacence, ainsi que deux noeuds particuliers s et t
Sortie: Une suite de noeuds représentant un plus court chemin du
noeud s au noeud t
Le choix de l'algorithme
L'analyse d'un algorithme se fait selon les critères suivants:
1. Rectitude
2. Complexité (temps d'exécution, espace mémoire, etc.)
3. Facilité de maintenance
Nous nous intéresserons principalement au deux premiers
critères.
Quelques problèmes étudiés dans ce cours (1)
Problèmes de nature mathématique:
–
–
–
–
–
–
Plus grand commun diviseur
test de primalité
multiplication
exponentiation
factorisation
multiplication matricielle
Grande utilité en cryptologie (commerce électronique)
Cryptologie à clef publique (RSA)
1) Choisir 2 grands nombres premiers p et q
2) Calculer n=pq
3) Calculer m=(p-1)(q-1)
4) Trouver e et d tels que ed mod m = 1
Clef privée: (d, n)
Clef publique: (e, n)
Comment Alice et Bernard utilisent RSA
Bernard cherche
la clef publique
d’Alice (e, n)
dans un annuaire.
Bernard encode
son message M
avec cette clef:
C=Me (mod n)
Alice reçoit C et
utilise sa clef
privée (d, n) pour le
décrypter :
M= Cd (mod n)
Quelques problèmes étudiés dans ce cours (2)
Problèmes de graphes:
–
–
–
–
–
Plus court chemin
Arbre couvrant
Problème du commis voyageur
Coloration de graphes
Parcours de graphes
Utilité dans plusieurs domaines (jeux, réseaux, etc.)
Quelques problèmes étudiés dans ce cours (3)
Traitement de séquences de caractères:
–
–
–
–
Plus longue sous-séquence commune
Mise en forme de textes
Recherche de chaînes de caractères
Compression de texte
Applications en bio-informatique, base de données, traitement
de texte.
Quelques problèmes étudiés dans ce cours (4)
Géométrie algorithmique:
– Déterminer si deux segments de droite se coupent
– Recherche de l'enveloppe convexe
– Recherche des points les plus rapprochés
Application en infographie.
Techniques de conception d'algorithmes (1)
Algorithmes voraces (ou gloutons): Méthode
itérative utilisée pour résoudre des problèmes
d'optimisation.
Exemples d'applications:
–
–
–
–
Chemin le plus court dans un graphe
Arbre couvrant minimal
Compression de texte
Souvent utilisé pour trouver une solution initiale afin résoudre un
problème d'optimisation (e.g. branch and bound)
Techniques de conception d'algorithmes (2)
Algorithmes diviser-pour-régner:
Approche récursive: On divise le problème en
plusieurs sous problèmes et on combine les
résultats pour obtenir la solution globale.
Exemples d'applications:
–
–
–
–
–
Tri par fusion
Quicksort
Multiplication de grand entiers
Exponentiation
Trouver les points les plus rapprochés
Techniques de conception d'algorithmes (3)
Programmation dynamique: Utilisé lorsqu'une solution
récursive est inefficace parce que beaucoup d'appels
identiques sont effectués
Exemples d'applications:
–
–
–
–
Calcul des nombres de Fibonacci
Formatage de texte en paragraphe
Produit de plusieurs matrices
Plus longue sous séquence commune
Techniques de conception d'algorithmes (4)
Algorithmes probabilistes: L'algorithme a accès à un
générateur de bits aléatoires.
Deux principaux types:
1.
2.
Faible probabilité que le temps d'exécution soit long.
Faible probabilité de ne pas trouver la bonne réponse.
Exemples d'applications:
–
–
–
–
Test de primalité
Factorisation
Approximation de problèmes complexes
Hachage universel
Techniques de conception d'algorithmes (5)
Algorithmes parallèles: L'algorithme peut utiliser plusieurs
processeurs pour accélérer les calculs.
Exemples d'applications:
–
–
Multiplication matricielle
Tri par fusion
Outils mathématiques
• Notation asymptotique: Pour comparer et
analyser les algorithmes indépendamment de la
machine ou du langage
• Résolution de récurrence: Pour analyser
l'efficacité des algorithmes récursifs
• Éléments de base de la théorie des probabilité:
Pour analyser les algorithmes probabilistes.