Cours n°2

L’expérience de Stern et Gerlach
~k3
Chapitre 8
Quiz de bienvenue
On considère un aimant placé dans un champ magnétique homogène.
1. L’aimant subit uniquement une force
2. L’aimant subit une force et un couple
3. L’aimant subit uniquement un couple
Si vous avez changé de canal, tapez: [Ch]-[4]-[1]-[Ch] ou [Go]-[4]-[1]-[Go]
1.
Principe de l’expérience et interprétation
1922 : Stern & Gerlach (Argent)
1927 : Phipps & Taylor (Hydrogène)
Rappels de magnétostatique
Particule chargée
Force de Lorentz
Dipôle magnétique (spire de courant, aimant, etc.)
Moment magnétique
Couple
Moment magnétique placé dans un champ magnétique
Energie d’interaction :
Le moment magnétique d’une boussole s’oriente dans la direction du
champ magnétique afin de minimiser cette énergie d’interaction.
Force :
Si le moment magnétique est orienté selon le champ, il est attiré vers
les zones où le champ magnétique est plus intense.
Modèle classique de moment magnétique atomique
Electron (charge q<0, masse m) en
mouvement circulaire uniforme autour
d’un proton.
+
Moment cinétique
Moment magnétique :
est le rapport gyromagnétique.
Pour un électron,
Avec la définition plus générale
, on montre que la
relation ci-dessus reste valable tant que densités de masse et de charge
sont proportionnelles. (exercice)
La précession de Larmor
Si
est homogène, la force est nulle mais il existe un couple :
Théorème du moment cinétique :
Mais
, donc
est la fréquence de Larmor.
Le moment magnétique décrit un mouvement de précession.
L’expérience de Stern et Gerlach : une mesure de
Dans les conditions de l’expérience (B = 0.1 T),
En moyenne :
Déflexion verticale
proportionnelle à
Prédiction classique :
Tache allongée verticalement en
raison de l’orientation aléatoire
des moments magnétiques.
Résultat expérimental
Stern et Gerlach observent deux taches, en accord avec ce qu’attendait
Stern en s’appuyant sur la vieille « quantification spatiale » de BohrSommerfeld.
Mais Einstein et Ehrenfest mettent en évidence des failles sérieuses
dans l’application de cette théorie à l’expérience de Stern et Gerlach.
Interprétation quantique
Espace de Hilbert décrivant le moment magnétique :
Valeurs propres :
Observable :
et
Hypothèse minimale :
On appelle
et
les vecteurs propres de
constitue une base de
Dans cette base,
2.
Construction des observables
et
Succession de deux appareils de Stern et Gerlach
Qu’observe-t-on en aval du second
appareil de Stern et Gerlach ?
1.
2.
3.
4.
Une seule tache
Deux taches identiques
Impossible de prévoir le résultat
Je ne sais pas
Mesure de
Qu’observe-t-on en aval du second
appareil de Stern et Gerlach ?
1. Une seule tache au centre
2. Une seule tache décalée
3. Deux taches identiques
décalées selon z
4. Deux taches identiques
décalées selon x
5. Je ne sais pas
L’observable
(i)
est une observable
Dans la base
(ii) Comme pour
, les valeurs propres de
sont
(iii) Dans l’état
, un SG orienté pour mesurer
produit 2 taches identiques
Choix de la phase de
Remplaçons la base
par la nouvelle base
avec
Dans cette nouvelle base, que l’on appellera dorénavant
NB : Les vecteurs propres de
sont notés
et
:
:
L’observable
De même que
Pour un repère direct, on choisit
, on a
Les observables
,
et
On montre que ces trois observables ne commutent pas (voir QCM) :
ou encore :
Succession de trois appareils de Stern et Gerlach
Qu’observe-t-on en aval du troisième
appareil de Stern et Gerlach ?
1. Une tache
2. Deux taches
Mesure selon un axe quelconque
Similaire à la loi de Malus
pour les photons
Mesure de
pour un système préparé dans
l’état
par un premier appareil de Stern et Gerlach.
On montre que
et
(exercice)
3.
Le produit tensoriel
Chapitre 5
Produit tensoriel de deux espaces de Hilbert
Soit un système quantique (a) décrit par l’espace de Hilbert
de base
Soit un système quantique (b) décrit par l’espace de Hilbert
de base
Si (a) est dans l’état
et (b) est dans l’état
quantique global est noté
, alors l’état du système
produit tensoriel
L’espace de Hilbert associé au système quantique global est appelé
espace produit tensoriel et est noté
La forme générale d’un état
est :
Produit tensoriel de deux opérateurs
Soit
un opérateur agissant dans
Soit
un opérateur agissant dans
On définit le produit tensoriel
(aussi noté
) comme
³
´
³
´ ³
´
^-B
^ j®mi - j¯n i = Aj®
^ m i - Bj¯
^ ni
A
Exemples : plusieurs degrés de liberté
Rappel : oscillateur harmonique à 2D. Base :
à 3D :
4.
Description quantique
de l’expérience de Stern et Gerlach
Espace de Hilbert
avec
base de
Superposition linéaire entre :
- un paquet d’ondes
associé à un état magnétique
- un paquet d’ondes
associé à un état magnétique
Hamiltonien et opérateur d’évolution
On suppose pour simplifier que le champ magnétique est orienté selon z.
Evolution temporelle
Etat factorisé (non corrélé)
Evolution d’un paquet d’ondes
avec un potentiel
Evolution d’un paquet d’ondes
avec un potentiel
Après interaction avec l’appareil de Stern et Gerlach, l’atome est
dans un état dit intriqué : il existe une corrélation entre la position
de l’atome et son état de moment magnétique.
Un modèle de mesure en physique quantique
Laser
MESURE
OU
Evolution
Réversible
Evolution
irréversible
Interprétation multi-univers de la physique quantique
-
On fait l’économie du postulat de la mesure
Observateur inclus dans le système quantique
+
?
?
+
-