CHAPITRE I : GENERALITES SUR L`ELECTROSTATIQUE

CHAPITRE I : GENERALITES SUR L’ELECTROSTATIQUE
L’électrostatique est l’étude des charges électriques immobiles dues à un excès ou à un déficit
d’électrons.
A- ELECTRISATION D’UN CORPS PAR FROTTEMENT
Certains corps frottés (plexiglas, ébonite, verre, soufre, polystyrène compact etc.…)
acquièrent la propriété d’attirer des corps légers. Nous dirons que ces corps s’électrisent par
frottement.
L’électrisation par frottement peut être ramenée schématiquement à un transfert d’électron
d’un corps à un autre.
B- LES DEUX TYPES D’ELECTRICITES
Il n’existe que deux types d’électricité : l’électricité positive et l’électricité négative.
Entre deux corps chargés s’exercent toujours des interactions. Deux charges de mêmes signes
se repoussent tandis que deux charges de signes contraires s’attirent.
C- AUTRES MODES D’ELECTRISATION
Il existe d’autres modes d’électrisation parmi lesquels on peut citer :
-
L’électrisation par influence,
-
L’électrisation par contact
-
L’électrisation par compression (piézo-électricité)
-
L’électrisation par chauffage (pyroélectricité)
D- CONDUCTEURS ET ISOLANTS ELECTRIQUE
-
Un conducteur est un corps qui possède des charges libres. Exemples : les métaux, le
sol, les électrolytes, le corps humain etc.
-
Un isolant est un corps qui ne possède pas de charges libres (les charges restent
fixées). Exemples : verre, soie, le bois sec etc.
E- DISTRIBUTION DE CHARGE
I. Charge ponctuelle
Une charge q est dite ponctuelle si elle est assimilable à un point matériel.
II. Charges ponctuelles discrète
Un ensemble formé de plusieurs charges ponctuelles q1 , q2 , q3 ,.............. fixes dans un volume
V est dit charges ponctuelles discrète.
III. Distributions continues de charges
III. 1 Densité volumique de charges
Soient :  la densité volumique de charges, dV un élément de volume et dQ la charge
élémentaire contenue dans dV.
La densité volumique de charges est la quantité de charges contenue dans une unité de
volume. Elle est définie par la relation :

dQ
; Unité (coulomb/m3) lorsque   cte, le volume est uniformément chargé.
dV
III. 2 Densité surfacique de charges
Quand l’une des trois dimensions est négligeable devant les deux autres, le volume sera
assimilé à une surface.
Si dS est un élément de surface et dQ la charge contenue dans dS, la densité surfacique  est
définie par la relation :

dQ
; Unité (Coulomb/m2) lorsque σ = cte, la surface est uniformément chargée
dS
dQ
dQ
dS
S
III. 3 Densité linéique de charges
Considérons un fil de densité linéique λ.
Si dl est un élément de longueur et dQ les charges dans dl. On a la relation :

dQ
; Unité : (Coulomb/m) lorsque λ = cte, la longueur est uniformément chargée
dl
dQ
dl
F- FORCE ELECTROSTATIQUE : PRINCIPE DE COULOMB
I. Loi de Coulomb
Deux charges qA et qB placées dans le vide respectivement aux points A et B distant de r,


exercent l’une sur l’autre des forces électrostatiques F q A / qB et F q B / q A de même direction, de
même sens et de même intensité.
On a :
FA / B  FB / A 
K q A qB
r
2
avec K 
1
4 0
et  0 est la constante diélectrique ou permittivité
du vide (  0 = 8,85.10-12SI)
1
4 0
 9.10 9 SI
II. Forme vectorielle
qA
A


u
u'
qB
r
B


F A/ B

FB / A

K .q A .q B 
AB
avec
vecteur unitaire
u

u
2
AB
r


K .q A .q B '
BA
'
avec
vecteur unitaire
u


u
2
BA
r
Distinction entre les 2 charges : passive et active.
NB : La loi n’est pas rigoureusement vérifiée à cause de la masse des corps considérés

CHAPITRE II : CHAMP ET POTENTIEL ELECTROSTATIQUE ( E et V)
I. DEFINITIONS
I.1 Champ électrostatique
Nous avons vu dans le chapitre précédent que deux charges ponctuelles q1 et q2, placées dans
le vide à une distance r, exercent une influence l’une sur l’autre. La force qui s’exerce sur q 2
due à q1 est :

F q1 / q2 
K .q1 .q 2 
u
r2

F q1 / q2 K .q1  
Cette expression peut être mise sous la forme :
 2 u  E appelé champ
q2
r
électrostatique crée par la charge q1 au point ou se trouve la charge q2.

Il existe un champ électrostatique E dans une région limitée de l’espace si une charge


de
charge :
électrique q placée dans ce domaine est soumise à une force électrostatique F  q. E .


F
en N/C ou V/m.
E
q
I.2 Potentiel électrostatique
Le
potentiel


électrostatique

est
le
travail
par
unité

dV   E . dr  V   E . dr  Cte (volt)
II Champ et potentiel électrostatiques créés par une charge ponctuelle unique
II.1 Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle unique
Le champ électrostatique créé par une charge ponctuelle q en un point M est donné par la
relation.


AM
q 
E
. 2 . u avec u 
4 0 r
AM

1
II.2 Potentiel électrostatique créé par une charge ponctuelle unique
Le potentiel électrostatique créé par une charge ponctuelle q au point M est :
V
1
q
.  Cte
4 0 r
Contrairement au champ électrostatique, le potentiel est une grandeur scalaire. Remarquons
que, E  

V V V
dV
,
,
. De façon plus générale, en coordonnées cartésiennes, E  
y
z
dr
 x





De manière plus concise, E   grad V
Approximation du potentiel Coulombien V ()  0  Cte  0 (origine du potentiel)
à l’infini n’y a pas de charge.
III Champ et potentiel électrostatique créés par un ensemble de charges ponctuelles
discrètes (n)
III.1 Champ électrostatique créé par un ensemble de charges ponctuelles discrètes (n)

Le champ total E (M ) est la somme vectorielle de toutes les contributions dues à chacune des
charges.

n 
n



AM
E ( M )   E qi ( M ) 
. 2 . u i ; u i  i
4 0 i 1 ri
Ai M
i 1
1
qi

ui

u2

M
u1
q1
A1
q2
A2
qi Ai
III.2 Potentiel électrostatique créé par un ensemble de charges ponctuelles discrètes (n)
Le potentiel total en M est la somme de tous les potentiels créés par les n charges en M.
n
1
i 1
4 0
V ( M )   Vqi ( M ) 
n
qi
i 1
i
 r .  Cte
IV- Champ et potentiel électrostatique créés par une distribution continue de charges :
Dans le cas d’une distribution continue de charges, on a les relations suivantes :
-
Champ élémentaire

dE 
dq 
u
4 0 r 2
1
-
Potentiel élémentaire
dV 
dq
4 0 r
IV. 1 Cas d’une distribution volumique
dq  .dv
IV.2 Cas d’une distribution surfacique
dq   .ds
IV.3 Cas d’une distribution linéique
dq  .dl
V- Théorème de gauss
V.1 Flux du champ créé par une charge ponctuelle
Soit q une charge ponctuelle positive. Le champ crée par la charge q en un point M est

E (M ) 
1
4 0
.
q 
. u . Prenons une surface  entourant la charge, et pour simplifier, prenons
r2


une sphère. Le flux du champ E à travers la sphère s’écrit :

   E. dS



Le champ électrostatique a une direction particulière : il est radial. Donc E et dS ont la même
direction.
   E.dS


De plus, la norme de E est constante sur la sphère, puisqu’elle ne dépend que de r. Nous
pouvons donc sortir E de l’intégrale :
  E  dS  E.S 

q
4 0
.
1
.4 .r 2
2
r
Finalement, le flux se réduit à une valeur simple :

q
0
Le flux à travers une surface fermée est égal à la somme des charges internes à la surface sur
la permittivité du vide
V.2 Enoncé du théorème de Gauss
Le flux du champ électrostatique à travers une surface fermée quelconque (appelée surface de
1
Gauss) est égale, au facteur
0
près, à la somme de toutes les charges intérieures à cette
surface.
Q

int
0
0
pour les charges externes à la surface  de Gauss
V.3 Remarques
a) Le potentiel électrostatique est continu à la traversée d’une surface chargée: V1 R   V2 R 
V2
R V1
( )
O
b) Le champ est discontinu à la traversée d’une surface chargée: voir exercices sur le disque
D ,0, R 
c) Lignes de champ et surface équipotentielles
- On appelle lignes de champ, les Lignes ayant en tout point M la même direction que
 



E; E  dl  0 ( dl élément de ligne) : équations différentielles.
- On appelle surfaces équipotentielles, l’ensemble des points M où V= constante
V.4 Equation de poisson


De II, on déduit : le champ dérive du (gradient) potentiel : E   grad V

grad 
     
i
j k
x
y
z
;
Localement

div E 
le
théorème
de
Gauss
s’écrit :

(divergence) ;
0
 
Ex Ey Ez
(scalaire)  . E


x
y
z

On a vu que le théorème de Gauss se traduit par : div E 



Comme E   grad V : div ( gradV )  
div ( gradV )  V
Laplacien

0

0

Or,

div E 
de
V
( V 
 2V  2V  2V


x 2 y 2 z 2
en
coordonnées
cartésiennes)
V 

 0 équation de poisson
0

Dans une région de l’espace ou il n’y a pas de charges,   0 , donc : div E  0

( E est à flux conservatif) et de plus :
V  0 équation de Laplace
VI. Angle solide
L’angle solide dΩ, est l’angle sous lequel un élément de surface dS est vu à partir d’un point
O. L’angle solide est sans dimension.


d 

dS
dS . r
r3

O
dΩ
r
r