Exercices sur les vecteurs corrigé

Date : _______________
Nom : _____________________________________________________
Groupe : _____________
Résultat : ________ / 40
Exercices sur les vecteurs
Module 3 : Des phénomènes mécaniques
Objectif terminal 1 : Le mouvement
1.
Détermine les composantes des vecteurs suivants.
________ / 8
a)
b)
Réponse : ________________________
2.
Réponse : ________________________
Détermine la norme et l’orientation des vecteurs suivants.
________ / 8
r
a) v = (− 2, 3)
Réponse : ________________________
r
b) w = (4, − 5)
Réponse : ________________________
3.
Une petite embarcation, dont le moteur génère une vitesse de 40 km/h, traverse de la rive
sud à la rive nord d’une rivière coulant vers l’est avec un courant de 15 km/h. L’embarcation
se dirige avec un angle de 50° par rapport au rivage d’une rivière vers un quai situé
légèrement à l’est de son point de départ. Quelle est la vitesse réelle de l’embarcation
sachant qu’elle correspond à l’addition vectorielle de la vitesse du bateau avec celle du
courant?
________ / 4
Réponse : ________________________
4.
Quelle est la somme des vecteurs suivants?
________ / 4
r
v = (− 2, − 4 )
et
r
w = (1, 6 )
Réponse : ________________________
5.
Quel est le déplacement résultant d’un marcheur qui fait un trajet de 2,5 km vers le nordest, puis 5,1 km vers l’ouest et, finalement, 7,3 km à 40° sud-ouest?
________ / 4
Réponse : ________________________
Exercices sur les vecteurs
1
6.
r
r
Quelles sont la norme et l’orientation du vecteur 2a , si a = (2, − 3 ) ?
________ / 4
Réponse : ________________________
7.
Julie essaie de faire avancer son chien contre sa volonté. Pour ce faire, elle tire avec une
force de 10 N sur la laisse du chien, qui possède une orientation de 35° par rapport au sol.
De combien de newton dispose-t-elle pour faire avancer son chien, si la force efficace pour le
déplacement du chien est la composante horizontale de la force dans la laisse?
________ / 4
Réponse : ________________________
8.
Suite aux efforts de Julie, qui tire sur la laisse de son chien avec une force de 10 N et une
orientation de 35° par rapport au sol, le chien subit un déplacement de 3 m. Quelle énergie a
été dépensée par Julie sachant qu’il s’agit du produit scalaire du vecteur force avec le
vecteur déplacement? (Note : 1 J = 1 N·m)
________ / 4
Réponse : ________________________
Exercices sur les vecteurs
2
Corrigé
Exercices sur les vecteurs
Module 3 : Des phénomènes mécaniques
Objectif terminal 1 : Le mouvement
1.
a) (2,75 cm, 2,56 cm)
∆x = vecteur cos θ
∆x = 3,76 cm × cos (43°)
∆x = 2,75 cm
∆y = vecteur sin θ
∆y = 3,76 cm × sin(43° )
∆y = 2,56 cm
b) (-2,62 cm, -3,33 cm)
θ = 180° + 51,8°
θ = 231,8°
∆x = vecteur cos θ
∆x = 4,24 cm × cos(231,8°)
∆x = −2,62 cm
∆y = vecteur sin θ
∆y = 4,24 cm × sin(231,8° )
∆y = −3,33 cm
2.
a) 3,6 et 123,7°
Norme
r
v = v x2 + v y2
r
v = ( − 2 )2 + 3 2
r
v = 3, 6
Orientation
θ = tan −1
vy
vx
3
θ = tan −1
−2
θ = −56 ,3°
Le vecteur est dans 2e quadrant, car vx est négatif et vy positif.
Exercices sur les vecteurs (Corrigé)
1
Il faut donc additionner 180° à θ.
180° + (-56,3°) = 123,7°
b) 6,4 et 308,7°
Norme
r
w = w 2x + w 2y
r
w = 4 2 + (− 5)2
r
w = 6, 4
Orientation
θ = tan −1
wy
wx
−5
θ = tan −1
4
θ = −51,3°
Le vecteur est dans 4e quadrant, car wx est positif et wy négatif.
Il faut donc additionner 360° à θ.
360° + (-51,3°) = 308,7°
3.
51 km/h à 37°
Recherche de l’angle entre le vecteur vitesse du courant et le vecteur vitesse de l’embarcation
φ = 180° − 50° = 130°
Recherche de la norme du vecteur résultant
r
v r2 = v c
2
r
+ ve
2
r
r
− 2 v c ⋅ v e cos φ
v r2 = (15 km/h )2 + ( 40 km/h )2 − 2 × 15 km/h × 40 km/h × cos 130°
v r2 = 2596,3 km2 / h 2
v r = 50 ,95 km/h
Exercices sur les vecteurs (Corrigé)
2
Recherche de l’orientation du vecteur résultant
sin θ sin φ
r = r
ve
vr
sin θ
sin130 °
=
40 km/h 50,95 km/h
sin θ = 0 ,601
θ = 36,97°
4.
(-1, 2)
(
(
)
r
v = v x , v y = ( − 2, − 4 )
r
w = w x , w y = (1, 6 )
)
(
r r
v + w = v x + w x , v y + wy
r r
v + w = (− 2 + 1, − 4 + 6 )
r r
v + w = (− 1, 2 )
5.
)
9,4 km à 198,1°
Conversion des coordonnées géographiques
2,5 km NE = 2,5 km à 45°
5,1 km O = 5,1 km à 180°
7 ,3 km 40° SO = 7 ,3 km à 220°
Recherche des composantes du vecteur résultant (déplacement)
Vecteurs
1
2
3
Angle (par rapport à
l'horizontale)
2,5 km
45°
5,1 km
180°
7,3 km
220°
Somme des composantes:
Norme
∆x
∆y
1,77 km
-5,10 km
-5,59 km
-8,92 km
1,77 km
0,00 km
-4,69 km
-2,92 km
Recherche de la norme du vecteur déplacement
r
∆s = ( ∆x r , ∆y r ) = ( − 8 ,92 km, − 2,92 km )
r
∆s = ∆x r2 + ∆y r2
r
∆s = ( − 8,92 km)2 + ( − 2,92 km)2
r
∆s = 9,4 km
Recherche de l’orientation du déplacement
θ = tan −1
θ = tan −1
∆y r
∆x r
− 2,92 km
− 8 ,92 km
θ = 18 ,1°
Exercices sur les vecteurs (Corrigé)
3
Le vecteur déplacement est dans le 3e quadrant, car ses deux composantes sont négatives, il faut
donc ajouter 180° à l’angle obtenu.
180° + 18,1° = 198,1°
6.
7,2 à 303,7°
Recherche des composantes du vecteur
r
r
b = 2 a = 2 ( 2, − 3 ) = (2 × 2, 2 × −3 ) = ( 4 , − 6 )
Recherche de la norme et de l’orientation du vecteur
Norme :
r
b = b 2x + b y2
r
b = 4 2 + (− 6 )2
r
b = 7 ,2
Orientation :
θ = tan −1
by
bx
−6
θ = tan −1
4
θ = −56 ,3°
Le vecteur est dans 4e quadrant, car bx est positif et by négatif. Il faut donc additionner 360° à θ.
360° + (-56,3°) = 303,7°
7.
8,19 N
r
F = 10 N à 35°
r
Fx = F cos θ
Fx = 10 N × cos35°
Fx = 8 ,19 N
8.
24,6 J
r
∆ x = 3 m à 0°
r
F = 10 N à 35°
r r
r
r
E = F ⋅ ∆x = F × ∆x cos θ
E = 10 N × 3 m × cos 35°
E = 24 ,6 J
Exercices sur les vecteurs (Corrigé)
4