A- Contrôle de connaissances : Le cyclotron (8,5 points)

2IMRT, Devoir surveillé, 19 03 2012
A- Contrôle de connaissances : Le cyclotron (8,5 points)
Dans l'accélérateur ci-contre, des protons de vitesse initiale négligeable sont injectés
en un point O situé sur l'une des pièces métalliques creuses, puis suivent le trajet
C
B
O, A, B, C, D, E etc ...
Chacune des séries de propositions 1,2,3,… c
ont
i
e
ntunes
e
ul
e
O
A
affirmation vraie. Recopier la lettre correspondant à l'affirmation vraie
D2
D1
sur la copie et la justifier brièvement si cela est demandé.
D
E



1. Le champ électrique E entre les dees :
B
B
a) ne change pas de sens
b) a la direction et le sens du vecteur vitesse du proton entre les dees (VRAI)
c) est perpendiculaire au vecteur vitesse du proton entre les dees
d) s
’
a
nnul
equa
ndl
epr
ot
onpénètre dans un dee

Comme le mouvement est rectiligne accéléré entre les dees, le vecteur vitesse v a la direction et le


 ème
sens du vecteur accélération
  a et donc aussi de la force électrique F = m a (2 loi de Newton) et
du champ électrique E = F /q car la charge q des protons est positive
2.
La tension VD1-VD2 entre les dees :
a) conserve la même valeur et le même signe,
b) change de signe et conserve la même valeur,
c) change de valeur et de signe, (VRAI)
d) change de valeur et garde le même signe.
3.
Dans chacun des deux « dees », la trajectoire du proton est un demi-cercle parcouru :
a) à vitesse constante, (VRAI)
b) avec une vitesse dont la valeur varie sinusoïdalement.
c) avec une vitesse croissante,
4.
Entre les deux « dees », le proton décrit une trajectoire rectiligne avec une vitesse dont la valeur:
a) est constante
b) est croissante, (VRAI)
c) varie de façon sinusoïdale.
5.
Le rayon de courbure de la trajectoire du proton : 
a) augmente avec la valeur du champ magnétique B ,
b) augmente avec la vitesse à l'entrée des « dees », (VRAI)
c) ne dépend pas de l'énergie cinétique du proton à son entrée dans un « dee »
6.
La durée du parcours d'un proton dans un dee:
a) dépend de la vitesse d'entrée dans le dee,
b) dépend de la durée du trajet entre les deux dees
c) dépend de la période de latension sinusoïdale entre les dees,
d) dépend de la valeur de B (VRAI) (justifier l'affirmation)
7.
La durée du parcours
dans un dee vaut une demi-période de rotation T dans le champ

magnétique B ;c
e
t
t
er
ot
at
i
ons
’
e
f
f
e
c
t
ueàvi
t
e
s
s
ec
ons
t
ant
evl
el
ongd’
unet
r
aj
e
c
t
oi
r
ec
i
r
c
ul
ai
r
e
longueur trajectoire
2R
2R
mv
de rayon R, donc v =
=
et T =
; comme R =
durée rotation
T
v
|q|B
2.mv
2m
l
’
e
xpr
e
s
s
i
ondel
apé
r
i
odede
vi
e
ntT =
=
; expression qui ne dépend que de B
v.|q|B
|q|B
L’
é
ne
r
g
i
ec
i
né
t
i
quedupr
ot
on,
a) augmente seulement dans les « dees »
b) augmente dans les « dees » et entre les « dees »
c) augmente seulement entre les « dees » (VRAI)
d) augmente au passage de D1 à D2 puis diminue au passage suivant de D2 à D1
8.
9.
Unpr
ot
ons
or
tdel
’
a
c
c
é
l
é
r
a
t
e
ura
ve
cuneé
ne
r
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i
ec
i
né
t
i
queé
g
a
l
eà500Me
V.Lat
e
ns
i
one
nt
r
e
les « dees » ayant une amplitude de 10kV, le nombre de tours effectués par le proton est :
a) N = 250 ;
b) N = 50 000 ;
c) N = 25 000
(justifier l'affirmation)
à chaque passage entre les dees, l
’
é
ne
r
gi
ec
i
né
t
i
quedupr
ot
onaugme
nt
ede W = |q|Umax donc le
nombre de passages entre les dees est Np = (Ec(finale) –EC(initiale))/W ≈Ec(finale)/W ;
soit : Np = 500 MeV/(10 keV) = 500 x 106/(10 x 103) = 50 000 et comme il y a deux passages par
tours le nombre de tours est N = Np/2 = 25 000
Un proton sorta
ntd’
unc
y
c
l
ot
r
onet dirigé vers une cible de molybdène 10042 Mo peut provoquer
la réaction nucléaire Mo(p,2n)X où X est un radionucléide très utilisé en médecine nucléaire :
a)
90
39Y
100
42 Mo
;
+
1
1p
b)

97
41Nb
99m
43Tc
+2
1
0
;
c)
99m
43Tc
(VRAI)
(justifier l'affirmation)
n ; conservation des nucléons : 100+1 = 99 + 2 x 1
conservation de la charge : 42 + 1 = 43 + 0
(résultat obtenu récemment par des chercheurs canadiens )
B- Spectrographe de masse (11,5 points)
Données :
charge électrique élémentaire :
e = 1,60 x 10-19C
mas
s
ed’
unnuc
l
é
on: mn = 1,67 x 10-27 kg
Lepoi
dsd’
uni
onpe
utê
t
r
ené
gl
i
géde
v
antl
e
saut
r
e
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url
’
i
on.
Lamas
s
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one
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l
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Lav
i
t
e
s
s
ed’
u
ni
one
s
ts
uf
f
i
s
amme
ntf
ai
bl
epourpouvoir appliquer les lois de la mécanique classique.
1. Une chambre d'ioni
s
a
t
i
onpr
odui
tunmé
l
a
nged’
i
ons
(P1)
68
2+
X
2+
zinc Zn et Zn . Ces ions sont accélérés dans le vide Chambre
O
entre deux plaques parallèles P1 et P2, distantes de
d’
i
oni
sat
i
on
d = 2,5 cm et soumises à une tension U = 1000 V.
(P2)
S
1.1 Indiquer les polarités des plaques et le signe de la
B
différence de potentiel VP1-VP2.
ions positifs accélérés de la plaque positive (P1) à la plaque
F
négative (P2) donc VP1 > VP2 et VP1-VP2 > 0

1.2 Indiquer la direction et le sens du vecteur champ électrique E
M+
entre les plaques puis calculersa valeur.
Vecteur champ électrique E perpendiculaire aux plaques,
I1
dirigé vers la plaque de plus faible potentiel (P2) et de valeur
v
I2
E = U/d = 1000/0,025 = 4,0 x 104 V.m-1 = 40 kV.m-1
2. Établir l'expression de la vitesse v1 d’
uni
on68Zn2+ au passage en S en négligeant
leur vitesse en O puis calculer v1 avec trois chiffres significatifs.
Onappl
i
quel
et
hé
or
è
medel
’
é
ne
r
gi
ec
i
né
t
i
queàuni
on68Zn2+ de masse m1= 68mn et de charge q= 2e
soumis à la tension VP1-VP2 e
nt
r
el
epoi
ntd’
é
mi
s
s
i
onO ave
cunevi
t
e
s
s
enul
l
ee
tl
epoi
ntde passage S
avec la vitesse v1 dans le référentiel terrestre supposé galiléen :
2qU
4eU
eU
EC(S) –EC(O) = q(VP1-VP2) ; ½ m1v12 –0 = qU ; v1 =
=
; soit v1 =
m1
68mn
17mn
application numérique : v1 =
3.
1, 60 10 19 1000
27
= 7,51 x 104 m.s-1
17 1, 67 10
Mont
r
e
rqu’
uni
o
n Zn passe en S avec la vitesse v2 vérifiant la relation :
X
2+
v2
 68
x
v1
le même raisonnement appliqué à l
’
i
onXZn2 de masse m2 = Xmn et de même charge q conduit à :
2
2
2
2
2
½ m2v2 –0 = qU donc ½ m2v2 = ½ m1v1 ; m2v2 =
m1v12
68 mn
v  m
v
68
;  2  1 
, d’
où: 2 
v1
X
v1  m2 X mn
4. Aprèsleur passage en S, les ions pénètrent dans une enceinte où règne un champ magnétique
uniforme B , orthogonal au plan de figure. Les ions décrivent alors des trajectoires curvilignes situées dans le
plan de figure et représentées en traits hachurés.

4.1. Préciser sur le schéma le sens du vecteur B sachant que les ions 68Zn2+ arrivent en l1 et les ions XZn2+
arrivent en I2.

 

4.2 Exprimer la force magnétique F e
xe
r
c
é
es
url
’
i
on68Zn2+ de vitesse v et représenter les vecteurs F et v
au point M.
  
Force de Lorentz F = q v B
5.
Le mouvement d'un ion de masse m, de charge q et de vitesse v est uniforme et circulaire de rayon :
mv
R=
|q|B
68
2+
5.1 Ler
a
y
ondel
at
r
a
j
e
c
t
oi
r
edel
’
i
on Zn vaut R1= 26,6 cm. Calculer la valeur B du champ magnétique.
L’
i
on68Zn2+ décrit une trajectoire de rayon R1 avec la vitesse v1 donc
B=
34mn v1
mv1 68mn v1
34×1,67×10-27 ×7,51×104
=
=
=
= 0,100 T = 100 mT
eR1
|q|R1
2eR1
1,60×10 -19 ×0,266
5.2 Mont
r
e
rqu
’
uni
onXZn2+ décrit une trajectoire de rayon R2 tel que : R2 =
R1
X
68
(Utiliser la relation 1.4)
L’
i
on68Zn2+ décrit une trajectoire de rayon R2 avec la vitesse v2 donc
m2v 2
X mn
R2
m v
m
v
68
|q|B
=
= 2 2= 22 =
×
=
m1v1
R1
m1v1 m1 v1
X
68 mn
|q|B
6.
X
68
Ladi
s
t
a
nc
ee
nt
r
el
e
spoi
nt
sd’
arrivées des ions est I1I2 = 8 mm.
6.1 Que représentent les distances SI1 et SI2 ? Déduire la valeur du rayon R2
Les distances SI1 et SI2 sont les diamètres des trajectoires des ions 68Zn2+ et XZn2+ respectivement
II
0, 8
SI2 = SI1 + I1I2 donc 2R2 = 2R1 + I1I2 et R2 = R1 + 1 2 = 26,6 +
= 27,0 cm
2
2
6.2 I
de
nt
i
f
i
e
rl
’
i
s
ot
opeXZn2+.
2
2
2
R 2  X
R 
27,0 
donc X = 68  2  = 68 x 
ls
’
agi
tdoncdel
’
i
s
ot
ope70Zn2+
 =
≈70 ; i
R
R
68
26,
6


 1
 1