MECANIQUE QUANTIQUE ESO 1 2 A – INTRODUCTION : LES IDEES FONDAMENTALES DE LA DESCRIPTION DU MONDE MICROSCOPIQUE ...... 7 1 – POSITION DE LA MECANIQUE QUANTIQUE ........................................................................................................... 7 2 – LES EXPERIENCES FONDAMENTALES ET LES INSUFFISANCES DE LA PHYSIQUE CLASSIQUE ................................................ 8 a – Abandon de la mécanique classique déterministe au profit d’une mécanique probabiliste ............... 8 b – Nécessité de construire une physique dont les postulats couvrent à la fois matière et rayonnement ...................................................................................................................................................................... 10 c – Le traitement quantique doit inclure la mesure des grandeurs physiques ........................................ 12 d – La mécanique quantique doit rendre compte de la quantification de l’énergie des atomes et des molécules ...................................................................................................................................................... 12 B – LES POSTULATS DE LA PHYSIQUE QUANTIQUE .................................................................................... 15 1 – POSTULAT DE DESCRIPTION DU SYSTEME QUANTIQUE ......................................................................................... 15 a – Description de l’état du système........................................................................................................ 15 b – Description des grandeurs physiques mesurables ............................................................................. 16 2 – POSTULAT CONCERNANT LA MESURE DES GRANDEURS PHYSIQUE........................................................................... 16 3 – POSTULAT D’EVOLUTION D’UN SYSTEME AU COURS DU TEMPS .............................................................................. 22 4 – POSTULATS DE CORRESPONDANCE ENTRE GRANDEUR PHYSIQUE ET OPERATEUR ....................................................... 23 C – LE PUITS QUANTIQUE .......................................................................................................................... 25 1 – PARTICULES DE MASSE M DANS V(R) – NOTION D’ETAT STATIONNAIRE ................................................................... 25 2 – PARTICULES DANS DES POTENTIELS A UNE DIMENSION......................................................................................... 26 a – idéalisation du potentiel par introduction de discontinuités ............................................................. 26 b – Etude d’une particule dans un puits de potentiel infini ..................................................................... 28 c – Etat lié d’une particule dans un puits fini : le puits quantique ........................................................... 30 D – OSCILLATEURS HARMONIQUES ........................................................................................................... 35 1 – RAPPELS DE MECANIQUE CLASSIQUE ................................................................................................................ 35 2 – IMPORTANCE DE L’OSCILLATEUR HARMONIQUE.................................................................................................. 35 3 – ETATS STATIONNAIRES DE L’OSCILLATEUR HARMONIQUE EN PHYSIQUE QUANTIQUE................................................... 36 a – Résolution analytique directe de l’équation ...................................................................................... 36 b – Recherche de la quantification de l’énergie en utilisant les opérateurs création et annihilation ...... 40 E – QUELQUES CONSEQUENCES GENERALES DES POSTULATS ................................................................... 45 1 – FONCTION D’ONDE ET PROBABILITE DE PRESENCE ............................................................................................... 45 2 – CONSEQUENCE DE L’EQUATION D’EVOLUTION DE |Ψ(T)> ................................................................................... 46 a – Evolution dans le temps d’un état quelconque |Ψ(x,t)>.................................................................... 46 b – Evolution dans le temps de la norme de |Ψ(x,t)> .............................................................................. 47 c – Evolution dans le temps de la densité de probabilité ......................................................................... 48 3 – RELATION D’INCERTITUDE D’HEISENBERG ......................................................................................................... 49 4 – POSTULATS ET MODELISATION : LE PROBLEME DES ETATS LIBRES D’UNE PARTICULE ................................................... 50 a – Etats stationnaires d’une particule libre ............................................................................................ 51 b – Problème de la normalisation de la fonction d’onde ......................................................................... 52 c – La marche de potentiel ...................................................................................................................... 53 3 F – PERTURBATIONS INDEPENDANTES DU TEMPS .................................................................................... 57 1 – CAS D’UN ETAT QUI EST NON DEGENERE EN L’ABSENCE DE PERTURBATION .............................................................. 57 2 – CAS D’UN ETAT QUI EST DEGENERE EN L’ABSENCE DE PERTURBATION ..................................................................... 59 3 – EXEMPLES D’APPLICATION ............................................................................................................................ 61 a – Effet Stark dans le puits quantique ................................................................................................... 61 b – Levée de dégénérescence pour une particule placée dans deux puits couplés ................................. 62 G – LES PERTURBATIONS DEPENDANTES DU TEMPS ................................................................................. 65 1 – POSITION DU PROBLEME............................................................................................................................... 65 2 – PROBABILITE DE TRANSITION ENTRE |ϕI> ET |ϕF> ............................................................................................. 65 3 – EXEMPLE DE PERTURBATION DEPENDANTE DU TEMPS ......................................................................................... 67 a – Perturbation sinusoïdale ou constante ............................................................................................. 67 b – Couplage d’un état discret avec un continuum d’états ..................................................................... 68 4 – COMPORTEMENT D’UN ATOME DANS UN CHAMP ELECTROMAGNETIQUE OPTIQUE AU VOISINAGE DE LA RESONANCE ....... 70 a – Approximation dipolaire électrique................................................................................................... 70 b – Approximation de l’atome à deux niveaux........................................................................................ 71 c – Résolution perturbatrice .................................................................................................................... 73 d – Comportement de l’atome en champ intense – oscillations de Rabi ................................................ 74 H – SYSTEMES COMPLEXES ET PRODUIT TENSORIEL D’ESPACE ................................................................. 77 1 – DEFINITION DU PRODUIT TENSORIEL D’ESPACE .................................................................................................. 77 2 – ACTION DES OPERATEURS DE F1 ET F2 DANS E ................................................................................................... 78 4 Bibliographie : Mécanique quantique (tomes 1 et 2) C.Cohen – Tnnoudji, B.Diu, F.Laloë (Masson) Optoélectronique E.Rosencher, Borge Vinter (Masson 98) Structure électronique et liaison chimique Direction JR Lalonne (Masson 1992) Mécanique quantique Mécanique classique Landau – Lifshitz (Miv Moscou) Introduction à la physique quantique J.P. Barrat (Dunod Univ) Cours de Mécanique quantique A. Ayant, E.Belovisky 5 6 A – INTRODUCTION : LES IDEES FONDAMENTALES DE LA DESCRIPTION DU MONDE MICROSCOPIQUE Il existe un problème dans le choix des références à utiliser. Les lois de la physique classique servent à décrire le monde macroscopique, elles sont issues de notre expérience. Le domaine microscopique est quant à lui inaccessible à nos sens, et l’application des lois de la mécanique classique dans ce domaine se révèle être un échec. Il faut donc impérativement adopter une axiomatique nouvelle ; c’est ce qui a conduit à la physique quantique. La démarche actuelle est la suivante : • • • • • A l’objet microscopique, on applique un modèle calqué sur une structure macroscopique Le résultat de l’application des lois de la physique classique est incohérent avec les expériences Ceci entraîne une modification des lois classiques qui mène à une axiomatique quantique On compare les nouvelles lois avec les expériences. Les résultats sont plus cohérents, mais il existe quelques problèmes résiduels On modifie le modèle (par exemple en prenant en compte le spin), ce qui entraîne une meilleure cohérence entre lois et expériences 1 – Position de la mécanique quantique L’univers est un équilibre subtil entre matière et rayonnement. Les lois de la physique se sont données pour but la description unitaire de ces deux composantes de l’univers. Les théories classiques sont un ensemble de lois qui rendent compte des phénomènes macroscopiques (phénomènes mettant en jeu des dimensions et énergie à l’échelle humaine). Le traitement macroscopique de la matière a conduit à la mécanique classique de Newton, et celui du rayonnement, aux équations de Maxwell. Toutefois, ces lois classiques présentent des insuffisances pour traiter le comportement microscopique de l’univers : il va falloir traiter la matière et le rayonnement avec des lois différentes Domaine de validité de la mécanique quantique traitée : v << c r l >> h r l << h v≈c Mécanique relativiste classique non Mécanique relativiste classique Mécanique relativiste quantique non Mécanique relativiste quantique La physique quantique est la physique des systèmes microscopiques. Il y a unification de traitement de la matière et du rayonnement. La physique doit contenir les lois classiques à la limite des objets macroscopiques 7 2 – Les expériences fondamentales et les insuffisances de la physique classique a – Abandon de la mécanique classique déterministe au profit d’une mécanique probabiliste a – Diffraction d’atomes, de neutrons ou d’électrons F1 S (source d’atomes F2 Ecran L’atome est une particule isolable à laquelle on applique les lois classiques La source S est une source d’atomes à faible flux. On observe l’impact des particules sur l’écran. Pour chaque fente, on observe des impacts n dehors des zones géométriques. Nombre d’impacts Zone géométrique F1 ou F2 (pas les deux en même temps) Centre F1 Centre F2 F1 et F2 (les deux en même temps) 8 Comment expliquer ce phénomène : • • Est-ce du à la réflexion possible sur les bords de la fente ? Ou à la collision possible entre les particules déviées par les deux fentes ? En utilisant une source à très faible flux (une particule à la fois), on retrouve le même phénomène d’interférence. On ne peut plus ici parler encore de trajectoire pour les particules microscopiques b – analogie avec les fentes d’Young On peut faire une expérience analogue avec une source lumineuse. On obtient exactement les mêmes observations, mais les franges obtenues étaient attendues et sont classiquement observables. E = E1 + E 2 où E est l’amplitude lumineuse totale dans le plan de l’écran, et Ei la contribution de la fente i à cette amplitude. On calcule l’éclairement dans le plan de l’écran : E = E1 + E 2 + 2. Re(E1.E 2 ) 2 2 2 où 2.Re(E1 .E 2 ) est le terme d’interférence c – notion de mécanique probabiliste On associe une onde à la particule matérielle (De broglie, 1923) caractérisée par son énergie E et sa r quantité de mouvement p E = h.ν r r 2.π r p = h.k où k = λ r c est le vecteur de propagation de la particule. h est la constante de Planck, elle vaut h = 6,6.10 −34 J.s h= h 2.π Les deux hypothèses onde/corpuscule s’excluent mutuellement, donc aucune des deux représentations n’est correcte. L’idée fondamentale repose sur une notion nouvelle de corpuscule qui ne satisfait plus aux lois classiques. Le corpuscule quantique est décrit par une fonction d’onde r r 2 r Ψ (r , t ) sachant que Ψ (r ,t ) représente la densité de probabilité de présence de la particule en r et t. On passe donc à une mécanique probabiliste. On dispose maintenant à chaque instant d’une carte de la probabilité de présence de la particule en chaque point de l’espace. On est obligé d’abandonner la notion de trajectoire. Remarque : • On ne doit toutefois pas confondre Ψ (r , t ) fonction d’onde, avec une onde au sens classique. r En effet, Ψ (r , t ) n’obéit pas aux lois de Maxwell. r 9 • • • r Ψ (r , t ) est associé à une particule matérielle On ne peut plus donner de trajectoire classique d ‘un corpuscule quantique, mais une carte de probabilité de présence qui évolue au cours du temps r r r r On travaille sur un ensemble de particule de positions ri → Ψ (r1 , r2 ,..., rn ) telles que r 2 r Ψ (ri , t ) soit la probabilité de présence de la particule i en ri . b – Nécessité de construire une physique dont les postulats couvrent à la fois matière et rayonnement a – Impact dans l’expérience des fentes d’Young : notion de photons b – Autres expériences de mise en évidence des photons Expérience du corps noir de Planck : Rayonnement T Four On fait une hypothèse d’échange discontinu d’énergie entre matière et rayonnement. On voit alors apparaître des grains d’énergie, d’énergie hν . I Courbe théorique Courbe expérimentale 10 λ Effet photoélectrique (Einstein 1905) : Ampoule υ PA Si υ < υ0, il n’y a pas de courant. Si υ < υ0, il y a du courant. T = hν − W Où T est l’énergie reçue, et W est indépendant du rayonnement. Ceci introduit la notion de photon. Ici, le rayonnement est interprété comme un flux de photon. Effet compton (1923) Cible ν − ν 0 = f (cosθ ) υ0 r p Après collision θ υ0 e- eυ υ photon υ0 + électron au repos → électron en mouvement + photon (υ,θ) hν 0 r r p0 = .i0 c r hν r p= .i c c – Apparition de franges dans l’expérience des trous d’Young L’apparition des franges dans l’expérience des trous d’Young fait qu’il est nécessaire d’associer aspect corpusculaire et aspect ondulatoire. Comme pour la matière, le rayonnement sera décrit par une fonction d’onde : rayonnement et matière obéissent aux même postulats. 11 c – Le traitement quantique doit inclure la mesure des grandeurs physiques F1 Laser Réflexion due aux passages d’atomes S Source d’atomes F2 Eclairement Laser Observations : • • • • Un atome ne passe que par F1 ou F2, mais jamais par les deux fentes Il existe un couplage entre les atomes passants par F1 et F2, puisque tous les atomes sont partis de S Il y a disparition du phénomène d’interférence Si l’on ne compte pas tous les atomes, il y a réapparition partielle des interférences En conclusion, la mesure perturbe le système. Ceci est du au fait que la mesure est de même dimension que le système en terme d’énergie. Ψ = Ψ1 + Ψ2 où Ψ1 est la fonction d’onde associée aux particules traversant le trou 1, et Ψ2 est la fonction d’onde associée aux particules traversant le trou 2. Ψ est la fonction d’onde globale Si on détecte une particule traversant le trou 1, la fonction d’onde globale après la mesure devient : Ψ’ = Ψ1 (postulat du à la perturbation) d – La mécanique quantique doit rendre compte de la quantification de l’énergie des atomes et des molécules L’absorption et l’émission d’énergie par les atomes se font sur des fréquences particulières. Spectre de l’hydrogène (Balmer en 1885) L’ensemble des fréquences pour lesquelles on observe absorption/émission d’énergie est donné par la relation : 1 1 − 2 2 n 2 ν = R.c. où R est la constante de Rydberg 12 Atome de Rutter Ford Ici, on considère une émission d’onde E.M. Ceci se traduit par une instabilité du système. Ce modèle est de ce fait un échec. Il ne permet pas de plus d’expliquer les discontinuités de fréquences d’absorption/émission Atome de Bohr (1913) Ici, on considère un ensemble de niveaux particuliers d’énergie. 4 3 2 1 Les différents niveaux d’énergie sont donnés par la relation : E = R.c. 1 n2 où n est le numéro du niveau d’énergie considéré (1, 2, …, ∞). r L’hypothèse de Bohr est la suivante : il utilise le modèle de Ruther Ford en posant l = n.h . L’hypothèse de Bohr est incohérente avec les postulats classiques. De plus, les instabilités découlant du modèle de Ruther Ford ne sont toujours pas expliquées. Les lois classiques ne s’appliquant pas, il faut adopter de nouveaux postulats. En conclusion, on doit construire pour le domaine microscopique une physique quantique qui doit satisfaire aux conditions suivantes : • • • • • Abandon de la mécanique classique déterministe au profit d’une mécanique probabiliste Les postulats couvrent à la fois matière et rayonnement Le traitement inclus obligatoirement la mesure Prise en compte de valeurs particulières de l’énergie ou moments cinétiques La physique quantique doit contenir la physique classique à la limite des systèmes macroscopiques 13 14 B – LES POSTULATS DE LA PHYSIQUE QUANTIQUE 1 – Postulat de description du système quantique a – Description de l’état du système • • En physique classique (mécanique analytique), la fonction de Lagrange L (r1 ,..., rn , r1 ,..., rn , t ) ( ) permet de représenter l’état du système. En physique quantique, Ψ r1 ,..., rn , t ∈ F (F est l’espace des états) décrit le système microscopique. Ψ débouche sur une carte de probabilité à l’instant t. Avant l’introduction de spins et autres caractéristiques quantiques, la position de la particule { } permet de caractériser son état. ri à t ↔ {Ψ} . Ψ est une application de R3n dans le corps des complexes. • F est un espace de l’ensemble des fonctions complexes. • F est un espace vectoriel hermitien 2 Ψ (r , t ) .dv est la probabilité de présence de la particule dans le volume dv. Il vient ainsi 2 ∫ Ψ(r, t ) .dv = 1 (probabilité de présence de la particule dans tout l’espace) tou l'espace • L’ensemble F est limité à l’ensemble Lc2 des fonctions complexes de carré sommable (Lc2 est un espace de Hilbert). Ψ (ri , t ) est définie partout, continue et indéfiniment dérivable. 1er postulat : A l’instant t donné, l’état d’un système peut être représenté par une fonction d’onde Ψ ( ri , t ) appartenant à l’espace vectoriel F des fonctions complexes définies, continues, dérivables et de carré sommable. Notation de Dirac : Ψ (r , t ) ∈ F → Ψ (t ) ∈ F 15 Produit hermitien de deux vecteurs : Ψ (t ) ϕ (t ) = ∫ ϕ (r , t ).Ψ ∗ (r , t ) = ϕ (t ) Ψ (t ) ∗ [V ] ϕ a.Ψ1 + b.Ψ2 = a. ϕ Ψ1 + b. ϕ Ψ2 a.ϕ 1 + b.ϕ 2 Ψ = a ∗ . ϕ 1 Ψ + b ∗ . ϕ 2 Ψ Ψ Ψ =1= ∫Ψ ∗ (r , t ).Ψ (r , t ).dv [V ] Ψ ϕ =0⇔ Ψ ⊥ϕ b – Description des grandeurs physiques mesurables Il y a nécessité de prendre en compte une suite de valeurs particulières pour certaines grandeurs physiques. Il existe une correspondance entre opérateur (caractérisé par un ensemble de valeurs propres) et grandeurs physiques. 2ème postulat : Toute grandeur physique mesurable A peut être décrite par un opérateur  agissant dans l’espace vectoriel F des états et dont l’ensemble orthonormé des fonctions propres Ψn forme une base de l’ensemble des états. Définition :  agissant dans F ˆ A Ψ∈F → Ψ '∈ F Ψ ' = Aˆ . Ψ On note Ψn une fonction propre de  , et an une valeur propre de  . Aˆ . Ψn = a n . Ψn Ψ ∈ F = c1 Ψ1 + ... + c n . Ψn 2 – Postulat concernant la mesure des grandeurs physique 3ème postulat : La mesure d’une grandeur physique A ne peut donner comme résultat qu’un des valeurs propres de l’opérateur  correspondant. 16 Ψ = c1 Ψ1 + ... + c n . Ψn a1 an On obtient ainsi a1 , …, a n sans connaître les probabilités de mesure. Ψ = ∑ cn . ψ n n Ψ Ψn = ∑c m .Ψm Ψn = c n∗ m De même, Ψn Ψ = c n On en déduit que c 2 = Ψ2 Ψ , soit c 2 2 = Ψ2 Ψ 2 4ème postulat : Lorsque l’on mesure la grandeur physique A sur un système dans un état représenté par Ψ , la probabilité P Ψ (a n ) d’obtenir comme résultat la valeur propre an non dégénérée de  est déterminée par P Ψ (an ) = Ψn Ψ 2 , où Ψn est la fonction propre associée à an. On suppose Ψ Ψ = 1 Soit ∑c m .Ψm m ∑ c .Ψ n n n = ∑ c n∗ .c n Ψn Ψn , d’où n ∑c 2 n =1 n Dégénérescence d’une valeur propre an : Aˆ . Ψn = a n . Ψn an est non dégénérée si an est associé à un seul vecteur propre. Dans ca cas, si Ψn est une fonction propre associée à an, alors λ. Ψn est aussi une fonction propre associée à an. Si la valeur propre an est associée à Ψn, ϕn, …, alors Aˆ Ψn = a n . Ψn Aˆ ϕ n = a n . ϕ n et ϕ n ≠ λ . Ψn On note dans la suite gn la dégénérescence de an (gn est le nombre de fonction propre associée à an) Suite de mesures de A sur des systèmes dans des états identiques : a Ψ = Ψ Aˆ Ψ 17 On effectue N mesures de A. Chaque mesure an a une probabilité c n ∑N c 2 n 2 d’être mesurée. .a n = N .a Ψ , n d’où a Ψ = ∑ c n .a n 2 n Ψ Aˆ Ψ = ∑c m .Ψm Aˆ ∑ c n .Ψn = m ∑c n m ∑a .Ψm m n .c n .Ψn = ∑ a n . c n n 2 n Cas particulier : Ψ = Ψn P Ψ (a n ) = 1 et P Ψ (a m ) = 0 si n ≠ m Aˆ . Ψn = a n . Ψn , soit a Ψ = a n 5ème postulat : Si la mesure d’une grandeur physique A sur le système dans un état Ψ quelconque donne pour résultat la valeur propre an non dégénérée, l’état du système immédiatement après la mesure n’est plus Ψ mais l’état représenté par la fonction propre Ψn de  associée à an. mesure de A (P ( a ) <1) mesure de A (P ( a ) =1) Ψ Ψ Ψ n → Ψn n → Ψn Généralisation des postulats : • Cas de valeurs propres dégénérées an Ψ = c1 . Ψ1 + c 2 . Ψ2 + ... + c n1 . Ψn1 + c n2 . Ψn2 + ... + c nq . Ψnq + c n+1 . Ψn+1 + ... où gn = q an an an Ψn q P Ψ (a n ) = ∑ Ψni Ψ i =1 18 2 mesure de A : a (P ( a ) <1) n n Ψ Ψ → • Ψn Ψn Ψn → Ψn Ψn Spectre des valeurs propres an continues Probabilité de trouver la valeur de mesure comprise entre an et an+dan 2 dP Ψ (a n ) = Ψn Ψ .da n entre an et an+dan Compléments et exercices sur les opérateurs linéaires agissants dans l’espace F des états : Exemple d’opérateurs : xˆ → xˆ Ψn = x. Ψn ∂ˆ ∂ˆ ∂ Ψn → Ψn = ∂x ∂x ∂x Fonction propre de cet opérateur : ∂ f n ( x, t ) = a n . f n ( x, t ) , soit f n ( x, t ) = c(t ).e an x ∂x l’opérateur est à spectre continu (an est valeur propre et gn=1) ˆ . f ( x, t ) = f ( − x, t ) Opérateur parité Π : Π Fonction propre de Π : ˆ . f ( x, t ) = a . f ( x, t ) = f ( − x , t ) Π n n n n ˆ Π ˆ . f ( x, t ) = Π ˆ .a . f ( x, t ) = f ( x, t ) Π ( n ) n n n ˆ . f ( x, t ) = a . f ( x, t ) = a n .Π n n 2 n a n2 = 1 ˆ . f ( x, t ) = f ( x, t ) = f (− x, t ) la fonction est paire a n = +1 → Π n n n ˆ . f ( x, t ) = − f ( x, t ) = f (− x, t ) la fonction est impaire a n = −1 → Π n n n soit a n = +1 ( g n = ∞ ) le spectre de Π est discret. a n = −1 ( g n = ∞ ) Π a deux valeurs propres 19 Recherche d’opérateurs à valeurs propres réelles : Définition de l’opérateur adjoint : Aˆ → Aˆ + ∗ ϕ Aˆ Ψ = Ψ Aˆ ϕ = Aˆ +ϕ Ψ L’opérateur hermitique est définit par ) ) A = A+ Soit ϕ Aˆ Ψ = Ψ Aˆ ϕ ∗ = Aˆ ϕ Ψ Les opérateurs hermitiques sont à valeurs propres réelles Hypothèse : Aˆ Ψn = a n . Ψn Ψn Aˆ Ψn = a n Ψn Ψn = a n = Ψn Aˆ Ψn ∗ = a n∗ Soit an = an∗ est réel ) Deux fonctions propres d’un opérateur hermitique A associées à deux valeurs propres différentes sont orthogonales. Aˆ Ψn = a n . Ψn Aˆ ϕ n = bn . ϕ n Aˆ ϕ n Ψn = bn .ϕ n Ψn = bn∗ ϕ n Ψn = a n . ϕ n Ψn Soit (a n − bn∗ ) ϕ n Ψn = 0 ϕ n Ψn = 0 ( a n ≠ bn ) Commutateur d’opérateur : Aˆ ϕ = Ψ ' Bˆ Ψ ' = Ψ ' ' = Bˆ Aˆ Ψ = Cˆ Ψ où Cˆ = Aˆ Bˆ Aˆ Bˆ − Bˆ Aˆ = [ Aˆ , Bˆ ] 20 ˆ = [ Aˆ , Bˆ ] .  et B̂ commutent si [ Aˆ , Bˆ ] = 0 On pose Cˆ ' = Aˆ Bˆ et D Hypothèse : Aˆ Ψn = a n Ψn où an est une valeur propre non dégénérée Le sous espace propre associé à an est de dimension 1. Aˆ Ψn' = a n Ψn' implique que Ψn' = λ Ψn . Bˆ Aˆ Ψn = Bˆ .a n . Ψn = a n .Bˆ . Ψn = Aˆ Bˆ Ψn Bˆ Ψn = bn Ψn Dans le cas où la valeur propre précédente est dégénérée (par exemple gn = 2), lLe sous espace propre associé à an est de dimension 2. On associe à an les fonctions propres ϕ n et Ψn . Si Aˆ Ψn' = a n Ψn' alors nécessairement Ψn' = a. Ψn + b. ϕ n Bˆ Aˆ . Ψn = Bˆ .a n . Ψn = a n .Bˆ . Ψn = Aˆ Bˆ . Ψn donc Bˆ Ψn = a1 . Ψ + b1 . ϕ De même Bˆ ϕ n = a 2 . Ψ + b2 . ϕ Bˆ (c1 Ψn + c 2 ϕ n ) = b (c n 1 Ψn + c 2 ϕ n ) ? Les constantes recherchées sont c1 et c2. Les paramètres connus sont a1, a2, b1, b2. c1 (a1 . Ψn + b1 . ϕ n ) + c 2 (a 2 . Ψn + b2 . ϕ n ) = b .c . Ψ n 1 n + bn .c 2 . ϕ n c1 .a1 + a 2 c1 .a1 + c 2 .a 2 = bn .c1 c1 .a1 + c 2 .a 2 c1 c 2 = = soit c1 c1 .b1 + c 2 .b2 = bn .c 2 c1b1 + c 2 .b2 c2 b1 + b2 c2 Soit 2 c1 c2 c .b1 + 1 .(b2 − a1 ) − a 2 = 0 c2 c1 c2 → bn(1) 1 On obtient deux solutions c1 → bn( 2 ) c2 2 21 c Bˆ 1 c 2 c Ψn + ϕ n = bn(1) . 1 1 c 2 Ψn + ϕ n 1 Si an est une valeur propre de  associée à deux fonctions propres Ψn et ϕ n existe deux combinaisons linéaires de Ψn [Aˆ , Bˆ ] = 0 . et ϕ n (gn = 2), il qui sont fonctions propres de B̂ lorsque Si an est une valeur propre de  de dégénérescence de gn = q, il existe q combinaisons linéaires indépendantes dans le sous espace propre de dimension q associée à an qui sont fonctions ) propres de B lorsque Aˆ , Bˆ = 0 . [ ] Deux opérateurs qui commutent ont un ensemble de fonctions propres en commun. Remarque : • Représentation matricielle de l’opérateur base Ψn dans F Aˆ → ϕ n Aˆ Ψn = Am,n La matrice des coefficients Am,n est la représentation de  dans la base des Ψn Am+ ,n = ϕ n Aˆ + Ψn = ϕ n Aˆ Ψn ∗ = An∗,m ) ) L’élément de matrice de l’opérateur A + s’obtient de A par : • • symétrie par rapport à la diagonale principale conjugaison des éléments de matrices () Pour les opérateurs hermitiques, Aˆ • m ,n = ( An,m ) ∗ ϕ ' ϕ ' = Aˆ ϕ Aˆ ϕ = ϕ Aˆ + Aˆ ϕ d’où ϕ ' = ϕ  + 3 – Postulat d’évolution d’un système au cours du temps Recherche d’une équation d’évolution cohérente avec les observations expérimentales 6ème postulat : L’évolution au cours du temps de l’état d’un système quantique représenté par sa fonction d’onde Ψ(t) est régie par l’équation de Shrödinger suivante : i.h. ∂ Ψ (t ) = Hˆ Ψ (t ) ∂t ) où H est l’opérateur hamiltonien associé à la grandeur de l’énergie totale dans les systèmes conservatifs. 22 Remarque : • La recherche des hamiltoniens dans le cas de systèmes non conservatifs (traite du rayonnement) sort du cadre du cours. Dans les systèmes conservatifs, H = T + V où T est l’énergie cinétique et V l’énergie potentielle. • Pour les systèmes non conservatifs, il existe pour H différentes formes possibles • ∂ d Ψ r, t ≡ Ψ r, t ∂t dt ( ) ( ) Il existe une distinction essentielle entre mécanique quantique et mécanique classique. r n’est ( ) 2 plus fonction de t en mécanique classique. Ψ r , t .dr représente la probabilité de présence à t en r . 4 – Postulats de correspondance entre grandeur physique et opérateur Nécessité de construire, en pratique, les opérateurs de sorte que l’on puisse retrouver à la limite macroscopique les lois classiques sur les opérateurs A(qi , pi , t ) ↔ Aˆ (qˆ i , pˆ i , t ) 7ème postulat : L’opérateur  correspondant à la grandeur physique A s’obtient en remplaçant dans l’expression classique A(q i , pi , t ) convenablement symétrisée, les grandeurs positions qi et moments conjugués des positions pi, par des opérateurs q̂ i et p̂ i convenablement choisis. Les positions et moments conjugués dans ce cours sont des coordonnées cartésiennes et de quantités de mouvement. • q i = xi , y i , z i • • pi = m x i , m y i , m z i qi et pi doivent être convenablement choisis. Il existe donc des incertitudes. Il existe une corrélation entre mesure de position et mesure de quantité de mouvement. Les observations expérimentales d’Heisenberg montrent que [qˆ i , pˆ i ] ≠ 0 (pas de fonction propre en commun) [qˆ , fˆ ] = i.h i i [qˆ , pˆ ] = 0 si j ≠ i i j • qi et pi sont des opérateurs hermitiques • A(q i , pi , t ) est convenablement symétrisée [qˆ , qˆ ] = 0 si j ≠ i i j qˆ i . pˆ i devrait être hermitique pour que  soit hermitique 23 qˆ i et pˆ i sont hermitiques, donc qˆ i . pˆ i n’est pas hermitien si [qˆ i , pˆ i ] ≠ 0 qˆ i . pˆ i = • 1 [qˆ i . pˆ i + pˆ i .qˆ i ] qui est hermitique 2 Dans la pratique, on utilise la relation de Shrödinger avec la correspondance suivante : qˆ i = qi pˆ i = −i.h. ∂ ∂q i où qi est une coordonnée cartésienne xˆ i = xi pˆ xi = −i.h. yˆ i = y i ∂ ∂xi pˆ yi = −i.h. ∂ ∂y i zˆi = z i pˆ zi = −i.h. ∂ ∂z i Remarque : • En coordonnées non cartésiennes, la correspondance est plus compliquée • Dès que la correspondance est établie, on choisit le système de coordonnées le mieux adapté par rapport aux symétries du problème • C’est une construction très originale dont les éléments essentiels ont été conçus dans les années 1930 par Shrödinger, Dirac, Bohr, Born, Heisenberg 24 C – LE PUITS QUANTIQUE 1 – Particules de masse m dans V(r) – notion d’état stationnaire ( ) on note Ψ r, t l’état de la particule i.h. ∂ Ψ (t ) = Hˆ . Ψ (t ) ∂t Construction de H : • En physique classique : Pour un système conservatif, H = T +V = • () p2 +V r 2.m En physique quantique : xˆ = x yˆ = y zˆ = z 2 ∂ ∂ ∂ pˆ = pˆ + pˆ + pˆ = − i.h. + − i.h. + − i.h. = −h 2 .∆ ∂x ∂y ∂z 2 2 2 x 2 y 2 2 z h2 Hˆ = − .∆ + V ( x, y, z ) 2.m On utilise le système de coordonnées adapté à la symétrie du problème i.h. ( ) h2 ∂ Ψ (t ) = − .∆ + V ( x, y, z ). Ψ (t ) ∂t 2.m ( ) Si on connaît Ψ r , t 0 , à priori l’équation détermine Ψ r, t . Cas particuliers : • Etat propre de H : ∂ Hˆ .Ψn (r , t ) = E n .Ψn (r , t ) = i.h. Ψn (r , t ) ∂t 25 E Ψn (r , t ) = ϕ n (r ). exp − i. n .t h 2 Ψn (r , t ) = Cte(t ) ce qui correspond à un état stationnaire Il vient Hˆ .ϕ n ( r ) = E n .ϕ n ( r ) en remplaçant dans l’équation de Schrödinger Remarque : • Etats ‘stationnaires’ : 2 2 Ψn (r , t ) = ϕ n (r ) n’évolue pas au cours du temps La mesure de l’énergie En est donc indépendante du temps. • Ψn (r , t ) = ϕ n (r ).e −i En .t h = f n (r ) g n (t ) De manière générale Ψ (r , t ) = f (r ).g (t ) Ψ (r , t ) est un état stationnaire dont les états propres caractérisent l’énergie. • Généralisation des états stationnaires Tout état propre de Ĥ est un état stationnaire Ψn (r , t ) = ϕ n (r ).e −i En .t h : dépendances spatiale et temporelle sont séparées 2 – Particules dans des potentiels à une dimension a – idéalisation du potentiel par introduction de discontinuités Nécessité d’idéaliser le potentiel pour avoir des solutions analytiques interprétables facilement d’un point de vue physique. V(x) V0 x x0-ξ 26 x0 x0+ξ Hˆ .ϕ nξ ( x) = E n .ϕ nξ ( x) h 2 d 2ϕ nξ ( x) − . + V ( x).ϕ nξ ( x) = E n .ϕ nξ ( x) 2 2.m dx ϕ nξ ( x) est définie partout, continue et indéfiniment dérivable. L’idéalisation mathématique peut conduire à des discontinuités des dérivées de la fonction d’onde. On peut donc être amené à sortir des postulats. Dans le cas idéalisé, la discontinuité de V(x) entraîne une discontinuité de d 2ϕ nξ →0 . dx 2 d 2ϕ nξ n = (V ξ ( x) − E n ). 2 .ϕ nξ ( x) 2 dx h x 0 +ξ ∫ x0 −ξ x +ξ d 2ϕ nξ ( x) 2.m 0 ξ . dx = . [V ( x) − E n ( x)].ϕ nξ ( x).dx dx 2 h 2 x0∫−ξ dϕ ξ = n dx dϕ ξ − n x0 +ξ dx x0 −ξ (terme 1) (terme 2) Si ξ → 0, le terme 2 donne la discontinuité si elle existe, et le terme 1 tend vers 0 (le terme à l’intérieur de l’intégrale est fini). Si le terme 2 tend vers 0, il n’y a donc pas de discontinuité, ce qui est le cas lorsque V(x) reste fini, soit quand V0 est fini. Si V0 est fini, la dérivée première de la fonction d’onde est continue. La fonction d’onde, primitive d’une fonction continue, est aussi continue. Discontinuité finie de potentiel (V0 fini): • discontinuité de • continuité de • continuité de ϕ nξ d 2ϕ nξ dx 2 dϕ nξ dx Discontinuité infinie de potentiel (V0 infini): • d 2ϕ nξ discontinuité de dx 2 • discontinuité de • continuité de ϕ nξ dϕ nξ dx 27 L’idéalisation du potentiel ne nécessite pas toujours l’introduction de discontinuités. Par exemple, pour les oscillateurs harmoniques (voir D) : V(x) x b – Etude d’une particule dans un puits de potentiel infini La particule est enfermée sur un axe entre x = -a et x = a. V(x) I II III V(x) = 0 pour x < a V(x) = ∞ pour x > a. x -a a L’état considéré est représenté par Ψ(x,t) Recherche des états stationnaires : E Ψn ( x, t ) = ϕ n ( x). exp − i. n .t h Hˆ .ϕ = E .ϕ ( x) n n n h 2 d 2ϕ nI , III ( x) . + (V0 − E n ).ϕ nI , III ( x) = 0 ⇒ ϕ nI , III ( x) = 0 car V0 = ∞ − 2 2.m dx 2 II 2 − h . d ϕ n ( x) − E .ϕ II ( x) = 0 n n 2.m dx 2 d 2ϕ nII ( x) 2.m.E n II − .ϕ n ( x) = 0 dx 2 h2 où En > 0 car En = <T> + <V(x)> mini = 0 Seule possibilité pour avoir une signification physique On pose 28 k n2 = 2.m.E n . h2 On obtient alors l’équation d 2ϕ nII ( x) − k n2 .ϕ nII ( x) = 0 . 2 dx ϕ nII ( x) = A. cos(k n .x ) + B. sin (k n .x) ) avec ϕ n (±a) = 0 [ ] ˆ = 0 . Les solutions acceptables pour Le potentiel est symétrique par rapport à x = 0. Donc Hˆ , Π ϕ n (x) sont donc les solutions paires ou impaires. Il existe deux types de solutions : ϕ n ( x) = A. cos(k n .x) ϕ n ( x) = B. sin(k n .x) solution paire solution impaire Continuité de ϕn(x) en x = ±a : Or E n = A. cos(k n .a ) = 0 kn = 2n + 1 π avec n ∈ N 2a B. sin(k n .a ) = 0 kn = n π a avec n ∈ N si n est impaire ϕ n = A. cos(k n x) k n2 .h 2 π avec k n = n. où selon la parité de n 2.m 2.a si n est paire ϕ n = B. sin(k n x) On obtient finalement h 2 .π 2 2 En = .n avec n = 1, 2, … 8.m.a 2 Constante de normalisation : Les constantes A et B sont déterminées par normalisation de ϕn(x) : a ∫ϕ ( x) .dx = 1 , 2 n −a Soit A= 1 B = a et 1 a Les constantes de normalisation sont déterminées uniquement par leur module et sont donc connues à e i .θ près (où θ est une constante). 29 c – Etat lié d’une particule dans un puits fini : le puits quantique a – traitement classique • Problème : une particule de masse m sur Ox. Conditions initiales : x = x0 et x 0 (= x’0) V(x) I II V0 III • V(x) = 0 pour x < a V(x) = V0 pour x > a. x x -a a E = Cte = • 1 .m. x0 . 2 • Si E < V0, la particule effectue des aller retour dans le puits • Si E > V0, la particule part à l’infini E = • 1 .m. x1 + V p 2 b – traitement quantique Hˆ .ϕ n = E n .ϕ n ( x) h 2 d 2ϕ nI , III ( x) . + (E n − V0 ).ϕ nI , III ( x) = 0 2 2.m dx 2 2 II h . d ϕ n ( x) + E .ϕ II ( x) = 0 n n 2.m dx 2 Seules les énergies En positives ont une signification physique. On définit kn comme pour le puits infini (b). d 2ϕ nII ( x) + k n2 .ϕ nII ( x) = 0 2 dx 30 Il y a deux cas : • En < V0 On pose K n2 = 2.m .(V0 − E n ) . h2 On obtient l’équation d 2ϕ nI , III ( x) − K n2 .ϕ nI , III ( x) = 0 dx 2 La particule est dans un état lié où ϕ nI , III est en exponentielle décroissante réelle. ϕ nI = C.e K n .x ϕ nIII = E.e − K n .x ϕ nII = A. cos(k n .x) + B. sin(k n .x) • En > V0 On pose K ' n2 = 2.m .(E n − V0 ) . h2 On obtient l’équation d 2ϕ nI , III ( x) − K ' 2n .ϕ nI , III ( x) = 0 2 dx On obtient une solution oscillante pour ϕ nI , III , d’où une probabilité de présence non nulle des particules à l’infini : la particule est dans un état libre. Généralisation des états libres / liés E n < V (∞) ⇒ état lié E n > V (∞) ⇒ état libre Pour En < V0 : [Hˆ , Πˆ ] = 0 car V(x) est une fonction paire de x On obtient deux types de solutions : • K .x Solution paire : ϕ nI = C.e n • Solution impaire : ϕ nI = C.e K n . x ϕ nIII = C.e − K ϕ nII = A. cos(k n .x)) n .x ϕ nIII = −C.e − K n .x ϕ nII = B. sin(k n .x)) 31 Condition de continuité : dϕ nII dϕ nIII ϕ (a) = ϕ (a) et (a) = (a) dx dx II n III n Pour la solution paire : A. cos(k n .a ) = C.e − K n .a − A.k n . sin(k n .a ) = −C.K n .e − K n .a tan(k n .a) = Kn kn D’où C = A. cos(k n .a ). exp( K n .a ) Pour la solution paire : B. sin(k n .a ) = C.e − K n .a B.k n . cos(k n .a ) = −C.K n .e − K n .a cotan (k n .a) = − Kn kn D’où C = − B. sin(k n .a ). exp( K n .a ) On pose α 2 = k n2 + K n2 = 2.m .V0 h2 Solution paire : 1 + tan 2 (k n .a ) = 1 + K n2 α 2 1 = 2 = , 2 2 kn k n cos (k n a ) Soit cos(k n a ) = kn α avec tan(k n a ) > 0 Solution impaire : 1 + cotan (k n .a ) = 2 α2 k 2 n = 1 , sin (k n a ) 2 Soit sin(k n a ) = 32 kn α avec cotan (k n a ) < 0 Solutions paires Solutions impaires kn α π 2π 2.a 2.a 4π 2.a 3.π 2.a 6π 2.a 5π 2.a α Remarque : • Il y a un nombre N fini de solution, il y a donc un nombre fini de valeurs possibles pour l’énergie. α N = 1 + E π 2.a • E n( i ) = [k n(i ) ] 2 . h2 par définition de k 2.m Chaque valeur de l’énergie E n(i ) est non dégénérée Pour les solutions paires : ϕ nI = C.e K n .x ϕ nIII = C.e − K n .x ϕ nII = A. cos(k n .x)) C = A. cos(k n .a ). exp( K n .a ) A est obtenu par normalisation 33 Pour les solutions impaires : ϕ nI = C.e K n .x ϕ nIII = −C.e − K n .x ϕ nII = B. sin(k n .x)) C = − B. sin(k n .a ). exp( K n .a ) B est obtenu par normalisation E (i ) Ψn ( x, t ) = ϕ n ( x). exp − i n .t h • Si V0 → ∞, k n = n π 2.a (α → ∞, la droite de solution est de pente nulle) Dans ce cas, En = n 2 . π2 4.a . 2 h2 π 2 .h 2 = n2. 2.m 8.m.a 2 Exemple de puits quantique : Un électron dans une hétérostructure de semi-conducteur GaAs / GaAlAs La modélisation typique pour ce problème est un puits quantique de largeur 2.a = 10 nm avec V0 = 360 meV. La masse effective de l’électron dans le réseau solide est m* = 0,067.me. On obtient un nombre d’états énergétiques possibles N = 3 34 D – OSCILLATEURS HARMONIQUES V(x) Problème avec force du type F = -k.x Soit, 1 V = .k .x 2 2 x 1 – Rappels de mécanique classique p2 1 H = T +V = + .k .x 2 2.m 2 Avec x = A. cos(ω .t + ϕ ) où ω = k m On obtient une énergie 1 E = .m. A 2 .ω 2 2 2 – Importance de l’oscillateur harmonique Les oscillateurs harmoniques sont des systèmes effectuants de petites oscillations autour de leur position d’équilibre. De nombreux systèmes sont ainsi modélisés dans le domaine microscopique Exemple : • Oscillations des noyaux d’une molécule diatomique • Traitement atomique du rayonnement, chaque mode du rayonnement étant représenté par un oscillateur harmonique. 35 3 – Etats stationnaires de l’oscillateur harmonique en physique quantique h 2 d 2ϕ n 1 . Hˆ ϕ n = E nϕ n = + .k .x 2 .ϕ n 2 2.m dx 2 On pose ω2 = K , m k n2 = 2.m.E n m.K m.ω et λ2 = 2 = 2 h h k 2 On obtient l’équation d 2ϕ n + k n2 − λ2 .x 2 ϕ n = 0 2 dx ( ) a – Résolution analytique directe de l’équation Recherche de solutions particulières : λ.x 2 2.m.E1 m.ω est solution de l’équation si k n2 = λ , soit = . L’énergie 2 h h2 ϕ 1 ( x) = A. exp − associée à cette solution est : E1 = λ .x 2 ϕ 2 ( x) = A'.x. exp − 2 1 .h.ω 2 2.m.E 2 m.ω est solution de l’équation si k n2 = 3.λ , soit = 3. . 2 h h L’énergie associée à cette solution est : 3 E 2 = .h.ω 2 Recherche d’une solution générale sous la forme : ϕ n ( x) = A.e − λ .x 2 2 .∑ a j .x j j − dϕ n ( x ) = A.e dx λ.x2 2 − d 2ϕ n ( x ) A . e = dx 2 = A.e 36 − − .− λ .x.∑ a j .x j + ∑ j.a j .x j −1 = A.e j j λ .x2 2 λ.x2 2 λ.x2 2 .− λ .∑ a j .x j +1 + ∑ j.a j .x j −1 j j .− λ .x − λ.∑ a j .x j +1 + ∑ j.a j .x j −1 − λ ∑ ( j + 1).a j .x j + ∑ j.( j − 1).a j .x j − 2 j j j j .λ2 .∑ a j .x j + 2 − λ.∑ (2. j + 1).a j .x j + ∑ j.( j − 1).a j .x j − 2 j j j Or x2 x2 − λ2 x 2ϕ n = − λ2 .∑ a j .x j + 2 . A. exp − λ et k n2 .ϕ n = k n2 .∑ a j .x j . A. exp − λ 2 2 j j D’où ∑ [− λ (2. j + 1) + k ].a .x + ∑ j.( j − 1).a .x 2 n j j j−2 j j =0 j ∑ ([k ] ) − λ (2. j + 1) .a j + ( j + 1).( j + 2).a j + 2 .x j = 0 2 n j On en déduit la forme de la suite des aj solution de l’équation : λ.(2. j + 1) − k n2 a j+2 = a j . [ ( j + 1).( j + 2) ] ˆ = 0 . Les solutions de l’équation sont des solutions paires ou Le potentiel V(x) étant pair, Hˆ , Π impaires. ϕ n ( x) = A.e Donc ϕ n ( x) = A.e − − λ .x 2 2 λ.x2 2 [ ] . a 0 + a 2 .x 2 + ... + a 2. p .x 2. p + ... sont les solutions paires [ ] . a1 .x + a 3 .x 3 + ... + a 2. p +1 .x 2. p +1 + ... sont les solutions impaires Pour les solutions paires, on pose j = 2.l a 2.l + 2 = a 2.l . Si l → ∞ , on obtient a 2.l + 2 ≈ a 2.l . Or λl ∑ l! .x 2.l = e λ.x λ l λ.(4.l + 1) − k n2 (2.l + 1).(2.l + 2) , ou encore a 2.l = λl l! .a 0 2 l On trouve ϕ n ( x) ≈ A.e − λ .x 2 2 .e λ.x2 = A.e λ .x 2 2 →∞ x → ∞ . 37 Ceci est un comportement inacceptable pour une fonction d’onde. On trouve de plus que pour →∞ → ∞ . Il faut impérativement trouver une solution pour les solutions impaires, là encore ϕ n ( x) x palier à ce problème L’idée consiste à tronquer la série des aj : On cherche donc à obtenir a j + 2 = 0 pour j = n (n entier) Soit λ.(2.n + 1) − k n2 = 0 Avec k n2 = 2.m.E n m.ω et λ = 2 h h On obtient ainsi la relation suivante : 1 E n = h.ω . n + avec n = 0, 1, 2, … 2 Le graphe suivant représente les niveaux d’énergies possibles (il faut qu’il existe au moins un état qui correspond à une énergie donnée par la formule précédente pour tronquer la série) V(x) hω hω 2 x On obtient alors les solutions de l’équation : ϕ n ( x) = A.e − ϕ n ( x) = A'.e − λ.x2 2 λ.x 2 2 [ . 1 − n.λ .x 2 + ... + a n .x n ] n −1 . x − .λ .x 3 + ... + a n .x n 3 Ψn ( x, t ) = ϕ n ( x).e − i En .t h = ϕ n ( x).e pour les solutions paires pour les solutions impaires 1 − i .ω . n + .t 2 On remarque que les énergies En sont des valeurs d’énergie non dégénérées. Remarque : • Spectre discret de niveau d’énergie (contrairement au comportement classique) • Energie non nulle pour l’oscillateur au repos, ce qui est original par rapport au comportement classique 38 Exemples de fonction d’onde : h.ω E0 = 2 Ψ0 = A0 .e − λ .x 2 2 λ .x 2 3.h.ω E1 = 2 Ψ1 = A1 .x.e 5.h.ω E2 = 2 Ψ2 = A0 . 1 − 2.λ .x .e − 2 [ 2 ] − λ .x 2 2 Densité de probabilité de présence |ϕn(x)|2 : V(x) x Remarque : • Pour n grand, on retrouve ce qu’on observe macroscopiquement (une probabilité maximale aux extrémité signifiant une vitesse nulle, ce qui rappelle ce qu’on observe pour un pendule) • Le comportement est très différent du cas classique pour n faible • La probabilité de présence de la particule est non nulle pour la zone non accessible classiquement 39 • Lorsqu’on normalise ϕn(x), on obtient ∞ ∫ϕ ( x) .dx = 1 2 n −∞ Soit A0 2 = λ 4.λ 2 et A1 = π π 3 An est connu à ei.θ près • Il y a accord entre expérience et modèle pour la vibration d’une molécule diatomique • Il y a accord entre expérience et modèle pour la description du rayonnement • h.ω est le quantum d’énergie, c’est le photon n est le nombre de photon dans le mode propre du système • Lorsqu’il n’y a aucun photon dans le mode propre du système, la valeur de l’énergie est • h.ω . C’est l’énergie du vide de photon. 2 L’émission spontanée d’atomes est en fait l’émission induite par l’énergie du vide (les fluctuations du vide) b – Recherche de la quantification de l’énergie en utilisant les opérateurs création et annihilation On recherche une forme simple du hamiltonien Ĥ . pˆ 2 1 Hˆ = + .m.ω 2 .xˆ 2 2.m 2 On pose x= m.ω .xˆ et p = h 1 m.ω .h . pˆ Alors, h.ω 2 Hˆ = . x + p 2 = h.ω .H 2 [ ] Soit [ 1 H = . x 2 + p2 2 ] Remarque : [x , p ] = i Définition des opérateurs création et annihilation : Annihilation : aˆ = 40 1 2 .[x + i. p ] Création : aˆ + = 1 2 .[x − i. p ] Les opérateurs création et annihilation sont des opérateurs non hermitiques, mais adjoints l’un de l’autre. ( h . aˆ + aˆ + 2.m.ω xˆ = ) m.ω .h . aˆ − aˆ + 2 ( 1 i et pˆ = . ) Expression de H en fonction des opérateurs création et annihilation : ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 aˆ + .aˆ = .( x + i. p )( . x − i. p ) = . x 2 + p 2 + i. p.x − i.x. p = . x 2 + p 2 + i.[x , p ] = . x 2 + y 2 − 1 2 2 2 2 Soit H = aˆ + aˆ + 1 2 [ ] Commutateur des opérateurs création et annihilation aˆ , aˆ + : [aˆ, aˆ ] = 12 .[x + i. p, x − i. p ] = 12 .i.([ p, x ] − i[x , p ]) + or [x , p ] = i Donc [aˆ, aˆ ] = aˆ.aˆ + + − aˆ + .aˆ = 1 Hypothèse : Nˆ Ψn = a n . Ψn où Nˆ = aˆ + .aˆ Nˆ .aˆ. Ψn = aˆ + .aˆ.aˆ. Ψn ( ) = aˆ.aˆ + − 1 .aˆ. Ψn = aˆ.(aˆ + .aˆ ). Ψn − aˆ. Ψn Nˆ .aˆ. Ψn = (a n − 1).aˆ. Ψn aˆ. Ψn est donc fonction propre de N̂ associée à la valeur propre a n − 1 Montrons que an est un entier : Ψn Nˆ Ψn = Ψn .aˆ + aˆ.Ψn 41 On pose aˆ.Ψn = Ψn' , Ψn' Ψn' = a n . Ψn Ψn = a n ≥ 0 Quand on applique â à Ψn , on associe la valeur propre a n − 1 Quand on applique â à aˆ. Ψn , on associe la valeur propre a n − 2 … On veut éviter que ces valeurs propres ne deviennent négatives (en effet , en menant le même calcul que pour Ψn avec aˆ. Ψn , …, on obtient que a n − 1 , a n − 2 , … sont forcément positifs ou nuls). Or nécessairement, si an n’est pas un entier, ces valeurs propres vont devenir négatives. Si an est entier, il existe un moment à partir duquel les valeurs propres successives, quand on applique â à aˆ k . Ψn , sont toutes nulles. Donc nécessairement, an est un entier n. On retrouve le résultat sur l’énergie 1 H . Ψn = n + . Ψn , 2 soit 1 Hˆ . Ψn = h.ω . n + . Ψn 2 On pose aˆ. Ψn = c n . Ψn −1 (l’opérateur â fait passer de n à n-1) Ψn Nˆ Ψn = Ψn aˆ + .aˆ Ψn = n = c n .Ψn c n .Ψn = c n 2 Soit cn = n On pose aˆ + . Ψn = c n' . Ψn +1 (l’opérateur â + fait passer de n à n+1 (si on refait le calcul de Nˆ .aˆ + . Ψn ) Ψn Nˆ Ψn = Ψn aˆ + .aˆ Ψn = Ψn aˆ.aˆ + − 1 Ψn = n = −1 + c n' .Ψn c n' .Ψn Soit c n' = n + 1 42 On obtient : aˆ. Ψn = n . Ψn −1 aˆ + . Ψn = n + 1. Ψn +1 43 44 E – QUELQUES CONSEQUENCES GENERALES DES POSTULATS 1 – Fonction d’onde et probabilité de présence On recherche les valeurs propres et les fonctions propres de x̂ . fε(x) xˆ. Ψx0 ( x, t ) = x0 . Ψx0 ( x, t ) ( xˆ − x0 ). Ψx0 ( x, t ) = 0 ε 1/ε Ψx0 ( x, t ) = δ ( x − x0 ) = lim f ε ( x) ε →0 x0 x Ψx0 ( x, t ) = δ ( x − x 0 ) n’est pas normalisable. En effet, ∗ 2 ∫ Ψx0 ( x, t ).Ψx0 ( x, t ).dx = ∫ δ ( x − x0 ).dx = lim ε →0 ∞ ∫ [ f ε ( x)] .dx → ∞ 2 ε →0 −∞ Le système ne pouvant pas être dans un état propre de l’opérateur position, il n’y a pas de possibilité de localiser complètement la particule. On a en fait un spectre continu de valeurs propres. On obtient ainsi une probabilité de trouver la particule entre x0 et x0 + dx0. En menant le calcul : 2 dPx0 , x0 + dx0 = Ψ ( x0 , t ) Ψ ( x, t ) .dx0 ∞ Ψ ( x0 , t ) Ψ ( x, t ) = ∫ δ ( x − x0 ).Ψ ( x, t ).dx = Ψ ( x0 , t ) −∞ dPx0 , x0 + dx0 = Ψ ( x0 , t ) .dx0 2 dPx0 , x0 + dx0 dx0 = Ψ ( x0 , t ) 2 Ψ(x,t) est une fonction dont le module au carré représente la densité de probabilité de présence d’une particule au point x. 45 Valeur moyenne de la position d’une particule dans Ψ ( x, t ) : ∞ xΨ = ∫Ψ ∗ ∞ ( x, t ).x.Ψ ( x, t ).dx = −∞ ∫ x. Ψ ( x, t ) 2 −∞ .dx = ∞ dP ∫ x. dx .dx −∞ Probabilité de présence dans [a,b] : b P = ∫ Ψ ( x, t ) .dx 2 a Généralisation à trois dimensions : r r r r r r r r r r r r Si r0 est fonction propre de r̂ avec rˆ. r0 = r0 . r0 , on a (r − r0 ). r0 = 0 , soit r0 = δ (r − r0 ) . r r r r r r Ψ (r0 , t ) = r0 Ψ (t ) = ∫ δ (r − r0 ).Ψ (r , t ).dr r La fonction d’onde Ψ (r0 , t ) est en fait la projection du vecteur d’état Ψ (t ) sur la base des états r propres de r . 2 – Conséquence de l’équation d’évolution de |Ψ(t)> a – Evolution dans le temps d’un état quelconque |Ψ Ψ(x,t)> On connaît la dépendance temporelle des états propres du Hamiltonien Ĥ (cas des états stationnaires). ∂ Hˆ . Ψn ( x, t ) = E n . Ψn ( x, t ) = i.h. Ψn ( x, t ) ∂t On obtient alors le résultat obtenue précédemment : Ψn ( x, t ) = ϕ n ( x).e −i . En .t h Hˆ . ϕ n ( x) = E n . ϕ n ( x) Ψn ( x, t ) est quelconque. On connaît l’état du système à t = 0. Ψ ( x,0) = ∑ c n (0). Ψn ( x) n 46 Ψ ( x, t ) = ∑ c n (t ).ϕ n ( x).e −i . En .t h n On cherche à calculer cn(t) : ∂ Hˆ . Ψ ( x, t ) = i.h. Ψ ( x, t ) ∂t Hˆ .∑ c n .ϕ n ( x).e −i . En .t h n E E • − i . n .t − i . n .t ∂ = i.h. ∑ c n (t ). ϕ n ( x).e h + ∑ c n (t ).ϕ n ( x).e h n ∂t n Or Hˆ .ϕ n ( x).e −i . En .t h − i . n .t ∂ = i.h. ϕ n ( x).e h ∂t E On obtient donc l’équation : • ∑ c n (t ).ϕ n ( x).e −i . En .t h =0 n • Soit c n (t ) = 0 , ou encore c n (t ) = cte = c n (0) Ψ ( x, t ) = ∑ c n (0).ϕ n ( x).e −i . En .t h n b – Evolution dans le temps de la norme de |Ψ Ψ(x,t)> A t = 0, Ψ ( x ,0 ) = Ψ ( x ,0 ) Ψ ( x ,0 ) = 1 2 On cherche à déterminer comment évolue cette norme au cours du temps. d d d Ψ ( x, t ) Ψ ( x, t ) = .Ψ ( x, t ) Ψ ( x, t ) + Ψ ( x, t ) .Ψ ( x, t ) dt dt dt 1 ˆ 1 ˆ .H .Ψ Ψ + Ψ H .Ψ i.h i.h 1 = . Ψ Hˆ .Ψ − Hˆ .Ψ Ψ i.h = ( ) Ĥ étant hermitique, cette quantité est nulle. 47 Ψ ( x, t ) Ψ ( x, t ) = Cte = Ψ ( x,0) Ψ ( x,0) Ψ ( x, t ) Ψ ( x, t ) = 1 c – Evolution dans le temps de la densité de probabilité En électricité : r ∂ρ div j + =0 ∂t On considère un volume (V) de surface (Σ) ∫ r div j .dv = (V ) ∂ρ d dQ .dv = − ρ .dv = − ∫ dt (V ) dt ∂t (V ) ∫ Soit r dQ ∫(Σ) j .dS = − dt En mécanique quantique : ρ = Ψ.Ψ* est la densité de probabilité de présence ∂ρ dΨ ∗ dΨ ∗ = .Ψ + Ψ. ∂t dt dt Nous allons par la suite nous placer dans le cas d’une particule de masse m placée dans un potentiel V(x) : − h2 d 2Ψ dΨ h2 d 2Ψ∗ dΨ ∗ ∗ . 2 + V .Ψ = i.h. et − . + V . Ψ = i . h . 2.m dx dt 2.m dx 2 dt h d 2Ψ 1 h d 2Ψ∗ 1 dρ i.h ∗ d 2 Ψ d 2Ψ∗ ∗ = Ψ ∗ . i. . 2 + .V .Ψ + Ψ. i. . − . V . Ψ = . Ψ . − Ψ . 2 2.m dt i.h i.h dt 2 dt 2 2.m dx 2.m dx On obtient ainsi ( r r r h j = −i. . Ψ ∗ .∇Ψ − Ψ.∇Ψ ∗ 2.m r r On retrouve ∇. j = −i. 48 ( ) r r h r ∗ r . ∇Ψ .∇Ψ − ∇Ψ.∇Ψ ∗ + Ψ ∗ .∆Ψ − Ψ.∆Ψ ∗ 2.m ) 3 – Relation d’incertitude d’Heisenberg a Ψ = Ψ Aˆ Ψ La valeur de a Ψ est une des données de la statistique. L’autre donnée importante est ∆a Ψ (écart type) A an 2 an 3 _ a|Ψ> an 1 an4 1 (∆a Ψ )2 = ( Ψ . Aˆ − a Ψ ) .Ψ 2 2 Numéro de la mesure 3 ( ) = Ψ . Aˆ 2 . Ψ + a Ψ2 − 2. Ψ . Aˆ .a Ψ . Ψ = Aˆ 2 + a Ψ2 − 2.a Ψ2 = Aˆ 2 − a Ψ2 Le principe d’Heisenberg dit que ∆aΨ et ∆bΨ sont liés par une relation d’inégalité si les deux ([ ] ) grandeurs sont incompatibles Aˆ , Bˆ ≠ 0 . On pose ( ) ( ) f = Aˆ − a Ψ .Ψ et g = i. Bˆ − bΨ .Ψ . Alors, (∆a Ψ )2 = f f = f 2 ( et ∆bΨ ) 2 = g g = g 2 D’où ∆a Ψ .∆bΨ = f . g On pose u= f g et v = f g (u − v ).(u ∗ − v ∗ ) = u − v 2 ≥ 0 Soit 49 u.u ∗ + v.v ∗ ≥ u.v ∗ + u ∗ .v Ou encore f.f ∗ f ∫ f.f f ∗ .dv 2 2 g .g ∗ + ∫ g .g + g ∗ g .dv 2 2 f .g ∗ + f ∗ .g ≥ f .g ∫ f .g =2≥ ∗ .dv + ∫ f ∗ .g .dv f .g 1 f . g ≥ .[ g f + f g 2 ] On en déduit que ∆a Ψ .∆b Ψ ≥ 1 2 [( ) ( ) ) (Aˆ − a ).Ψ ] ( . Aˆ − a Ψ .Ψ i. Bˆ − b Ψ .Ψ + i. Bˆ − b Ψ .Ψ [( ) ( [ ( )( ) ) ( ( Ψ ) ] ) ] i ∆a Ψ .∆bΨ ≥ . Aˆ − a Ψ .Ψ Bˆ − bΨ .Ψ − Bˆ − bΨ .Ψ Aˆ − a Ψ .Ψ 2 i ≥ . Ψ Aˆ − a Ψ . Bˆ − bΨ .Ψ − Ψ Bˆ − bΨ . Aˆ − a Ψ .Ψ 2 i ≥ . Ψ Aˆ .Bˆ − Bˆ . Aˆ . Ψ 2 ) ( )( Relation d’incertitude d’Heisenberg : [ ] i ∆a Ψ .∆bΨ ≥ . Ψ . Aˆ , Bˆ . Ψ 2 Remarque : [ ] • Dans le cas où  et B̂ sont hermitiques, Aˆ , Bˆ est imaginaire pur. • Pour x et p x associés à x̂ et p̂ x [xˆ, pˆ x ] = −i.h ∆x.∆p x ≥ h 2 4 – Postulats et modélisation : le problème des états libres d’une particule On considère une particule de masse m soumise à une potentiel V(x). Les états pour lesquels E n > V (∞ ) sont caractérisés par des solutions oscillantes à l’infini qui ne sont pas normalisées (Ψ Ψ = ∞ ) . On ne se trouve plus dans l’espace des états. Le problème est lié à une modélisation insuffisante : la particule ne peut en effet pas partir à l’infini. La prise en compte d’une modélisation 50 plus correcte serait très lourde, on se contentera donc de sortir des postulats et de travailler avec des fonctions d’onde non normalisables. a – Etats stationnaires d’une particule libre On considère une particule de masse m soumise à un potentiel V(x) = 0. On considère que En est positif (En négatif n’a pas de signification physique). [ ] pˆ 2 Hˆ = = Tˆ et Hˆ , pˆ = 0 2.m Les fonctions propres de p̂ sont fonctions propres de Ĥ . On pose p0 valeur propre associée à la fonction propre ϕ n telle que pˆ . ϕ n = p 0 . ϕ n − i.h. p d (ϕ n ( x) ) = p 0 .ϕ n ( x) , soit ϕ n ( x) = A. exp i. 0 .x dx h Toutes valeurs de p0 est valeur propre. p0 est une valeur propre non dégénérée. Hˆ . ϕ n ( x) = E n . ϕ n ( x) h 2 d 2ϕ n − . = E n .ϕ n ( x) 2.m dx 2 Il existe deux types de solutions à cette équation, fonctions propres de Ĥ : p2 p0 .x , associée à l’énergie E n = 0 et la valeur propre p 0 2.m h ϕ n ( x) = A. exp i. ϕ n ( x) = A'.exp − i. p0 p2 .x , associée à l’énergie E n = 0 et la valeur propre − p 0 h 2.m L’énergie En n’est pas quantifiée ; son spectre est continu. De plus En est dégénéré, de niveau de dégénérescence g n = 2 (En est associé à deux valeurs propres ± p 0 ). On trouve ainsi deux fonctions d’onde solutions du problèmes : E p Ψn ( x, t ) = A. exp i. 0 .x . exp − i. n .t h h p E Ψn' ( x, t ) = A'. exp − i. 0 .x . exp − i. n .t h h 51 b – Problème de la normalisation de la fonction d’onde p0 .x , Ψ.Ψ ∗ = Cte et Ψ = ∞ . De plus ∆p x = 0 et ∆x = ∞ . La fonction h Si Ψ = A. exp i. d’onde n’est pas normalisable, il faut sortir des postulats. On ne peut jamais trouver la particule dans un état propre de sa quantité de mouvement. La solution au problème consiste à revenir au cas physique en limitant par des barrières infinie L L l’excursion de la particule, ce sur un segment − , . Dans ce cas, la fonction d’onde devient 2 2 normalisable. Il suffit ensuite de faire tendre L vers l’infini. On change l’interprétation de la fonction d’onde. On a une assemblée de particules se propageant selon un axe. On définit un courant de densité de probabilité : r j0 r j0 O r dΨ ∗ r h ∗ dΨ .i j = −i. . Ψ . − Ψ. 2.m dx dx p p dΨ p Ψ = A. exp i. 0 .x , = i. A. 0 exp i. 0 .x h h dx h r Il vient après calcul que : j = −i. i. p r h 2 . A .2. 0 .i 2.m h r p0 2 r j= . A .i m En électricité : r r N . p0 r .i est la densité de courant électrique (N est la densité de particules) j = N .v.i = m On obtient ainsi par analogie que A= N On obtient finalement la fonction d’onde solution du problème : E x x i . p0 . − i . p 0 . − i . n .t h h Ψ ( x, t ) = N + .e h + N − .e . e où E n = 52 p 02 et N+ et N- représente les densités de particules de quantité de mouvement ± p 0 2.m c – La marche de potentiel V V0 I V(x) = 0 pour x<0 V(x) = V0 pour x>0 II x Traitement classique : On a N particules d’énergie cinétique En partant de x = - ∞ soumises au potentiel V(x) Si En < V0 Coefficient de réflexion : R = 1 Coefficient de transmission : T = 0 On a changement de signe de p0 (la particule fait demi-tour) Si En > V0 Coefficient de réflexion : R = 0 Coefficient de transmission : T = 1 On a changement de quantité de mouvement sans changement de signe E n = V0 + E n' E n' = E n − V0 = p 02 2.m Traitement quantique : Hˆ .ϕ n ( x) = E n .ϕ n ( x) avec E n > 0 Pour x < 0 : On pose k 02 = 2.m .E n h2 h 2 d 2ϕ nI ( x) − . = E n .ϕ nI ( x) 2 2.m dx 53 ϕ nI ( x) = A.e i.k . x + B.e −i.k . x 0 0 Pour x > 0 : On pose k12 = − 2.m 2.m .(E n − V0 ) et k 22 = 2 .(V0 − E n ) 2 h h h 2 d 2ϕ nII ( x) . + V0 .ϕ nII ( x) = E n .ϕ nII ( x) 2 2.m dx Si En > V0 : ϕ nII ( x) = C.e i.k . x + D.e −i.k . x 1 1 Si En < V0 : ϕ nII ( x) = C.e −i.k . x + D.e i.k . x 2 2 Dans le cas où En > V0 : Les équations de continuité donnent : ϕ nI (0) = ϕ nII (0) , soit A + B = C k dϕ nI dϕ nII ( 0) = (0) , soit A − B = 1 .C dx dx k0 On obtient ainsi k 2. A = C 1 + 1 , k0 soit C = A 2 k 1+ 1 k0 k1 k0 B C 2 = −1 = − , k1 k1 A A 1+ 1+ k0 k0 1+ soit 54 k1 k0 B = k A 1+ 1 k0 1− Interprétation de A et B : r On s’intéresse au vecteur densité de probabilité j pour x < 0 k .h 2 k .h 2 k .h j = A . 0 − B . 0 = ( N i − N r ). 0 m m m où N i est le nombre de particules incidentes et N r est le nombre de particules réfléchies On calcul le coefficient de réflexion : 2 k1 1 − N r k 0 R= = 2 Ni k1 1 + k0 r On étudie maintenant plus particulièrement la continuité du vecteur j en x = 0 : 2 A . k 0 .h 2 k .h 2 k .h −B . 0 =C . 1 m m m A −B =C . 2 2 2 k1 k0 ce qui correspond à l’équation Ni − N r = Nt où N t est le nombre de particules transmises. On calcul le coefficient de transmission : 4. T= k1 k0 k 1 + 1 k0 2 55 Remarque : • Le comportement des particules est très différent du comportement classique (Le coefficient de transmission vaut 1 si En > V0) • Si E n → ∞ , k1 → k 0 donc R → 0 et T → 1 : on se rapproche du comportement classique • Si V0 < 0 et V0 >> E n > 0 V(x) k1 >> k 2 , d’où R → 1 et T → 0 x Ce résultat est totalement inattendu V0 Dans le cas où En < V0 : Les équations de continuité donnent les résultats suivant : A + B = C et A − B = i. k2 .C k0 On a C = A B avec R = A 2 2 1 + i. C et T = A k2 k0 B = et k A 1 + i. 2 k0 1 − i. k2 k0 V(x) x 2 Effet tunnel En x > 0, la probabilité de trouver une particule est non nulle : P( x) = C .e −2.k 2 . x = 2 C’est l’effet tunnel 56 4. N i k2 1 + k0 2 .e − 2.k 2 . x . F – PERTURBATIONS INDEPENDANTES DU TEMPS NB : L’exposant entre parenthèse représente tout le long de cette partie l’ordre de correction à apporter du fait de la perturbation. Ainsi (0) correspond au cas non perturbé, (1) à la correction au premier ordre à apporter, … Hˆ . ϕ n = E n . ϕ n où Hˆ = Hˆ 0 + Wˆ ( Ĥ 0 est le hamiltonien non perturbé, Ŵ est l’opérateur lié à la perturbation). Pour le cas non perturbé, Hˆ 0 . ϕ n( 0) = E n( 0) . ϕ n( 0) . Les modules des éléments de Ŵ sont très petits par rapport aux grandeurs du problème. On pose Wˆ = α .Uˆ où α est un réel défini par α << 1. On obtient l’équation (Hˆ 0 ) + α .Uˆ . ϕ n (α ) = E n (α ). ϕ n (α ) L’idée consiste à résoudre cette équation aux différentes puissances de α, après avoir développé ϕ n (α ) et E n (α ) en puissance de α. 1 – Cas d’un état qui est non dégénéré en l’absence de perturbation Hˆ 0 . ϕ n( 0) = E n( 0) . ϕ n( 0) où E n( 0 ) est une valeur propre non dégénérée On pose E n (α ) = ε 0 + α .ε 1 + α 2 .ε 2 + ... et ϕ n (α ) = 0 + α . 1 + α 2 . 2 + ... Ordre 1 en α : (Hˆ 0 ) ( ) − ε 0 . 1 + Uˆ − ε 1 . 0 = 0 On applique 0 à gauche : ( ) 0 Hˆ 0 − ε 0 1 + 0 Uˆ 0 − 0 ε 1 0 = 0 On obtient ε 1 = 0 Uˆ 0 57 En(1) = En( 0 ) + ϕ n( 0) Wˆ ϕ n( 0) Calcul de |1> : On travaille sur la base des états avec 1 = ∑ c p . ϕ (p0) p On applique ( ) ( ) ϕ (p0 ) à Hˆ 0 − ε 0 . 1 + Uˆ − ε 1 . 0 = 0 On obtient la relation (E (0) p ) − E n( 0) ϕ (p0) 1 = − ϕ (p0) Uˆ ϕ n( 0) pour p ≠ n Soit ϕ (0) p 1 =− α1 =∑ p≠n ϕ (1) n = ϕ (0) n ϕ (p0) Uˆ ϕ n( 0) pour p ≠ n E p( 0) − E n( 0) ϕ (p0 ) α .Uˆ ϕ n( 0) E −E (0) n +∑ (0) p . ϕ (p0) ϕ (p0 ) Wˆ ϕ n( 0) p≠n E (0) n −E (0) p . ϕ (p0) Orthogonalité de|1> et |0> : ϕ n (α ) est normée [ 0 + α 1 ][. 0 +α 1 ]= 1 Soit 0 0 + α .[ 1 0 + 0 1 ] = 1 au premier ordre en α Vu que 0 0 = 1, 1 0 + 0 1 = 0 On en déduit que 58 0 1 + 0 1 = 0 , soit Re( 0 1 ) = 0 ∗ ϕ n (α ) 0 est réel par choix de la phase sur ϕ n (α ) . Donc, vu que 0 0 , α et 0 0 + α . 1 0 sont réels, 1 0 est réel. On en déduit que 0 1 = 0 . 0 et 1 sont bien perpendiculaires Ordre 2 en α : (Hˆ (Hˆ )( ) ( )( 0 + α .Uˆ . 0 + α 1 + α 2 2 = ε 0 + α .ε 1 + α 2 .ε 2 . 0 + α 1 + α 2 2 0 − ε 0 . 2 + Uˆ − ε 1 . 1 − ε 2 0 = 0 ) ( ) On multiplie par 0 : 0 Uˆ 1 − ε 2 0 0 = 0 ( 0 Hˆ 0 = 0 .ε 0 ) ) ε 2 = 0 Uˆ 1 α 2 .ε 2 = 0 Wˆ 1 = ϕ (0) n =∑ p≠n =∑ p≠n Wˆ .∑ ϕ (p0) Wˆ ϕ n( 0) p≠n E (0) n ϕ (p0) Wˆ ϕ n( 0) E (0) n −E ( 0) p ϕ n( 0) Wˆ ϕ (p0) −E (0) p . ϕ (p0) . ϕ n( 0) Wˆ ϕ (p0) 2 E n( 0) − E p( 0) E n( 2) = E n( 0) + ϕ n( 0) Wˆ ϕ n( 0) + ∑ p≠n ϕ n( 0) Wˆ ϕ (p0) 2 E n( 0) − E p( 0) Remarque : • Le second ordre de l’énergie est important si la correction au premier ordre est nulle • La fonction d’onde au second ordre a un intérêt moindre 2 – Cas d’un état qui est dégénéré en l’absence de perturbation Ĥ 0 présente souvent des cas d’états dégénérés 59 En(α) E4(0) E3(0) E2(0) E1(0) α1 α Soit gn la dégénérescence de E n( 0 ) . On choisit trois fonctions d’onde associées à cette énergie : ϕ 1n,( 0) , ϕ nq ,( 0 ) et ϕ ng n ,( 0 ) On ne peut plus assimiler 0 à ϕ 1n,( 0 ) . Par contre ε 0 = E n( 0 ) reste vrai. (Hˆ 0 ) + α .Uˆ .( 0 + α . 1 ) = (ε 0 + α .ε 1 ).( 0 + α 1 ) En multipliant par ϕ nq ,( 0 ) , ( ) ( ) ϕ nq ,( 0) . Hˆ 0 − ε 0 . 1 + ϕ nq ,( 0) . Hˆ 0 − ε 1 . 0 = 0 ϕ nq ,( 0) Uˆ 0 = ϕ nq ,( 0) ε 1 0 ϕ nq ,( 0) Uˆ − ε 1 0 = 0 0 sont les états qui diagonalisent Û dans le sous espace propre ϕ nq ,( 0 ) Pour calculer les valeurs propres à l’ordre 1 et les états propres à l’ordre 0, on diagonalise Ŵ dans le sous espace propre lié à E n( 0 ) Les valeurs propres donnent les variations d’énergie α .ε 1 à l’ordre 1. Les états propres sont les états 0 à l’ordre 0 60 3 – Exemples d’application a – Effet Stark dans le puits quantique Un puits quantique a un axe de croissance. On se limite à un problème unidimensionnel selon l’axe Oz. V(z) V0 E1 E2 E3 z On applique un champ électrique constant selon Oz : r r F = Fz [ ] ˆ =0 V (z ) est paire, Hˆ , Π Il y a interaction du champ électrique avec les électrons du puits, on considère que les particules r sont caractérisées par un moment dipolaire µ = q.z.zˆ . La perturbation W introduite par le champ électrique est donnée par la relation r r W = − µ .F = q.z.F Méthode de perturbation : Premier ordre : E n(1) = E n( 0) + ϕ n( 0) q.F .z ϕ n( 0) La correction au premier ordre est nulle Second ordre : E1( 2) = E1( 0) + ∑ p ≠1 ϕ n( 0) Wˆ ϕ (p0) 2 E1( 0) − E p( 0) Dans le cas particulier du puits quantique traité ici : 61 ϕ 1( 0) Wˆ ϕ 3( 0 ) = 0 E1( 2) = E1( 0) + ϕ 1( 0 ) − q.F .z ϕ 2( 0) 2 E1( 0) − E 2( 0) Si E 3( 0 ) − E 2( 0 ) >> E 2( 0 ) − E1( 0 ) E 2( 2) = E 2( 0) + On pose ∆E = ϕ 2( 0) Wˆ ϕ 1( 0) 2 ϕ 2( 0 ) Wˆ ϕ 1( 0) E 2( 0) − E1( 0) 2 E 2( 0) − E1( 0) L’effet Stark a tendance à éloigner les deux niveaux d’énergie (observation en 1987) ∆E = q 2 .F 2 . z12 2 E 2( 0) − E1( 0) E 2( 2) − E1( 2 ) = E 2( 0) − E1( 0) + 2.∆E Remarque : • Pour un puits asymétrique, V(z) est non symétrique. Il n’y a pas de parité déterminée pour ϕ n( 0 ) . Pour les perturbations d’ordres différents de 0, il existe un écart entre niveau linéaire en F → jugement de la symétrie du puits • Pour un matériau GaAs / GaAlAs, a = 12 nm et m ∗ = 0,067.me 2.∆E = 2 meV pour F ≈ 10 V/m b – Levée de dégénérescence pour une particule placée dans deux puits couplés On considère une particule soumise à l’effet de deux puits de potentiel couplés 62 V(z) z 2.a 2.a 2.b On considère, par exemple, un ion H2+ pour lequel un électron est dans le champ des deux protons. Ce dernier est alors placé dans le champ de deux puits quantiques en interraction. A l’ordre 0, l’électron est dans l’un ou l’autre des puits. Ĥ 0 a pour fonction propre ϕ 10( 0 ) , associée au premier (0) puits, et ϕ 20 , associée au second puits. Ces deux fonctions propres sont associées à l’énergie E 0( 0 ) . Le niveau d’énergie E 0( 0 ) est donc dégénéré. Ŵ est la perturbation due à l’interaction entre les deux puits. On diagonalise Ŵ dans le sous (0) espace définit par ϕ 10( 0 ) et ϕ 20 . W11 W12 W21 W22 où W11 = W22 pour raison de symétrie. On va considérer un petit déplacement global de l’énergie E 0( 0 ) . On traitera le problème avec Ĥ 0 . W11 = W22 = 0 dans la suite Le choix de la phase pour ϕ 10( 0 ) impose que W12 est réel. W12 = W21 = A est réel La perturbation devient : 0 Wˆ = A A 0 dont les valeurs propres sont ∆E + = A et ∆E − = − A • ∆E + = A est associée à la fonction propre 63 ϕ +( 0) = • (ϕ 2 1 ( 0) 10 (0) + ϕ 20 ) ∆E − = − A est associée à la fonction propre ϕ −( 0) = (ϕ 2 1 ( 0) 10 (0) − ϕ 20 ) L’utilisation de W permet de lever la dégénérescence et de mettre en évidence l’hybridation des fonctions d’onde Ce traitement est important aussi bien au niveau technologique qu’au niveau fondamental pour la compréhension des bandes d’énergie d’un électron dans un solide. |ϕ+(0)> |ϕ10(0)> 2.A |ϕ20(0)> |ϕ-(0)> 64 G – LES PERTURBATIONS DEPENDANTES DU TEMPS Une perturbation Ŵ indépendante du temps provoque des déplacement des niveaux d’énergie, mais ne touche pas à l’évolution temporelle du système quantique. Dans le cas d’une perturbation Wˆ (t ) dépendante du temps, il y a une évolution dans le temps du système quantique. Cas classique d’utilisation : L’action d’un champ E.M. (onde optique) sur un système optique. La résolution de l’équation i.h. ∂ Ψ (t ) ∂t = Hˆ . Ψ (t ) avec Hˆ = Hˆ 0+Wˆ (t ) ne permet pas d’obtenir de solution générale simple. On va donc utiliser une méthode perturbative. On pose Wˆ (t ) = λ .Uˆ (t ) où les éléments de la matrice de Û sont du même ordre de grandeur que ceux de Ĥ 0 . λ est négligeable devant les autres grandeurs du système quantique. 1 – Position du problème Equations du problème : Hˆ 0 . ϕ n = E n . ϕ n Ψ (t ) = ∑ bn (t ).e −i . En .t h . ϕn n i.h. A t = 0, Ψ (0) = ϕ i l’état ϕ f où ϕ i ∂ Ψ (t ) ∂t ( ) = Hˆ 0 + λ .Uˆ (t ) . Ψ (t ) est un des états stationnaires ϕ n . La probabilité pour être dans à t est donnée par la relation Pif = ϕ f Ψ (t ) 2 On recherche les solutions approchées de l’équation développée en puissances de λ. 2 – Probabilité de transition entre |ϕi> et |ϕf> à t = 0, bn (0) = 0 sauf bi (0) = 1 . L’idée consiste à déterminer les bn (t ) en puissances de λ 65 i.h. ( E − i . n .t ∂ h b ( t ). e . ϕ n = Hˆ 0 + λ .Uˆ ∑ n ∂t n • i.h.∑ b n (t ).e −i . En .t h . ϕ n + i.h.∑ − i. n n ).∑ b (t ).e −i . . ϕn En .t h n n E − i . n .t En bn (t ).e h . ϕ n = h ∑ bn (t ).e −i . En .t h .Hˆ 0 . ϕ n + λ ∑ bn (t ).e n • i.h.∑ b n (t ).e −i. En .t h . ϕ n = λ ∑ bn (t ).e n −i . En .t h .Uˆ . ϕ n n −i. En .t h .Uˆ (t ). ϕ n n On projette l’équation sur ϕ n • i.h. b n (t ).e −i . En .t h = λ ∑ bk (t ).e −i . Ek .t h ϕ n .Uˆ (t ). ϕ k k • i.h. b n (t ) = λ ∑ bk (t ).ei.ω nk .t .U nk (t ) k où ω nk = En − Ek et U nk = n Uˆ k h On décompose bn(t) : bn (t ) = bn( 0 ) (t ) + λ.bn(1) (t ) + λ2 .bn( 2 ) (t ) + ... • (1) • ( 2) • (n) • (0) i.h.b n (t ) + λ. b n (t ) + λ2 . b n (t ) + ... + λn . b n + ... = (0) (1) 2 (2) λ.∑ bk (t ) + λ .bk (t ) + λ .bk (t ) + ... + λr .bk( r ) .e i.ωnk .tU nk (t ) [[ ] ] k • i.h. b n (t ) = ∑ bk( n −1) .e i.ω nk .t .U nk (t ) k On cherche à établir une relation d’évolution permettant de déduire à un ordre quelconque bn(r ) par itération (0) → (1) → (2) → ... → (r ) où (0) est donné par les conditions initiales. • (r ) A l’ordre 1, i.h. b n (t ) = ∑b (0) k .e i.ω nk .t .U nk (t ) k • (i ) i.h. b n (t ) = e i.ω ni .t .U ni (t ) 66 t 1 b (t ) = .∫ e i.ω ni .t ' .U ni (t ' ).dt ' ih 0 (i ) n La probabilité d’être dans l’état ϕ f partant de l’état ϕ i Pif(1) (t ) = λ2 . b (f1) (t ) est donnée par la relation : 2 3 – Exemple de perturbation dépendante du temps a – Perturbation sinusoïdale ou constante La perturbation est donnée dans ce cas par la relation : Wˆ (t ) = λ .Uˆ . cos(ω .t ) appliqué à t = 0. U ni t i.ω ni .t ' e i.ω .t ' + e − i.ω .t ' b (t ) = − . e . .dt ' i.h ∫0 2 (1) n =− P (t ) = (i ) if U ni i.h Antiresonnant e i.(ω ni +ω ).t − 1 e i.(ω ni −ω ).t − 1 . + ω + ω ω ni − ω ni λ2 .U ni 4.h 2 2 e i.(ω ni +ω ).t − 1 e i.(ω ni −ω ).t − 1 + . ω ni + ω ω ni − ω 2 Pour ω = 0, la relation précédente devient bn(1) (t ) = − U ni e i.ω ni .t − 1 U e i.ω ni .t ω .t . = − ni . .2. sin ni ω ni h h ω ni h P (t i , ω = 0) = (1) if λ2 .U fi h 2 2 t .t 2 .sinc ω fi . 2 On a une transition quasi-résonnante entre deux états discrets. Pour ω ≈ ω fi , P (t , ω ≈ ω fi ) ≈ (1) if λ2 .U 2fi 4.h 2 .t 2 << 1 On peut négliger le terme antirésonnant si 67 t >> t << 1 ω 2.h λ.U fi b – Couplage d’un état discret avec un continuum d’états W i f Continuum d’états i (état discret) et f (ensemble d’états, continuum) sont des états propres d’un hamiltonien d’approximation Ĥ 0 . Si i est l’état initial, Ŵ (un hamiltonien de perturbation) est susceptible de faire passer le système dans le continuum f , ce continuum représentant les états libres du système. Exemples caractéristiques : auto-ionisation d’un atome, prédissociation de molécules. Pour caractériser le continuum, on prend en compte ρ(E), la densité d’états. Le nombre d’états compris entre E et E + dE est ainsi ρ ( E ).dE . On pose E − Ei Wˆ = λ.Uˆ et ω Ei = . h La probabilité de se trouver dans un état d’énergie E du continuum est : Pcont = 68 λ2 2 ˆ i .t 2 .sinc 2 ω . t . ρ ( E ). dE . E U Ei 2 h 2 D∫f t t.sinc 2 ω Ei . 2 t 2.π t ωEi t 2 Si t → ∞, t.sinc 2 ω Ei . → 2.π .h.δ ( E − E i ) . Alors, Pcont = 2 λ2 .t. ∫ ρ ( E ). E .Uˆ . i .2.π .δ ( E − E i ) h D f Pcont = 2.π .t .ρ ( E − E i ). E = Ei Wˆ i h 2 La probabilité de trouver la particule à l’état d’énergie E du continuum étant linéaire par rapport au temps, on définit une probabilité par unité de temps : Règle d’or de Fermi : 2.π dP .ρ ( E − E i ). E = E i Wˆ i =Γ= dt h 2 Pourquoi se placer dans le cas où t → ∞ ? La fonction ρ ( E ). E Uˆ i Autrement dit, ρ ( E i ). E Uˆ i varie lentement sur un domaine d’énergie de la largeur du sinc2. 2 ≈ Cte sur un intervalle d’énergie (1) de perturbation n’est valable que si Pcont << 1 , soit t << 4.π .h . Le calcul du premier ordre t 1 . Le calcul non perturbatif donne, Γ moyennant des approximations peu contraignantes, une désintégration exponentielle de l’état discret vers le continuum : Pcont = 1 − e − A.t Pour un temps faible, Pcont = A.t , soit A=Γ 1/Γ est la durée de vie de l’état discret. 69 Remarque : • Dans le cas de l’émission spontanée d’un atome : - {L’atome dans un état excité} correspond à un état discret (de même pour des photons dans le mode du champs E.M. du vide) - {L’atome revenu dans l’état fondamental + 1 photon dans un mode de champs} correspond à un état de continuum. Dans ce cas, la durée de vie de l’état excité de l’atome est donnée par τ = • 1 . Γ Souvent l’énergie E ne suffit pas à caractériser l’état d’un continuum. En appelant β l’ensemble des autres paramètres de caractérisation, on obtient : PT = ∫ 2.π .t.ρ ( β , E = Ei ). β , E = E i Wˆ i h 2 4 – Comportement d’un atome dans un champ électromagnétique optique au voisinage de la résonance a – Approximation dipolaire électrique onde On considère que les dimensions de l’atome sont très petites devant la période du champs E.M. o optique (ordre de grandeur : A comparé au µm). Il en découle que noyaux et électrons voient la même charge E (0, t ) à l’instant t. On représente ainsi l’atome par un dipôle de moment dipolaire n r r µ = ∑ − e.ri , la perturbation qui lui est associée : i =1 r r W (t ) = − µ .E (0, t ) L’origine des coordonnées est prise sur le noyau de l’atome. Remarque : Des contributions quadripolaires électriques et dipolaires magnétiques doivent-être calculées si l’on désire plus de précision. 70 b – Approximation de l’atome à deux niveaux On considère une onde résonnante entre deux niveaux d’énergie de l’objet quantique. On réduit en fait l’objet quantique à deux niveaux d’énergie, les autres niveaux étant considérés comme appartenant au milieu extérieur (traités phénologiquement). a h.ω b h.ω ≈ E a − E b Ψ (t ) = a(t ). a + b(t ). b Hˆ 0 . a = E a . a = h.ω a . a Hˆ 0 . b = E b . b = h.ω b . b r r Le hamiltonien du système est donné par la relation : Hˆ = Hˆ 0 − µ .E (0, t ) = Hˆ 0 − µˆ .E 0 . cos(ω .t ) en considérant que le champ est polarisé selon Ox. On va aborder le problème de manière semi-classique : le champ E.M. sera traité en mécanique classique, et tout ce qui touche à l’atome sera traité en mécanique quantique. Hˆ = Hˆ 0 − µˆ x .E 0 . cos(ω .t ) On cherche une représentation de µx. On a n r r µ = ∑ − e.ri i =1 Pour exprimer µx, on cherche à exprimer µxaa, µxbb, µxab et µxba : [ ] ˆ = 0 = Ψa∗ .µ x .Ψa .dv ) a µˆ x a = 0 (pour des systèmes à centre de symétrie, Hˆ 0 , Π ∫ ∞ b µˆ x b = 0 a µˆ x b ≠ 0 si a et b sont de parité différentes. Alors les transitions sont dites permises. = 0 si a et b sont de même parité. Alors les transitions sont dites interdites. µ xab = a µ x b est réel par choix de la phase. 71 ∗ µ xba = µ xab = p est aussi réel par choix de la phase. D’où : 0 1 µˆ x = p. 1 0 On en déduit h.ω a Hˆ = Hˆ 0 − µˆ x .E 0 . cos(ω .t ) = 0 0 0 1 − p.E 0 . cos(ω .t ). h.ω b 1 0 On pose Vˆ = 1 0 1 0 i.h. ( ) ∂ Ψ (t ) = Hˆ 0 − µˆ x .E 0 . cos(ω .t ) . Ψ (t ) ∂t On introduit dans cette équation Ψ (t ) = a(t ). a + b(t ). b avec a (t ) = A(t ).e − i .ω a .t et b ( t ) = B ( t ). e − i .ω b .t On obtient l’équation i.h. ( ) ( )( ∂ A.e −i.ω a .t . a + B.e −i.ω b .t . b = Hˆ 0 − p.E 0 . cos(ω .t ).Vˆ . A.e −i.ω a .t . a + B.e −i.ω b .t . b ∂t Soit • • i.h. A .e −i.ω a .t . a + B .e −i.ωb .t . b − i.ω a . A.e −i.ω a .t − i.ω b . A.e −i.ωb .t = h.ω a . A.e −i.ω a .t . a + h.ω b .B.e −i.ωb .t . b − p.E0 . cos(ω .t ).Vˆ . A.e −i.ω a .t . a + B.e −i.ω b .t . b [ [ • • i.h. A .e −i.ω a .t . a + B .e −i.ω b .t . b = − p.E0 . cos(ω .t ).Vˆ . A.e −i.ω a .t . a + B.e −i.ω b .t . b en multipliant par a à gauche, on obtient le système d’équations : • −i.ωa .t = − p.E 0 . cos(ω.t ).B.e −i.ωb .t i.h. A .e • i.h. B .e −i.ωb .t = − p.E 0 . cos(ω.t ). A.e −i.ωa .t 72 ] ] ) On pose ω ab = ω a − ω b . On obtient : • i. p.E 0 .B (t ). cos(ω .t ).e −i.ω ab .t h • i. p.E 0 B= . A(t ). cos(ω .t ).e −i.ω ab .t h A= (e − i .(ω +ω ab ).t ( ) ( ) ( ) ( ) • A = • B = i. p.E 0 .B (t ).e −i.ωab .t . e i.ω .t + e −i.ω .t 2.h i. p.E 0 . A(t ).e −i.ωab .t . e i.ω .t + e −i.ω .t 2.h • A = • B = i. p.E 0 .B (t ).e −i.ωab .t . e i.ω .t + e −i.ω .t 2.h i. p.E 0 . A(t ).e −i.ωab .t . e i.ω .t + e −i.ω .t 2.h sont les termes antirésonnants) c – Résolution perturbatrice A t = 0, le système est dans l’état b . Ainsi, A(t = 0) = 0 et B (t = 0) = 0 (b est l’état bas). On décompose A et B selon leurs différents ordres de grandeur : A(t ) = A ( 0 ) (t ) + A (1) (t ) + ... + A (α ) (t ) + ... B (t ) = B ( 0 ) (t ) + B (1) (t ) + ... + B (α ) (t ) + ... A l’ordre 0 : • (0) A • (0) = 0 et B =0 Soit A ( 0 ) (t ) = Cte = A(t = 0) = 0 et B ( 0 ) (t ) = Cte = B (t = 0) = 1 A l’ordre 1 : • (1) B • (1) B = [ ] i. p.E 0 ( 0) . A (t ). e i.(ω −ω ab ).t + e −i.(ω +ω ab ).t avec A ( 0 ) (t ) = 0 2.h = 0 donc B (1) = Cte = B (1) (t = 0) = 0 73 • (1) A = [ ] i. p.E 0 ( 0) .B (t ). e i.(ω +ω ab ).t + e −i.(ω ab −ω ).t avec B ( 0 ) (t ) = 1 2.h A (1) (t ) = Antirésonn ant i. p.E0 e i.(ω ab −ω ).t − 1 e i.(ω ab +ω ).t − 1 . + 2.h i.(ω ab − ω ) i.(ω ab + ω ) On néglige ici le terme e i.(ω ab +ω ).t − 1 du fait que ω ab + ω ≈ 1014 Hz . Cette approximation i.(ω ab + ω ) est appelée approximation des ondes tournantes (AOT) Près de la résonance : A (1) (t ) = [ ] p.E 0 . e i.(ω ab −ω ).t − 1 2.h.(ω ab − ω ) p 2 E 02 2 t .t .sinc 2 (ω ab − ω ). A (t ) = P (t ) = 2 2 4.h b →a 2 (1) 2 Pour A (1) (t ) << 1 et t >> 1 ω , on obtient t << 2.h p.E 0 d – Comportement de l’atome en champ intense – oscillations de Rabi Dans le cadre de l’AOT, uns solution analytique exacte existe dans ce cas simple. On se place à ω = ω ab • i. p.E 0 .B •• i. p.E 0 i. p.E 0 2.h et B = .B . • i. p.E 0 2.h 2.h B= .A 2.h A= On pose Ω0 = p.E 0 h L’équation qui régit la variable B est : Ω B+ 0 B = 0 2 •• 74 2 Après résolution, on obtient Ω Ω B (t ) = λ. cos 0 .t + µ . sin 0 .t 2 2 A t = 0, B (t = 0) = 1 , soit λ = 1 • A(t = 0) = 0 , soit B (t = 0) = 0 , ou encore µ = 0 Au finale, on obtient A et B par les relations : Ω A(t ) = i. sin 0 .t 2 Ω B (t ) = cos 0 .t 2 Ω Ω Ψ (t ) = i. sin 0 .t .e −i.ω a .t . a + cos 0 .t .e −i.ω b .t . b 2 2 2 Ω P a = A(t ) = sin 2 0 .t 2 Ceci sont les oscillations de Rabi, de pulsation Ω0. Il s’agit de successions de cycles absorptionémission induite. Remarque : 1 – Lien avec le calcul perturbatif 2 Ω p.E 0 2 Pour t << , P a (t ) − 0 t 2 = .t << 1 Ω0 2 2.h 2 On appelle γ la fuite du niveau A a γ b • A= • (1) i. p.E 0 i. p.E 0 .B − γ . A , et en particulier A = .B − γ . A (1) 2.h 2.h • Les états stationnaires sont caractérisés par A = 0 , soit A (1) = i. p.E 0 2.h.γ Alors, 75 Pa i. p.E 0 = 2.h.γ 2 << 1 2 – Hors résonance – solution exacte (hors possibilité de fuite) L’atome oscille mais ne passe jamais complètement dans l’état a . La pulsation est alors : 2 p.E 0 2 Ω= + (ω ab − ω ) h 76 H – SYSTEMES COMPLEXES ET PRODUIT TENSORIEL D’ESPACE Pour un système composé de plusieurs particules microscopiques, dans quel espace traiter le problème ? Exemple : r Deux particules à traiter dans le système considéré. La particule (1) est repérée par sa position r1 et r associée à l’espace F1 . La particule (2) est repérée par sa position r2 et associée à l’espace F2 Une particule microscopique ne peut être repérée simplement par sa position. Il faut nécessairement introduire le spin des particules. La position est associé à l’espace F, et le spin à l’espace Fs 1 – Définition du produit tensoriel d’espace Les espaces F1 et F2 sont à prendre en compte, de même que les espaces F et Fs. On appelle E l’espace descriptif de l’ensemble du système : E = F1 ⊗ F2 E = Fs ⊗ F E est engendré par une application bilinéaire de E dans T {F1 , F2 } . Tout élément de E est une { application linéaire T u1 , u 2 } où u1 ∈ F1 et u 2 ∈ F2 { }= 12 . Ψx1 ⊗ Ψx2 La base de E est donnée par T Ψ1 , Ψ2 Ψ1 ⊗ Ψ2 , où Ψ1 est une base de F1 et Ψ2 est une base de F2. Ainsi, ∀ Ψ ∈ E , Ψ = ∑γ où γ12 est appelé tenseur x1 , x2 Les vecteurs de E sont décomposables selon F1 et F2 : Ψ = u1 ⊗ u 2 où u1 ∈ F1 et u 2 ∈ F2 . Ψ est en général toujours décomposable en une somme d’éléments décomposables. La décomposition n’est pas unique : F1 ↔ N 1 , F2 ↔ N 2 , E ↔ N 1 .N 2 u1 ⊗ u 2 = u1 ,u 2 77 2 – Action des opérateurs de F1 et F2 dans E Aˆ F1 et Bˆ F2 sont des produits tensoriels. On pose Cˆ E = Aˆ F1 ⊗ Bˆ F2 . (Aˆ (Aˆ ) ).( Ψ F1 ⊗ Bˆ F2 .( u1 ⊗ u 2 ) = Aˆ F1 . u1 ⊗ Bˆ F2 . u 2 F1 ⊗ Bˆ F2 x1 ⊗ Ψx 2 Pour Aˆ F1 agissant dans E, Aˆ F1 = Aˆ F1 ⊗ I F2 78 ) = Aˆ F1 . Ψx1 ⊗ Bˆ F2 . Ψx2