TD transfo - CPGE Brizeux

EXERCICES Conversion Puissance 1
Conversion électromagnétique statique
 CP11. Transfert d’une source de courant
Une photopile est éclairée par une source d’intensité lumineuse variable. Elle est équivalente à un générateur
de courant de résistance interne 1 kΩ et de c.é.m. η(t) = η0 cos2(2πft) avec η0 = 1,5 mA et f = 50 Hz.
Elle est reliée à un transformateur supposé idéal de rapport de transformation 10.
Quel est le dipôle équivalent vu du secondaire du transformateur ?
η0
Rép : η’ = η’0cos(4πft) avec η’0 = 2m et R’ = m2R
 CP12 Transformateur réel (extrait E4A)
Examinons pour débuter, comme cause d'écart entre le fonctionnement d'un transformateur réel et le modèle
de transformateur parfait, l'effet de la perméabilité du matériau constituant le tore (le milieu demeurant linéaire,
homogène et isotrope).
a) Dans le cas d'un matériau possédant une perméabilité relative µr finie, reprendre l'expression du théorème
d'Ampère et démontrer l'existence au primaire d'un courant magnétisant i1µ (cf. figure 2) dont on donnera
l'expression.
i2
i1
n
i1µ
v1
v2
Lµ
figure 2
b) Montrer que dans le cas d'un secondaire en circuit ouvert, le schéma proposé, avec une inductance
magnétisante Lµ aux bornes de l'enroulement primaire, permet de rendre compte de ce courant magnétisant.
Préciser l'expression de Lµ .
Analysons maintenant les pertes du transformateur réel à partir du schéma équivalent fourni figure 3.
!
R1
!
L1
i2
i1
Rµ
R2
n
i1µ
v1
L2
v2
Lµ
figure 3
a) Quel type de pertes doit-on associer aux deux résistances R1 et R2 ? Comment en limiter l'importance?
b) A quel phénomène peut-on relier les inductances L1 et L2 ?
c) La résistance Rµ modélise les pertes « fer ». Rappeler le sens physique de ces pertes et préciser comment on
peut les réduire.
!
 CP13. Champ magnétique dans un transformateur
Le primaire d’un transformateur est alimenté sous 220 V, 50 Hz. La section droite de son circuit magnétique
est de 10 cm2 et le champ magnétique maximal qui y règne est de 1 T. Le rapport de transformation est de 0,06.
1°) Calculer le nombre de spires des deux enroulements.
2°) Le circuit magnétique du transformateur est modélisé par un milieu linéaire de perméabilité relative µr =
5000. Sa longueur moyenne l est de 60 cm.
a) Calculer le courant au primaire quand le secondaire est à vide (courant magnétisant).
b) Le secondaire est relié à une résistance R = 5 Ω. Calculer les courants au primaire et au secondaire du
transformateur, sa puissance apparente et son facteur de puissance apparent (une grandeur apparente est la valeur
de cette grandeur mesurée au primaire de transformateur en charge).
lBmax
Rép : U1 2 = n1SωBmax, d’où n1 = 990 spires et n2 = 60 spires. I1 =
2 µ0µrn1
 CP14. Equations élémentaires du transformateur
On considère la bobine à section S carrée dont les
dimensions sont données ci-contre :
Un premier bobinage est constitué de N1 = 300
spires jointives, réalisé en fil de cuivre de 0,25 mm2
de section.
Le noyau est caractérisé par sa perméabilité
magnétique, qui dépend en général du courant i
circulant dans la bobine : µ = µ0µr avec µr = f(i).
h = 2 cm
r1 = 8 cm
r2 = 8 cm
La bobine est alimentée par un générateur de tension sinusoïdale eg = Emsinω0t avec ω0 = 100π rad.s-1.
1°) On considère ici des matériaux dont la perméabilité relative est constante vis-à-vis du courant.
Donner l’expression B = f(i) à la distance r de l’axe du tore.
En supposant dans un premier temps que la résistance de la bobine est nulle, calculer le flux de B à travers
une section du noyau et en déduire le flux total à travers la bobine. Le résultat sera exprimé en fonction de la tension
eg puis en fonction de i. En déduire l’expression de i(t).
Dans la suite du problème, on prendra comme valeur du champ magnétique la valeur <B> telle que le produit
<B>S soit égal au flux dans le noyau.
AN : calculer <B> et l’intensité du courant électrique dans le cas µr = 1 (air, bois) puis µr = 20000 (matériau
ferromagnétique) pour Em = 1V.
Calculer la résistance de la bobine (on prendra ρCu = 1,7 10-6 Ω.m). Calculer les valeurs de l’intensité
électrique si Em = 12V électrique dans le cas µr = 1 puis µr = 20000 (on pourra judicieusement utiliser le diagramme
de Fresnel pour ce calcul).
Calculer la puissance dissipée par effet Joule dans les cas précédents.
2°) On complète la bobine précédente avec un matériau ferromagnétique en superposant un second bobinage de N2
spires.
Donner l’expression de la tension e20 à vide aux bornes du second bobinage en fonction de i1.
On connecte une résistance R aux bornes du second bobinage. Faire un bilan d‘énergie. A quelles conditions
peut-on négliger la résistance propre des bobines ?
En déduire la relation entre les courants primaire et secondaire du transformateur, puis l’expression de
l’impédance vue par le générateur.
µrµ0N1i
µrµ0N21hi r2
Em
;
φ
=
ln r& ; φτοτ = Em/ω. cosωt ; <B> = ωΝh(ré-r1) cosωt = 0,026Em ; Im = 17,68A (air) et
τοτ
2πr
2π
N2
Im = 0,88mA (ferro) ; r = 163 Ω ; 2°) e20 = N1 Emsin ωt ;
Rép : 1°) B =
 CP15 : Détermination des caractéristiques d’un transformateur
On veut construire un transformateur de puissance apparente* 1,5 kV.A qui, alimenté sous 380 V, 50 Hz, ait,
en régime nominal, une tension secondaire de 24 V sur charge résistive. Les valeurs fournies sont les valeurs
efficaces.
On dispose d’un circuit magnétique torique de section S = 25 cm2 et de longueur moyenne L = 60 cm
présentant une perméabilité magnétique relative pratiquement constante et égale à µr = 3180 pour un champ
magnétique variant entre 0 et 1 T. On désire faire travailler ce circuit avec un champ magnétique maximal en
régime nominal de 0,9 T.
Enfin, on impose une chute de tension relative au secondaire (entre le fonctionnement nominal et le
fonctionnement à vide) de 4%.
1 - Calculer l’intensité efficace I2 du courant secondaire nominal.
2 - Déterminer la tension secondaire à vide U2v.
n
3 - Déterminer le rapport des nombres de spires : m = 2 .
n1
4 - Quels doivent être les nombres de spires à donner au primaire n1 et au secondaire n2 ?
5 - Quelle sera l’intensité efficace du courant magnétisant ?
*
On appelle puissance apparente le produit du courant efficace traversant un dipôle par la tension efficace aux bornes de ce dipôle.
!
 CP16. Inductances de fuite d’un transformateur
On considère un transformateur dont les circuits primaire et
i1
secondaire ne sont pas parfaitement couplés. Le flux à travers le
primaire et le secondaire s’écrivent :
Φ1 = L1i1 + Mi2 et Φ2 = L2i2 + Mi1 avec M2 < L1L2 en raison du u1
couplage imparfait.
Lf1
Lf2
L
i2
u2
M2
, cœfficient de couplage des circuits.
L1L2
Montrer que le transformateur peut être modélisé comme représenté ci-dessus, avec Lf1 = (1-k)L1 , Lf2 = (1-k)L2 ,
L = kL1 et mM = kL2 (m = rapport de transformation du transformateur).
On pose k =
!  CP1 Circuit magnétique à entrefer.
7.
Se
e
S
lm
La figure ci-contre représente un aimant permanent
torique, de longueur moyenne lm = 8 cm et de section
S = 4 cm2. Ses pièces polaires de section Se = 2 cm2
définissent un entrefer e = 2 mm. Le champ magnétique
souhaité dans l’entrefer est Be = 2 T. Calculer les
champs Bm et Hm dans l’aimant.
Se Bm
Rép : Bm = Be Se/S = 1T et Hm = lmSe . µ0 = 39,7kA/m.
 CP18. Tore avec entrefer
On utilise un tore dont la section s est petite devant le rayon R et pour lequel on a enlevé une tranche de
matériau ferromagnétique d’épaisseur e. On supposera que e<<R.
On admettra que la coupure ne modifie pas les lignes de champ magnétique bien qu’une partie de celles-ci ne
soit plus maintenant dans le milieu magnétique. On y enroule en outre qu’un seul bobinage à N spires.
1°) Montrer que le module du champ magnétique Bfl est le même dans le milieu ferromagnétique et dans
l’entrefer. Exprimer B en fonction de N, i (intensité du courant circulant dans le bobinage), R, e, µ0 et µ
(perméabilité absolue du matériau).
2°) On définit µa la perméabilité apparente du tore coupé, comme la perméabilité d’un tore de rayon R, sans
entrefer, qui avec le même bobinage et le même courant créerait le même champ magnétique. Déterminer µa en
fonction des données.
3°) Montrer qu’un système électromagnétique formé du tore avec un entrefer peut être modélisé par le schéma
bloc de la figure ci-contre, où s est la section du tore et ϕ le flux à travers une spire. On précisera les grandeurs
représentées par x, y et z.
y
I
x
"
N
1/(2!R)
µS
N
+
-
e
z
1/(µ0 s)
4°) Quelle est l’influence de la présence d’un entrefer sur les non-linéarités des milieux ferromagnétiques ?
Ni
Rép : B = 2πR
µ
µ
B
B
; µa =
; y = Nϕ, x = µ et z = µ0
e µ
e µ
1+2πR (µ0 -1)
1+2πR (µ0 -1)
 CP19. Pince ampèremétrique
Une pince ampèremétrique est un dispositif permettant la
mesure d’intensité de courants alternatifs intenses, sans avoir à
intervenir dans le circuit où ce courant circule. La pince est
constituée d’un tore magnétique qui peut s’ouvrir pour
permettre d’enlacer le circuit, et d’un bobinage de N spires
enroulées sur le tore, aux bornes desquelles est branché un
ampèremètre.
On suppose le circuit magnétique parfait (µr infini).
Donner le relation entre I circulant dans le circuit étudié et i
mesurée à l’ampèremètre.
Pour quelle raison ne peut-on pas appliquer la relation entre
les tensions comme dans un transformateur parfait ?
I
i
A
 CP110. Etude d’un transformateur de courant (extrait e4a 99)
Un transformateur de courant est un capteur de courant,
permettant par exemple sa mesure. Le transformateur le plus
simple est constitué de trois parties principales, du point de vue
électromagnétique : un circuit magnétique CM (de géométrie
torique pour minimiser les fuites magnétiques, de périmètre
moyen LT, de section d'aire ST, de perméabilité relative µr élevée),
un enroulement primaire P le plus souvent réduit à un seul
conducteur traversant le tore, un enroulement secondaire S (n
spires) bobiné à spires jointives sur le tore.
Le courant à mesurer i1 (courant alternatif de pulsation ω)
circule dans le primaire tandis que le secondaire est relié à une
résistance de mesure R (figure 1).
figure 1
1) En notant les sens de circulation des courants, déterminer la tension V aux bornes de R (on négligera
l'impédance équivalente ramenée au secondaire, devant R).
2) Quel type de courant ce transformateur peut-il mesurer ? Qu'en est-il d'un courant continu ?
On définit l'erreur relative de précision d'un transformateur par : ! p =
nI 2 " I 1
.
I1
3) Exprimer εp en fonction des caractéristiques du matériau et des données géométriques. Analyser les
paramètres permettant de réduire cette erreur de précision.
 CP1 11 : Tracé d’un cycle d’hystérésis
Pour visulaliser le cycle d’hystérésis d’un matériau ferromagnétique, de masse volumique µ = 7000 kg.m-3 , on
propose le montage suivant :
r
B
i1
n1
u (t )
i2
l
n2
Y
R
v2
C
r
intégrateur
ST
X
figure 1
Le tore ferromagnétique utilisé a pour longueur moyenne l = 20 cm et section ST = 5 cm2. On suppose les
champs magnétique et excitation magnétique uniformes, orthogonaux à une section droite du tore.
Le courant absorbé par l’intégrateur est quasi nul. On suppose le couplage parfait et on néglige les pertes
cuivre.
Montrer que le montage proposé permet de !
visualiser le cycle d’hystérésis B = f(H) du matériau
ferromagnétique.
On alimente le primaire avec une tension sinusoïdale de fréquence, f = 50 Hz. On prend : R = 50 kΩ et C = 10
µF. Ces valeurs sont-elles satisfaisantes pour un bon fonctionnement du système ?
On prend n1 = 100 spires, n2 = 1000 spires et r = 5 Ω. On relève la courbe représentée figure 2.
figure 2
voie X : 0,5 V / division
voie Y : 0,2 V / division
Calculer le champ magnétique rémanent et l’excitation coercitive.
Evaluer la perte d’énergie volumique par cycle. En déduire un ordre de grandeur de la puissance massique
dissipée dans le matériau.
 CP112. Etude d’un transformateur
Un transformateur a les caractéristiques nominales suivantes :
Tension primaire efficace : 127 V ;
Tension secondaire efficace : 220 V (obtenue sur charge résistive à puissance nominale) ;
Puissance apparente : 500 VA ;
Nombre de spires de l’enroulement secondaire : 500 ;
Résistance de l’enroulement primaire : 2 Ω ; Résistance de l’enroulement secondaire : 5 Ω
On néglige le courant circulant dans le primaire quand le secondaire est à vide (courant magnétisant).
1°) Calculer le rapport de transformation et le nombre de spires de l’enroulement primaire en ne tenant
compte que des résistances des bobinages.
2°) Un essai en charge sur un dipôle inductif d’impédance variable mais de cosϕ constant égal à 0,9
donne les valeurs suivantes :
I2(A)
P1(W)
0
22
0,4
105
0,8
185
1,1
254
1,3
301
Où P1 est la puissance mesurée par un wattmètre placé dans le circuit primaire.
Quelle est la valeur des pertes fer ? On considère par la suite que ces pertes sont indépendantes de l’intensité
dans les bobinages.
Exprimer les pertes cuivre en fonction de I2.
 CP113. Capteur d’intensité électrique
Le dispositif schématisé figure 1 est utilisé comme sonde ampèremétrique dans divers dispositifs de régulation
de commande de forte puissance.
R
I0
N
kR
-
kR'
+
VH
N'
!
R'
V0
R0
IC
figure 1
Le circuit magnétique est constitué de matériau magnétique de très forte perméabilité et d’un entrefer
d’épaisseur e faible devant la longueur totale de ce circuit.
Le courant I0, dont on cherche à mesurer l’intensité, est injecté dans un circuit électrique comportant N spires
bobinées autour du circuit magnétique.
Une sonde de Hall, placée dans l’entrefer, délivre une tension électrique VH proportionnelle à l’intensité du
champ magnétique Be y régnant. On appellera α le facteur de proportionnalité entre VH et Be.
Cette tension VH est appliquée aux bornes d’un dispositif électronique à amplificateur opérationnel dont l’une
des branches est enroulée (N’ spires) autour du circuit magnétique précédent.
1 - En tenant compte des hypothèses, donner une relation entre VH , NI0 et N’Ic.
2 - Déterminer la relation entre Ic et VH en supposant que l’amplificateur opérationnel fonctionne dans son
domaine linéaire.
3 - Proposer une modélisation du dispositif sous forme de schéma-bloc, dans lequel I0 est la grandeur d’entrée
et Ic celle de sortie.
4 - Déterminer la valeur de la résistance R0 permettant d’obtenir, en sortie de dispositif, une tension V0
proportionnelle à I0 avec un facteur de proportionnalité égal à 0,25 V.A-1.
Données numériques : e = 1 mm ; α = 0,1 V.T-1 ; µ0 = 4π.10-7 u.s.i. ; kR’ = 0,1 Ω ; N = 1 ; N’ = 1000.