Origine et portée de l`équation de Langevin

Histoire des sciences / Textes scientifiques fondateurs – Avril 2013
Origine et portée de l’équation de Langevin
par Jean-Pierre Kahane, membre de l'Académie des sciences
Le texte qui suit est une note aux Comptes Rendus de Paul Langevin, volume 146, 1908, pages 530533, intitulée « Sur la théorie cinétique du mouvement brownien ». On le trouve également dans les
« Œuvres scientifiques de Paul Langevin », CNRS 1950, pages 301-303.
Il comporte trois parties. La première fait le point sur l’état de la théorie du mouvement brownien après
les intuitions de Gouy et les travaux d’Einstein et de Smoluchowski ; Einstein et Smoluchowski
obtiennent la même formule fondamentale, liant le carré du déplacement au temps écoulé, mais avec
un facteur différent.
La seconde est la contribution de Langevin ; d’abord, il annonce que, refaisant les calculs de
Smoluchowski, il retrouve le même facteur qu’Einstein ; puis, en petits caractères, il donne de la
formule sa démonstration propre, « infiniment plus simple », dit-il, et il a raison. La dernière est une
analyse critique des résultats des expériences de Svedberg qui semblaient donner raison à
Smoluchowski. Le développement de la première et la suite de la dernière partie sont à trouver dans
les travaux de Jean Perrin et dans son livre « Les Atomes », un grand classique qui mérite lecture et
relecture par un large public.
La seconde partie, bien sûr, renferme quelques équations, et nécessite une lecture attentive. Pendant
longtemps, elle n’a pas eu l’attention qu’elle mérite. Aujourd’hui encore, elle est largement ignorée des
meilleurs connaisseurs et commentateurs de l’œuvre de Paul Langevin : Bernadette BensaudeVincent dans la remarquable présentation qu’elle fait des « propos d’un physicien engagé pour mettre
la science au service de la paix », Vuibert-SFHST 2007, ne dit pas un mot de ce travail. Cet oubli
correspond sans doute au défaut de citations de cette note dans les années qui ont suivi sa parution,
et au fait que l’équation d’Einstein, une fois établie, a été le germe de travaux expérimentaux (Perrin)
et mathématiques (Wiener) qui ont fait passer au second plan la manière d’obtenir l’équation.
Or la manière de Langevin est d’introduire ce que nous appelons aujourd’hui une équation
différentielle stochastique, que nous appelons l’équation de Langevin. Son importance a été
reconnue d’abord par Doob en 1942, et elle est aujourd’hui considérée comme fondamentale en
mathématiques.
Peut-on, en quelques mots et sans formule, dire de quoi il s’agit ? Essayons. On veut décrire le
mouvement d’un très petit corps plongé dans un liquide. Il est soumis à la résistance visqueuse du
liquide, qui tend à l’arrêter, mais on observe qu’il ne s’arrête pas. Il y a donc une force à introduire
dans l’équation du mouvement, une force aléatoire qui ne va privilégier aucune direction. Donc
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Origine et portée de l’équation de Langevin – Jean-Pierre Kahane – Avril 2013
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l’accélération du petit corps est égale à la somme de deux termes : un, proportionnel à la vitesse et à
la résistance visqueuse, tend à stopper le mouvement, l’autre, aléatoire, le réactive sans cesse. La
formule qui traduit cela est l’équation de Langevin.
Langevin va ensuite opérer des moyennes, pour obtenir l’expression de la moyenne de la dérivée du
carré du déplacement par rapport au temps. C’est une fonction du temps, mais qui est pratiquement
stationnaire. Tous calculs faits, c’est l’équation d’Einstein.
Doob a spécialisé l’équation de Langevin en choisissant pour loi de la force aléatoire un multiple du
bruit blanc. Depuis, la théorie et la pratique des équations différentielles stochastiques se sont
développées dans des directions multiples. Le nom d’Itô est associé à leur traitement au moyen d’une
nouvelle forme d’intégration connue comme l’intégrale d’Itô. Si vous voulez avoir une idée du
retentissement dans la littérature contemporaine, regardez sur Google « équation de Langevin ».
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ACADÉMIE
motrice
de la pile du circuit
électromotrice
d'un élément
Ces
différents
effets
DES
la force
peut être diminuée
jusqu'à
et même d'un élément
Daniell.
récepteur
Leclanohé
ont
été
SCIENCES.
constatés
avec
des
dont
électrolytiques
de diamètre.
la
avait
de millimètre
positive
^5,
une observation
J'ajoute
que j'ai faite il y a longtemps
déjà. L'intensité
du son au téléphone,
est très notablement
donnée,
pour une transmission
de toute élévation
de température
ou de toute
accrue,
indépendamment
pointe
dans le circuit récepteur
deux électrolytiques
agitation,
quand on introduit
en série au lieu d'un seul. On augmente
en même temps le voltage
de la pile
du circuit.
du mouvement
brownien.
Sur la théorie
PHYSIQUE.
Note de M. P. Laxgevin,
présentée
par M. Mascart.
les phénomènes
de mouon doit à ce physicien
M. Gouy (')
contid'avoir
formulé
nettement
qui voit dans ce mouvement
l'hypothèse
en suspension
thernuel des particules
dans un fluide un écho de l'agitation
au moins
et de l'avoir
moléculaire,
mique
justifiée
expérimentalement,
1. Le très grand intérêt
théorique
vement- brownien
a été signalé
par
de manière
brownien
en montrant
qualitative,
et son indifférence
aux
présenté
par
la parfaite
du mouvement
permanence
actions
extérieures
celles-ci
ne
lorsque
modifient
du milieu.
pas la température
de la
Une vérification
quantitative
M. Einstein
(), qui a donné récemment
théorie
a été
une formule
rendue
possible
par
de prévoir
permettant
A^, du déplacement
Ax
quel est, au bout d'un temps donné t, le carré moyen
donnée
x par suite du mouved'une particule
dans une direction
sphérique
de
ment brownien
dans un liquide,
en fonction
du rayon a de la particule,
T. Cette
formule
est
la viscosité
et. de la température
absolue
p. du liquide
où
R est
(')
Gouy,
la constante
Joiirn.
des
de Phys.,
gaz
relative
parfaits
2e série,
t. VII,
à
1888,
une
p. 561j
et
molécule-gramme
Comptes
t. CIX,
rendus,
1889,
p. 102.
(2) A. Eikstbln,
t. XIX,
4e série,
Ann.
fi,
d. Pltysik,
p. 071.
!f
série,
t.
XVII,
190D,
p. 549;
Ann.
JN
d.
Pliysik,
SÉANCE
le nombre
DU
de molécules
dans une
et voisin de 8 x io23.
aujourd'hui
M. Smolnchowski
()
a tenté
MARS
9
1908.
nombre
molécule-gramme,
d'aborder
le même
thode
bien
connu
problème
par une méEinstein
dans les deux
plus directe
que celles employées
par M.
démonstrations
successivement
de sa formule,
et a obtenu
qu'il a données
de même forme que Ci), mais qui en diffère
pour A; une expression
par le
coefficient^.
IL J'ai pu constater
tout
d'abord
correcte
de la
qu'une
application
méthode
de M. Smoluchowski
conduit
à retrouver
la formule
de M. Einstein
exactement
toute
différente,
et, de plus, qu'il
une démonstration
est
facile
de donner,
infiniment
par
une
méthode
plus simple.
Le point de départ est toujours le même
le théorème d'équiparlition
de l'énergie
cinétique entre les divers degrés de liberté d'un système en équilibre thermique exige
qu'une particule en suspension dans un fluide quelconque possède, dans la direction x,
RT
une
énergie
d,
d'une
l,
1 gazeuse
molécule
cinétique
moyenne
d nature
de
égale l, à celleIl
dans une direction
quelconque,
donnée, à la même température.
Si =
est la
vitesse à un instant donné de la particule dans la direction considérée, on a donc
pour
la moyenne étendue à un grand nombre de
particules identiques de masse m
Une
comme
celle que nous
particule
à la distance
considérons,
grande
par rapport
des molécules
du liquide,
et se mouvant
moyenne
à celui-ci
avec la vitesse
par rapport
£
subit
une résistance
à
la
visqueuse
formule
de Stores.
égale
En réalité,
ô^aç
d'après
cette
valeur
n'est qu'une
et en raison
de l'irrégularité
moyenne,
des chocs
des molécules
l'action
du fluide
sur la particule
environnantes,
oscille
autour
de la valeur
de
sorte
précédente,
du mouvement
que l'équation
est, dans la direction
,r,
Sur
la force
tive,
complémentaire
et sa grandeur
est telle
la résistance
visqueuse
L'équation
(')
M.
(3),
vos
finirait
multipliée
Smolughowski,
X nous
savons
qu'elle
maintient
Ami.
est
l'agitation
indifféremment
de la particule
positive
que,
arrêter.
par
par
qu'elle
x,
peut
d.
s'écrire
Physik,
4° série,
t. XXt,
1906,
p. 756.
et négasans elle,
ACADÉMIE
Si nous
considérons
un
DES
nombre
grand
équations
(4) écrites
pour chacune
demment
nulle à cause
de l'irrégularité
la valeur
de l'ordre
On
a donc,
d'où,
pour
Le
io~8
un
des
terme
premier
seconde
environ
actions
en régime
pour
les
au bout
permanent
sur
particules
et il vient,
X,
complémentaires
la moyenne
Xx est évi-
d'un
le
lesquelles
en
temps
raouve-
observable.
en régime
d'agitation,
permanent
intervalle
T,
detemps
À>c d'une
déplacement
comme
et,
ou
67C,u«
6~'JL6!
brownien
est
ment
du
constante
et prenons
du terme
de particules
identiques
la
valeur
d'elles,
moyenne
des
prend
SCIENCES.
est
particule
sont
ces déplacements
donné
par
indifféremment
positifs
et négatifs,
d'où la formule (i).
III.
Un premier
essai
M. T. Svedberg
('),
formule
(i) que dans
de ceux
Les
deux
M.
de
calculés
dont
par
démonstrations
Einstein,
en
suivant
me
Smoluchowski,
proposée
par ce dernier.
T. Svedberg, Studien
vient
expérimentale
ne s'écartent
les résultats
le rapport
la formule
M.
(')
de vérification
d'être
fait par
fournis
par la
de ceux
et s'approchent
de i à L\ environ
de M. Smoluchowski.
nouvelles
obtenues
pour
la
paraissent
sur Lehre
que j'ai
l'une
d'elles
écarter
marche
définitivement
von dan kolloïden
Lôsungen.
davantage
de
la
formule
amorcée
par
la modification
Upsala,
1907.
SÉANCE
tité
A^ qui
1908.
M.
ne mesure
Svedberg
la formule
et l'incertitude
que
dans
figure
MARS
9
Il
le fait
D'ailleurs,
DU
pas
réellement
sur
le diamètre
la quanréel des
de nouvelles
mequ'il a observés
appellent
sur des granules
de dimensions
microscopiques
et pour lesquels
de la forexactement,
l'application
granules
ultramicroscopiques
sures faites de préférence
plus faciles à connaitre
mule de Stokes,
qui néglige
plus légitime.
Flammes
ACOUSTIQUE.
Note
les effets
de M. G.
Tubes à flammes
même temps deux
d'inertie
sonores
à deux
renforçant
présentée
Athanasiadis,
sons.
du liquide,
est certainement
sons.
plusieurs
par
M. Lippmann.
I, L'harmonica
en
chimique
peut donner
ou plusieurs
sons à cause de la coexistence
de différents
mouvements
vibratoires
de la flamme.
Pour
une
cela, nous introduisons
flamme manométrique
dans un tube de verre et, en réglant
la hauteur
de la
flamme et la longueur
du tube de verre, nous pouvons
entendre
ensemble
le
son propre
de la flamme
(qui est de la même hauteur
que celui du tuyau)
et le son de l'harmonica
chimique.
Pour y arriver, la flamme rendant le son du tuyau, il faut abaisser le tube de la
flamme jusqu'au moment où le son de l'harmonica commence à se produire. Nous réglons
alors la hauteur de la flamme de manière à faire coexister les deux sons et nous
pouvons changer à volonté leurs intensités relatives.
La coexistence des deux sons ainsi que l'intensité relative peuvent être montrées
par
le
miroir
tournant
obtenues
mieux
gueur
et
surtout
sont bien distinctes
encore
86cm
d'acétylène,
avec
et
une
3cm,4de
produisant
avec
flamme
d'hydrogène
donne
qui
diamètre,
sol,
du
d'acétylène.
nous
sol,,
le son
Il est
les
laquelle
images
réussit avec une flamme de gaz, mais
ou
tuyau
avec
d'acétylène,
('). L'expérience
flamme
le son
une
(Dans
faisôns
un
entrer
tube
une
de
lon-
flamme
sonore.)
de faire coexister
trois
possible
de donner
à la flamme
simultanément
ou plusieurs
sons. Il suffit pour
les vibrations
qui proviennent
cela
des capsules
de deux ou de plusieurs
manométriques
tuyaux sonores.
II. Si l'on souffle un courant
d'air ou d'un autre gaz (oxygène
ou acide
tube de verre
dont l'orifice
carbonique)
par un second
diamètre
(d'un
de ira-2™)
est situé plus bas que l'orifice
du tube de la flamme,
le son de
l'harmonica
mais il se reproduit
nous interrompons
s'éteint,
le couquand
(')
lentille
Les
images
des
et d'un miroir
flammes
peuvent
tournant
ou d'un miroir
être
projetées
sur
un
concave oscillant.
écran
au
moyen
d'une