Etude de deux phénomènes de diffusion : LA

Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 36
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-
Etude de deux phénomènes de
diffusion :
LA DIFFUSION THERMIQUE &
LA DIFFUSION de PARTICULES
1.
LA DIFFUSION : UN MODE DE TRANSFERT SANS
MOUVEMENT MACROSCOPIQUE
1.1.
Les différents modes de transfert de la chaleur
Comme nous l’avons évoqué dans le premier chapitre, les transferts thermiques peuvent se faire selon
3 modes : par conduction thermique, par convection ou par rayonnement.
Le transfert thermique par diffusion peut avoir lieu même à travers des milieux matériels
macroscopiquement immobiles : un tisonnier dont une extrémité plonge dans un feu, voit
progressivement sa température augmenter du fait des échanges thermiques par conduction tout le long
de la barre. L’explication vient du mouvement d’agitation thermique des particules qui composent le
solide, mouvement qui se propage de proche en proche.
Dans le cas de la convection, les transferts thermiques se font par l’intermédiaire d’un fluide
caloporteur : ce fluide, au contact d’une zone « chaude » peut recevoir de la chaleur. En se déplaçant par
des mouvements macroscopiques, ce fluide pourra ensuite céder de la chaleur à des zones « froides ».
Ce mode de transfert thermique est beaucoup plus rapide que le précédent et permet la thermalisation
rapide des fluides. Dans ces fluides, les phénomènes de conduction sont souvent masqués par les
phénomènes de convection.
Dans le cas des transferts par rayonnement, aucun support matériel n’est nécessaire : le Soleil
réchauffe notre planète alors que le vide les sépare….Tout corps « chaud » émet un rayonnement
électromagnétique qui transporte de l’énergie susceptible d’échauffer le corps qui le reçoit.
1.2.
Homogénéisation : courants de diffusion
Les phénomènes de diffusion se manifestent lorsque, dans un milieu donné, existe une
inhomogénéité : de température T dans le cas de la diffusion thermique, de densité particulaire n dans le
cas de la diffusion de particules.
Il se crée alors un courant thermique (resp. de particules) qui tend à uniformiser cette grandeur
intensive même en l’absence de mouvement macroscopique du milieu.
Si on débouche un flacon de parfum, on en ressent l’odeur au bout de quelques temps (pour être dans
les conditions de la diffusion, il faut éviter tout courant d’air qui mettrait en jeu de la convection) ; un
goutte d’encre versée dans un verre d’eau tendra à se répandre et colorer la totalité de l’eau contenue
dans le verre (même si on « touille » pas, ce qui prendra évidemment plus de temps que si on agite le
mélange) ; les poignées d’une cocotte métallique dans laquelle boue de l’eau sont chauffées par
conduction par le dessous de cette cocotte.
Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 37
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Ces courants sont caractérisés par des vecteurs dont la direction donne le sens des échanges et la
norme l’intensité surfacique de ces échanges.
r
Vecteur densité de courant de particules : jN tel que le flux de ce vecteur à travers une surface
représente le nombre de particules traversant cette surface par unité de temps.
Si dN désigne le nombre de particules traversant Σ pendant dt,
! on a :
M
%
(
dN = ' $$ jN (M)dS* dt
& M"#
)
dS
j N(M)
!
r
jN a pour dimension L-2T-1 et s’exprime en m-2.s-1.
!
"
!
!
r
Vecteur densité de courant thermique (ou densité de flux thermique) : jQ tel que le flux de ce vecteur
à travers une surface représente la puissance thermique traversant cette surface (c’est-à-dire, l’énergie
thermique par unité de temps).
M
dS
j Q(M)
!
"
1.3.
Si δQ désigne le transfert! thermique traversant Σ pendant dt, on
a:
&
)
"Q = ( %% jQ (M)dS+ dt
' M#$
*
!
!
r
jQ a la dimension d’une puissance surfacique et s’exprime en
W.m-2.
!
Pth= $$ jQ (M)dS représente donc la puissance thermique
M"#
traversant la surface Σ.
!
Lois phénoménologiques de Fick et de Fourier
Le phénomène de diffusion de particules (resp. de la chaleur) naît de l’inhomogénéité des
concentrations (resp. des températures) et le courant de particules (resp. de chaleur) tend à homogénéiser
ces grandeurs. Mrs Fick, pour la diffusion de particules et Fourier pour la diffusion de chaleur, ont
proposé des lois similaires :
1.3.1. Loi de Fick : cœfficient de diffusion.
jN (M) = "Dgrad Mn : loi de Fick
dans laquelle n désigne la densité volumique de particules (en m-3) et D le cœfficient de diffusion qui
s’exprime en m2.s-1.
!
Cette loi phénoménologique traduit les faits suivants :
-
Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 38
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- le courant de particules est d’autant plus grand que l’inhomogénéité de concentration est
importante (cf la proportionnalité au gradient de la concentration).
- le courant de particules a le sens des concentrations décroissantes (cf le signe « - » de la
loi) : le mouvement microscopique de diffusion de particules a lieu des zones les plus riches en
particules vers les zones les plus pauvres et tend donc à homogénéiser le milieu.
- le cœfficient D dépend de la nature des particules et du milieu support. Plus D est
important, plus les particules diffusent facilement dans le support. Un ordre de grandeur d’un
cœfficient d’autodiffusion d’un gaz dans lui-même : D ≈ 10-5 m2.s-1.
1.3.2. Loi de Fourier : conductivité thermique
jQ (M) = "#grad MT : loi de Fourier
dans laquelle T désigne la température et λ la conductivité thermique du matériau qui s’exprime en
W.m-1.K-1.
!
Cette loi phénoménologique traduit les faits suivants :
- le courant thermique est d’autant plus grand que l’inhomogénéité de température est
importante (cf la proportionnalité au gradient de la température).
- il a le sens des températures décroissantes (cf le signe « - » de la loi) : le transfert
thermique a lieu des zones les plus chaudes vers les zones les plus froides et tend donc à
homogénéiser la température.
-le cœfficient λ dépend de la nature du milieu. Plus λ est important, plus les transferts
thermiques se font facilement. On dira du milieu qu’il est un bon conducteur thermique.
Voici quelques ordres de grandeur de la conductivité thermique selon les milieux :
cuivre 390 ; acier inox 16 ; verre 1,2 ; laine de verre 4.10-2 , gaz dans les conditions usuelles : 3.10-2 ;
polystyrène expansé : 10-3.
1.4.
Analogie avec la conduction électrique
En électricité, un courant électrique I peut naître d’une différence de potentiel. En effet, à une ddp est
associé un champ électrostatique dirigé vers les potentiels décroissants. Ce champ électrique met les
charges en mouvement. La loi d’Ohm locale (voir conditions d’applications dans le cours
d’électromagnétisme) relie la densité de courant électrique au champ électrique :
je = "E = #"gradV loi d’Ohm
r
loi dans laquelle j est la densité de courant électrique, γ la conductivité électrique du matériau et V le
potentiel électrostatique.
!
On peut dresser un tableau de correspondance entre les grandeurs thermique et électrique :
!
Thermique
T
jQ (M) = "#grad MT
λ
Pth = ## jQ dS
!
"
!
Electrique
V
je (M) = "#grad MV
γ
I = ## je dS
"
-
Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 39
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-
De même qu’il existe de bons conducteurs ou de mauvais conducteurs (isolants) électriques, il existe
donc de bons conducteurs ou de mauvais conducteurs thermiques : à la conductivité électrique γ, on
associe la conductivité thermique λ.
Comme les charges (positives) et le courant électrique s’écoulent vers les potentiels décroissants,
un transfert thermique s’effectue vers les régions de température décroissante (du « chaud » vers le
« froid »...)
2.
EQUATIONS DE LA DIFFUSION
2.1.
Bilans énergétiques dans un conducteur
thermique unidimensionnel
Considérons un conducteur cylindrique, de section s constante, d’axe x : toutes les grandeurs du
problème ne dépendront que du temps (nous ne nous plaçons pas forcément en régime permanent) et de
la variable d’espace x ( on dit que le problème est unidimensionnel ) :
T(x, t)
j·
Q
x
+
+
x
x + dx
Nous allons effectuer un bilan énergétique entre les instants t et t+dt sur la « tranche » élémentaire de
conducteur comprise entre les abscisses x et x + dx:
- le transfert thermique « entrant » dans la tranche de conducteur est : δQ = [jQ(x, t)S - jQ(x+dx,t)S] dt
- le volume Sdx de conducteur, de capacité thermique massique c, de masse volumique ρ, voit son
énergie interne varier de dU = ρcSdx dT.
on peut enfin imaginer que le conducteur thermique est le siège de phénomènes producteurs ou
dissipateurs d’énergie : s’il est également conducteur électrique et parcouru par un courant par exemple,
on aura production d’énergie par effet Joule au sein du conducteur. Ce terme sera modélisé par une
puissance volumique p algébrique : si p est positive la tranche Sdx reçoit de l’énergie, si p est négatif elle
en dissipe. Pendant dt, l’énergie associée à ces phénomènes est donc dE = pSdx dt. Dans le cas de l’effet
Joule par exemple on aura p = je .E .
Remarque : un cas classique d’échange avec l’extérieur est celui où les parois latérales du conducteur
!
ne sont pas parfaitement
calorifugées. Les échanges thermiques avec l’extérieur se font donc du fait
même de la différence de température entre un point de la conduite et ce milieu extérieur. Si l’on choisit
le cas où la température extérieure est uniforme et égale à Te, le transfert thermique par unité de temps
est souvent modélisé par la loi de Newton et baptisé échange convecto-conductif :
•
"Q = #h( T(x) # Te )dSlat
!
Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 40
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dSlat étant l’élément de surface en contact avec l’extérieur. h s’exprime en W.K-1.m-2 et dépend de la
nature du conducteur et du fluide qui est à l’extérieur.
Le bilan énergétique associé à la tranche Sdx s’écrit :
dU = δQ + dE
soit :
ρcSdx dT = jQ(x, t) S dt - jQ(x + dx ,t) Sdt + pSdx dt
La température dans le conducteur est de la forme T(x,t), et la variation dT envisagée ici est associée à
∂T
une évolution temporelle. On a donc : dT = ∂t dt
∂jQ
Enfin jQ(x + dx, t) - jQ(x, t) = ∂x dx. Après simplification par S et dx, il reste :
"jQ
"T
+ #c
=p
"x
"t
ou encore, en notant uv = ρcT l’énergie interne volumique du conducteur :
!
2.2.
"jQ "uv
+
=p
"x
"t
Bilans de particules dans un milieu unidimensionnel
!
On peut déterminer le même type d’équation en diffusion de particules, en introduisant un éventuel
terme de création ou disparition de particules sous forme d’une densité volumique ν :
"jN "n
+
=#
"x "t
2.3.
!
Bilans dans un milieu unidimensionnel
et en régime
permanent : répartitions linéaires et résistance thermique.
En l’absence de facteurs de production, les équations précédentes deviennent, en régime permanent :
!
"j
d 2C
d2T
= 0 relation, qui, associée aux lois de Fick ou de Fourier, devient :
=
0
ou
= 0.
"x
dx 2
dx 2
Exemple de la diffusion thermique : le profil de température, en régime permanent, dans une barre
cylindrique dont les parois latérales sont parfaitement calorifugées et dont les températures extrêmes sont
imposées est :
!
-
Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 41
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T2
T(x)
T2
T1
T1
L
0
T(x) =
x
T2 " T1
x + T1
L
L
x
Le flux thermique conductif à travers toute section du cylindre s’écrit alors :
dT
T "T
Pth = "# S = # 1 2 S
!
dx
L
Cette puissance est identique à travers toute section orthogonale à l’axe Ox.
Par analogie avec la loi d’Ohm et en se référant au tableau de correspondance précédent, on peut donc
associer à ce cylindre conducteur thermique une résistance thermique :
!
T " T2 L
R th = 1
=
Pth
#S
Remarques : la définition de la résistance thermique est générale pour tout type de conducteur
thermique en régime permanent. Par contre, son expression dépend complètement de la géométrie de ce
conducteur thermique. L’expression donnée ci-dessus est valable quelque soit la géométrie d’un
!
conducteur thermique si celui-ci peut être traité de façon unidimensionnelle.
Associations de résistances thermiques : on retrouve les lois d’association des résistances
électriques :
- si deux conducteurs thermiques sont traversés par le même flux thermique, la résistance thermique
de l’ensemble est la mise en série des résistances de chaque conducteur : R th = R th1 + R th 2
- si deux conducteurs sont soumis à la même différence de température, la résistance thermique de
R th1R th 2
l’ensemble correspond à la mise en parallèle des deux résistances thermiques : R th =
.
R th1 + R th 2
!
Exemple : résistance thermique d’un mur constitué d’une épaisseur de brique et de plâtre et percé
d’une fenêtre.
!
2.4.
Généralisation à 3 dimensions : équation de la diffusion
Nous allons l’établir dans le cas de la diffusion thermique.
Supposons un conducteur thermique occupant un volume donné tel qu’en M(x,y,z) l’énergie interne
volumique et le courant thermique s’écrivent :
u(x,y,z,t)
et
jQ ( jQx (x,y,z,t), jQy (x,y,z,t), jQz (x,y,z,t))
Nous allons appliquer l’équation de conservation de l’énergie au petit volume δτ = dx.dy.dz entourant
le point M.
!
∂u
La variation d’énergie interne à ce volume est dU = ∂t dt dx.dy.dz.
Les flux thermiques traversant les parois de ce volume s’obtiennent en sommant les flux traversant les
6 faces du cube, faces qu’on peut associer 2 par 2 .
-
Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 42
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z
1
6
dz
2
jz
j·
y
M(x, y, z )
3
jy
jx
4
5
dx
x
dy
Ainsi, pour les faces 1 et 2, de surface dy.dz, la seule composante de jQ contribuant au produit
scalaire jQ .dS est jQx. La contribution de ces 2 faces au flux Φ traversant les parois du cube est :
∂j
!Qx dx.dy.dz
- jQx (x, y, z, t) dy.dz + jQx (x + dx, y, z, t) dy.dz = ∂x
!
La contribution de 2 autres paires s’obtient de façon identique :
faces 3 et 4 :
∂jQy
∂y dy .dz.dx
faces 5 et 6 :
∂jQz
∂z dz.dx.dy
L’application de l’équation de conservation donne, après simplification :
∂u
∂jQx ∂jqy ∂jQz
∂t + ∂x + ∂y + ∂z = p
où p représente la puissance volumique créée…
Nous reconnaissons dans la somme des trois derniers termes l’opérateur divergence, exprimé en
coordonnées cartésiennes (voir Annexe mathématique pour la définition, la signification et les
expressions analytiques de cet opérateur) .
"u
+ div jQ = p
"t
( )
: équation locale de la diffusion thermique
De même en diffusion de particules :
!
"n
+ div jN = # équation de diffusion de particules
"t
( )
Nous avons en électromagnétisme et mécanique des fluides des équations de conservation tout à fait
analogues portant
sur la charge et la masse…
!
Remarque : le calcul précédent constitue en fait une démonstration du théorème de GreenOstrogradski évoqué en Annexe. En utilisant ce même théorème ( """ div jQ d# = "" jQ .dS ) et en intégrant
V
( )
S
l’équation précédente sur un volume V délimité par une surface fermée S on obtient les équations intégrales :
!
-
Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 43
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r
r
d$
'
"" j .dS + dt &% """ u d#)(
Q
S
!
""
-
= P
V
r r
d
j .dS +
S N
dt
( """ n d#)
V
= $
En revenant aux formes
! locales, avec u = ρcT d’une part, et les lois de Fourier et Fick d’autre part, on
obtient les équations de diffusion régissant directement l’évolution de la température T et de la densité de
particules n :
∂T
- λ ΔT + ρc ∂t = p
∂n
- D Δn + ∂t = ν
où Δ désigne l’opérateur Laplacien. La résolution de ces équations, accompagnées des nécessaires
conditions aux limites et conditions initiales, fournit une solution unique donnant l’évolution en tout
point et à tout instant de la grandeur considérée.
2.5.
Caractères généraux de l’équation de la chaleur
Linéarité :
Les équations de la diffusion sont des équations aux dérivées partielles linéaires. Ceci autorise le
principe de superposition.
Comportement par renversement du temps :
On constate que ces équations ne sont pas invariantes par le remplacement de t en –t : les phénomènes
de diffusion sont des phénomènes irréversibles. Cela est lié à l’irréversibilité du sens des courants
thermiques (resp. de particules) : ils se font spontanément du plus chaud vers le plus froid (resp. du plus
dense au moins dense).
Temps caractéristique de la diffusion thermique :
On note Dth = λ/ρc appelée diffusivité thermique, et s’exprimant en m2.s-1. Si δ est une distance
caractéristique et τ une durée caractéristique d’un phénomène de diffusion, on a alors en ordre de
grandeur :
"T T
T
#
et
%T # 2 .
"t
$
&
L’équation de la chaleur nous donne, en ordre de grandeur : δ2 ≈ Dthτ.
Ainsi, si on observe un phénomène sur une durée très supérieure à τ, on pourra considérer que le
régime stationnaire est atteint!(on parle de régime quasi-stationnaire).
Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 44 L’ordre de grandeur de la durée nécessaire pour homogénéiser la température initialement
inhomogène dans un solide de diffusivité 10-4m2.s-1 et de dimension 1m est donc d’environ 104 s soit
environ 3h. Les phénomènes de diffusion ne sont pas très efficaces, à grande échelle, pour homogénéiser
une grandeur. Dans ce cas, c’est la convection qui est utilisée : mouvement de l’air pour le chauffage,
« touillettes » pour le café, …
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2.6.
Cas général du régime permanent
Comme nous l’avons vu au premier paragraphe, la définition de jQ introduit la puissance thermique à
travers une surface quelconque S. Considérons alors un tube de courant thermique et deux sections
quelconques S1 et S2 de ce tube, délimitant un volume V du tube :
!
S1
+
S2
+
En régime permanent et en l’absence de tout phénomène produisant ou consommant de l’énergie
dans V, la puissance thermique « entrant » dans V par S1 doit être égale à la puissance « sortant » de V
par S2 ( aucune puissance ne traverse la surface latérale par construction du tube...) : on aurait sinon
variation de l’énergie contenue dans V et partant, de sa température.
Plus concrètement, un conducteur thermique délimité par deux surfaces S1 et S2 et latéralement
calorifugé (c’est-à-dire entouré d’un isolant thermique : cylindre de cuivre gainé de laine de verre par
exemple) constitue un tel tube de courant : en régime permanent, la puissance thermique traversant le
tube est indépendante de la section choisie pour la calculer.
Plus généralement encore, en régime permanent, la puissance thermique traversant une surface fermée
est nulle : le vecteur courant jQ est à flux conservatif. En régime permanent, la puissance thermique
traversant le tube est indépendante de la section choisie pour la calculer.
Plus généralement!encore, en régime permanent, la puissance thermique traversant une surface fermée
est nulle : globalement il y a autant de puissance qui « rentre » que de puissance qui « sort ».
En régime permanent :
- La puissance thermique Pth est identique à travers toute section d’un
tube de courant.
- La puissance traversant une surface fermée est nulle
Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 45
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3.
EXEMPLES D’APPLICATION
3.1.
Répartition de température dans un conducteur en régime permanent
-
Nous prenons ici l’exemple d’un conducteur de largeur L suivant l’axe x, et infini dans les directions
y et z ( en fait de dimensions l1 et l2 >> L dans ces directions...). En régime permanent, nous supposons le
problème unidimensionnel et permanent, la température n’étant fonction que de la variable x : T(x). En
outre ce conducteur est également un conducteur électrique ( cuivre par exemple ) parcouru dans la
direction y par exemple par un courant électrique uniforme : il est donc le siège d’effet Joule, avec
production locale d’énergie, de puissance volumique associée pv.
Le plan x = 0 du conducteur est en contact avec l’atmosphère supposée à température constante T0 :
on a donc T(0) = T0. Le plan x = L est constituée d’une paroi isolante thermique : le vecteur courant
dT
j·Q(L) est donc nul, ce qui, d’après la loi de Fourier implique dx (L) = 0.
Il est important de retenir ce type de conditions aux limites présentes dans bien des problèmes.
y
conducteur
paroi
isolante
T = T0
0
L’équation de diffusion s’écrit :
L
x
d2 T
- λ dx2 = pv.
1 pv
soit T(x) = - 2 λ x2 + Ax + B. Les conditions aux limites fournissent :
pv
1 pv
pv
T0 = B et - λ L + A = 0. D’où la solution : T(x) = - 2 λ x2 + λ Lx +T0. La température est
maximale en x = L. On peut noter que l’énergie produite au sein du conducteur est « évacuée » par la
face x = 0 : si l’on considère en effet un volume de conducteur s’appuyant sur une surface S entre les
abscisses 0 et L, la puissance interne produite est pvSL et la puissance thermique sortant de la surface S
en x = 0 :
dT
-SjQ(0) = λS dx (0) = pvSL.
Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 46
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3.2.
-
Égalisation de la température de deux solides
Dans cet exemple, deux solides, pour simplifier identiques de même capacité thermique C, sont
initialement portés aux températures T10 et T20 ( T10 > T20 ). Ils sont en outre reliés par un conducteur
thermique filiforme, de conductivité λ, de capacité thermique négligeable devant celle des deux solides.
Les échanges thermiques sont supposés limités au système des deux solides et du conducteur qui les
relie. Nous cherchons alors à déterminer l’évolution de température des deux solides, soit les
températures T1(t) et T2(t).
S1
T 10
T 20
>
S2
j·
Q
Le régime n’est pas permanent, mais le fait de négliger la capacité thermique du conducteur reliant les
solides implique que la répartition de température y soit identique à celle du régime permanent,
autrement dit que la puissance thermique à travers toute section du conducteur soit à chaque instant la
même.
La conductance thermique de ce conducteur étant notée G, les deux températures vérifient alors à tout
instant :
G [ T1(t) - T2(t) ] = Pth
En outre un bilan intégral effectué sur l’énergie des solides 1 et 2 montre que :
dU1 = CdT1 = - Pthdt et
dU2 = CdT2 = + Pthdt
On aurait d’ailleurs pu affirmer que le système étant thermiquement isolé ( et indéformable !) on
devait avoir, en négligeant l’énergie interne du fil, U1 + U2 = Cste.
Ceci donne d’ailleurs une première relation très simple entre T1 et T2 :
T1 +T2 = cste = T10 + T20
L’expression de Pth fournit : CdT1 = - G( T1 - T2)dt = CdT2 ou encore :
C d(T1 -T2) = -2G (T1 - T2)dt
dont la résolution conduit à :
t
T1 - T2 = [ T10 - T20 ] exp (- τ )
avec
C
τ = 2G
La différence des températures tend donc vers 0 quand le temps tend vers l’infini ( en pratique quand
T10 + T20
il est grand devant la constante de temps τ ) : elles tendent donc vers la même limite
, ce que le
2
premier principe aurait pu directement affirmer.
On remarquera l’évidente analogie avec le problème constitué de deux condensateurs de même
capacité C, soumis à des tensions différentes U10 et U20 et reliés par une résistance R....
Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 47
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3.3.
Diffusion thermique dans une conduite imparfaitement
calorifugée
Reprenons l’exemple d’une barre cylindrique dont les températures extrêmes sont imposées, mais que
cette fois, nous allons considérer comme imparfaitement isolée vis-à-vis de l’extérieur.
Text
S
source à T1
source à T2
x
L
0
Les échanges thermiques qui peuvent se produire avec l’extérieur (de température Text) seront
•
•
supposés suivre la loi de Newton : "Q = #h( T(x) # Text )dSlat où "Q représente la puissance thermique
reçue au niveau de l’élément de surface latérale de la barre à l’abscisse x (où la température vaut T(x)).
On se propose de déterminer la loi de répartition de la température dans cette barre en régime
permanent.
!
Nous allons déterminer !
l’équation différentielle vérifiée par T(x) en effectuant un bilan thermique
pour un élément de volume de la barre compris entre les abscisses x et x+dx :
dU = "cSdx
#T
dt = jQ (x,t)Sdt $ jQ (x + dx,t)Sdt $ h( T(x,t) $ Text )dSlat dt
#t
avec S = πR2 et dSlat=2πRdx où R est le rayon de la barre cylindrique.
! permanent, cette équation s’écrit :
En régime
"
djQ (x)
dx#R 2dt " h(T(x) " Text )2#Rdxdt = 0
dx
d 2 T(x) 2h
2h
soit encore en lui associant la loi de Fourier :
"
T(x) = "
Text
2
dx
#R
#R
!
Cette équation fait apparaître une distance caractéristique D =
!
"R
.
2h
La résolution de l’équation nous donne la solution :
! " x%
" x%
T(x) = Text + Ach$ ' + Bsh$ '
# D&
# D&
En injectant les conditions aux limites T(0) = T1 et T(L) = T2 on obtient finalement :
!
# x&
T(x) = Text + ( T1 " Text )ch% ( +
$ D'
!
#L&
(
$ D'
( T2 " Text ) " (T1 " Text )ch%
#L&
sh% (
$ D'
# x&
sh% (
$ D'
-
Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 48
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-
Nous obtenons les courbes suivantes pour les valeurs numériques :
T1 = 500K ; T2 = 350K ; T0 = 300K ; λ = 389 W.m−1.Κ−1 ; L = 10 cm et R = 1 mm.
h = 200 W.m-2.K-1
3.4.
h = 80 W.m-2.K-1
Ondes de diffusion thermique (hors-programme)
Nous partirons ici d’un exemple pratique pour dégager une idée plus générale. Supposons que nous
voulions connaître les répercussions dans le sol des fluctuations de température atmosphérique.
Partons alors du modèle simple suivant : l’espace est divisé en deux par un plan infini , à l’abscisse x
= 0. L’atmosphère occupe tout le demi-espace x < 0 et le sol, supposé homogène, tout le demi-espace x >
0. On bâtit là un problème unidimensionnel.
Les fluctuations de températures dans l’atmosphère sont elles-mêmes modélisées suivant une loi
sinusoïdale de la forme :
T - T0 = a cos ωt
La température « oscille » donc entre une température maximale T0 + a et une température minimale
T0 - a, avec une période τ : T0 peut représenter une moyenne journalière, et donc τ = 1 jour, ou une
moyenne annuelle, et τ = 1 an...
Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 49 Le régime n’est pas permanent et la température du sol de la forme T(x, t). Nous cherchons une
solution ( supposée possible) dite à variables séparées, c’est-à-dire de la forme T(x, t) = A + f(t).g(x).
Pour la résolution du problème, nous utiliserons les variables complexes en écrivant :
PSI Brizeux
T = T0 + aejωt
On peut déjà remarquer que la continuité de la température à la surface du sol impose :
T(0, t) = A + f(t) g(0) = T0 + a ejωt ∀t
A = T0, g(0) = a et f(t) = ejωt...
d’où
Une autre condition aux limites est constituée par la profondeur « infinie » du sol pour laquelle les
fluctuations de température de l’atmosphère ne doivent plus être ressenties , ce qui impose :
g(x) -> 0 quand x -> ∞
∂T
L’équation de diffusion thermique s’écrit alors : - λ ΔT + ρc ∂t = 0 avec les significations
habituelles des grandeurs λ, ρ et c...La forme cherchée implique :
ρcω
- λ ejωt g’’(x) + ρc jωejωt g(x) = 0, σοιτ : g’’(x) - j λ g(x) = 0
en remarquant que j =
g(x) = g1exp( -
[ 1 +2 j ] , il vient :
2
ρcω
2λ x ).exp (-j
ρcω
2λ x ) + g2exp( +
ρcω
2λ x ).exp( +j
ρcω
2λ x )
Les conditions aux limites fournissent g1 = a et g2 = 0. On fait apparaître une profondeur
2λ
caractéristique δ en posant δ =
ρcω . La solution définitive est :
x
T(x, t) = T0 + a e- x/δ cos( ωt - δ ) avec δ =
2λ
ρcω
La profondeur caractéristique δ montre que l’hypothèse d’une profondeur infinie peut être remplacée
par celle d’une profondeur finie, grande devant δ, mais suffisamment faible pour que des phénomènes
supplémentaires de réchauffement n’interviennent pas ...
Ainsi, en prenant pour le sol ρ = 3.103kg.m-3, c = 515 J.kg- 1.K- 1 et λ = 1 W.K- 1.m- 1, on peut établir les
résultats suivants, très utiles pour les plantations et les implantations de caves à vin :
- pour une amplitude de variation journalière de température de l’atmosphère de 15°C, autour de la
température moyenne de 2,5°C en hiver, on trouve δ = 13 cm et il suffit de descendre à une profondeur
de 27 cm pour que cette amplitude ne soit plus que de 1°C : le sol n’est plus gelé à cette profondeur...
- pour une amplitude de variation annuelle de température de 40°C autour de 10°C, on trouve δ = 2,55
m et il faut descendre à une profondeur de 7,5 m pour avoir une température annuelle invariable , à 1°
près...