bac-blanc-S-11-12 - Mathématiques au lycée Bellepierre

TERMINALE S
4 HEURES
EPREUVE DE MATHEMATIQUES
BACCALAUREAT BLANC
2012
La calculatrice est autorisée
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l’appréciation des copies.
Ce sujet comporte quatre exercices.
EXERCICE N°1
5 points
Exercice commun à tous les élèves
On se propose de résoudre sur ℝ l’équation différentielle, ( E1) : y’’ – 2 y’ = 4 e2x
1. Déterminer le réel α pour que la fonction h définie sur ℝ par h(x) = α xe2x soit une solution particulière de
l’équation différentielle ( E1 ).
2. On considère l’équation différentielle ( E2*) : y’ – 2 y = 0 et on pose Y= y’
a. Montrer que la fonction Y est solution de l’équation différentielle ( E2* ) si et seulement si la fonction
y est solution de ( E1*) : y’’ – 2 y’ = 0
b. Résoudre l’équation différentielle ( E2* ) : Y’ – 2 Y = 0
c. En déduire les solutions y de l’équation différentielle (E1*) : y’’ – 2 y’ = 0.
3. On pose z = y + h.
a. Montrer que z est une solution générale de ( E1 ) si et seulement si y est une solution générale de
l’équation différentielle ( E1* ) : y’’ – 2 y’ = 0.
b. En déduire la solution z de l’équation différentielle ( E1 ) qui s’annule en 0 et dont la courbe
représentative, dans un repère orthonormé, admet en ce point une tangente horizontale.
EXERCICE N°2
5 points
Exercice commun à tous les élèves
1. On considère la fonction g définie par g ( x ) = (2x – 1 ) e2x + 1
a. Etudier le sens de variations de la fonction g. On précisera les limites aux voisinages de -∞ et de + ∞.
b. En déduire le signe de g sur ℝ.
2. On considère la fonction f définie sur ℝ* par f ( x ) =
e2x −1
.
x
a. Calculer les limites de f en -∞, en 0 et en + ∞. Que peut-on conclure ?
b. Déterminer le sens de variation de f (on donnera son tableau de variation).
c. Montrer que l’équation f ( x ) = 1 admet une unique solution β dans ℝ.
Déterminer une valeur approchée de β à 10-2 près.
3. On définit la fonction f1 par : f1(x) = f(x) pour tout x ≠0 et f1(0)= 2.
a. Montrer que pour tout t de [-1 ;1], 1 + t +
t²
2
+
t3
6
≤ et .
On admet dans la suite de l’exercice que pour tout t de [-1 ; 1], et ≤ 1 + t +
b. Montrer que f1 est dérivable en 0. Quel est le nombre dérivé de f1 en 0 ?
t²
2
+
t3
6
+ t4.
EXERCICE N°3
5 points
Exercice commun à tous les élèves
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal d’unité graphique 1cm.
1. Calculer (4 + 6i)²
2. Pour tout nombre complexe z, on pose p(z) = z4 + 4 z3 + (8 - 12i) z² + (8 – 56 i) z – 96 - 32i.
a. Calculer p ( - 4 ).
b. Montrer que, dans ℂ, l’équation p(z) = 0 admet une solution imaginaire pure.
c. Déterminer deux nombres complexes a et b tels que p(z ) = [ z² + (4 – 2 i) z – 8 i ] [ z² + a z + b ].
d. Résoudre dans ℂ, l’équation p ( z ) = 0.
3. On pose z1 = 2 + 2i.
a. Déterminer le module et un argument de z1
b. Ecrire z12012 sous forme algébrique.
4. On considère les points A, B, C et P d’affixes respectives :
zA= - 5 - 3 i ;
2
zB = 1 - i ; zC = - 2 – 3 i et
zP = - 4 , et le vecteur w
⃗⃗ d’affixe zw
⃗⃗⃗ = - 1 + 3 i.
a. Déterminer l’affixe du point Q, image de B par la translation t de vecteur w
⃗⃗ .
b. Déterminer l’affixe du point R, image de P par l’homothétie h de centre C et de rapport - 2.
π
c. Déterminer l’affixe du point S, image de P par la rotation r de centre A et d’angle - 2
d. Placer les points P, Q, R et S.
5.
a. Démontrer que le quadrilatère PQRS est un parallélogramme.
b. Calculer Z =
zR −zQ
zP −zQ
; En déduire la nature précise du parallélogramme PQRS.
c. Justifier que les points P, Q, R et S appartiennent à un même cercle, noté ( C ). On calculera l’affixe de
son centre Ω et son rayon ρ.
6. La droite (AP) est-elle tangente au cercle ( C ) ?
EXERCICE N°4
5 points
Exercice réservé exclusivement aux élèves n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité de mathématiques.
On considère la suite numérique (un) définie sur ℕ par : u0 = a et pour tout entier naturel n, un+1 = un ( 2 – un) où a est un
réel donné tel que 0 < a < 1.
1
1. On suppose dans cette question que a = 8.
a. Calculer u1 et u2.
b. Dans un repère orthonormal d’unité graphique 8 cm, tracer, sur [0,2], la courbe représentative ( P )de la
fonction f : x→x(2 – x ).
c. Utiliser la courbe ( P ) pour construire sur l’axe des abscisses les points A1 , A2, A 3 d’abscisses
respectives u1, u2, u3.
2. On suppose dans cette question que a est un réel quelconque appartenant à ]0 ; 1[.
a. Montrer que pour tout entier naturel n, 0 < un < 1.
b. Montrer que la suite ( un ) est croissante
c. Que peut-on en déduire ?
1
3. On suppose à nouveau dans cette question que a = 8.
On considère la suite numérique (vn) définie sur ℕ par vn = 1 – un.
a. Exprimer, pour tout entier naturel n, vn+1 en fonction de vn.
b. En déduire l’expression de vn en fonction de n.
c. Déterminer le plus petit entier n0 tel que pour tout n≥ n0, on a vn ≤ 10−4.
d. Déterminer la limite de la suite (vn), puis celle de la suite ( un).
EXERCICE N° 4
5 points
Exercice réservé exclusivement aux élèves ayant suivi l’enseignement de spécialité de mathématiques.
Préliminaire : Résolution d’équation diophantienne.
On considère l’équation ( E ) : 15 x – 26 y = 1.
1. Justifier que l’équation ( E ) admet des couples de solutions d’entiers relatifs (u ; v)
2. Montrer que ( 7 ; 4 ) est une solution particulière de ( E ).
3. Déterminer l’ensemble des couples ( x ; y ) de nombres entiers relatifs solutions de l’équation ( E ).
Partie A : Cryptage et décryptage.
On assimile chaque lettre de l’alphabet à un nombre comme l’indique le tableau ci-dessous :
lettres
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
Rang :x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
4
9
Lettre
E
J
code
L
11
13
M
12
N
lettres
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Rang :x
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
n
22
Lettre
W
code
On code tout nombre entier x compris entre 0 et 25 par n où n est le reste de la division de 15x + 4 par 26.
Par exemple la lettre L (est associée à x = 11 ) est codée par la lettre N ( n = 13).
1. Coder la lettre S .
2. Le but de cette question est de déterminer la fonction de décodage.
a. Montrer que pour tous nombres entiers relatifs x et j, on a : 15 x ≡ j [26] équivaut à x ≡ 7 j [26].
b. En déduire un procédé de décodage. Vérifier que la lettre G est décodée par la lettre O.
Z
25
Partie B : Théorème du reste chinois.
On se propose de déterminer l’ensemble S des entiers relatifs n vérifiant le système : {
n ≡ 9 [15]
n ≡ 3 [26]
1. Recherche d’un élément de S
On sait d’après le préliminaire que l’équation ( E ) admet des couples de solutions d’entiers relatifs ( u ; v ).
a. On pose n0 = 3* 15 u – 9* 26 v. Démontrer que n0 appartient à S
b. Déterminer le plus petit entier naturel n0 appartenant à S.
2. Caractérisation des éléments de S
a. Soient p et q deux entiers naturels tels que p et q sont premiers entre eux.
Montrer que, si a est un entier relatif, tel que a≡ 0[p] et a≡ 0[q] alors a≡ 0[pq].
b. Soit n un entier relatif appartenant à S. Démontrer que n-n0 ≡ 0 [390]
c. En déduire qu’un entier relatif n appartient à S si et seulement si, il peut s’écrire sous la forme :
n= 159 + 390k, où k est un entier relatif.
Partie C : Application
Une bande de 26 pirates s'est emparée d'un coffre-fort.
Pour l’ouvrir, il faut décoder le message « CEDFO UO QGGX » .
1. En utilisant la fonction de décodage de la partie A2b. Décoder le message.
2. Le butin composé de pièces d'or d'égale valeur. Ils décident de se les partager également et de donner le
reste au cuisinier chinois. Celui-ci recevrait trois pièces. Mais les pirates se querellent et onze d'entre
eux sont tués. Le cuisinier recevrait alors 9 pièces. Survient alors un naufrage et seuls 7 pirates, le
cuisinier et le trésor sont sauvés et le partage laisserait 5 pièces d'or à ce dernier.
Quelle est alors la fortune minimale que peut espérer ce dernier s'il décide d'empoisonner le reste des
pirates ?