Problèmes thermodynamique 2015-2016 - PCSI

Problème 1 : Moteur de Stirling (CCP MP 2011)
Dans le moteur étudié ici, un gaz se déplace entre deux chambres, à travers un
régénérateur. Le rôle du régénérateur est primordial pour obtenir une bonne
efficacité. Le gaz chaud pénètre dans la partie chaude du régénérateur et est
progressivement refroidi pour ressortir par l’autre extrémité à une température
voisine de celle de la source froide. Inversement, lorsque le gaz repasse de la chambre
froide à la chambre chaude, il est progressivement réchauffé dans le régénérateur.
Ceci permet d’effectuer une partie des transferts thermiques à l’intérieur même du
moteur.
Ce problème permet de comprendre l’intérêt du régénérateur dans le calcul de
l’efficacité.
Constante du problème
Constante des gaz parfaits : R = 8, 314 J mol−1 K−1
Données sur le dihydrogène ( H2 )
On considèrera dans ce problème que le dihydrogène se comporte comme un gaz
parfait.
Masse molaire : M H = 2, 00 × 10−3 kg mol−1
2
Rapport des capacités thermiques : γ =
Description du cycle de Stirling
Cp
CV
= 1, 40
Le cycle associé à un moteur
de Stirling est constitué de 2
isothermes et de 2 isochores. Il
est décrit comme suit :
1→2 :
isotherme
compression
mécaniquement
réversible à Tf = 313 K ;
2 → 3 : transformation isochore de la température Tf = 313 K à la température
Tc = 1173 K ;
3 → 4 : détente isotherme mécaniquement réversible à Tc = 1173 K ;
4 → 1 : transformation isochore de la température Tc = 1173 K à la température
Tf = 313 K .
Caractéristiques du moteur étudié
Température de la source chaude : Tc = 1173 K
Température de la source froide : Tf = 313 K
Volume minimum du gaz : Vm = 1, 0 L
Volume maximum du gaz : VM = 2, 0 L
Masse de dihydrogène contenue dans le moteur : m = 10 g
Dans toutes les questions
de
ce
problème,
le
volume du régénérateur
est nul (Vr = 0 ) comme indiqué sur la figure 2.
Dans un premier temps, on ne prend pas en compte le régénérateur.
1. Déterminer la quantité n de gaz et les pressions p1 , p2 , p3 et p4 .
2. Représenter le cycle moteur de Stirling sur un diagramme p (V ) .
3. Exprimer algébriquement la variation d’énergie interne ∆U ab et les transferts
énergétiques, Wab et Qab , entre un état a et un état b pour une transformation
isotherme mécaniquement réversible.
4. Exprimer algébriquement la variation d’énergie interne ∆U cd et les transferts
énergétiques, Wcd et Qcd , entre un état c et un état d pour une transformation
isochore.
5. Calculer numériquement les travaux W1→2 , W2→ 3 , W3→ 4 et W4→1 .
6. Calculer numériquement les transferts thermiques Q1→2 , Q2→ 3 , Q3→ 4 et Q4→1 .
7. Que valent les transferts thermiques Qc et Qf provenant des thermostats chaud et
froid si aucun dispositif supplémentaire n’intervient (pas de régénérateur) en fonction
des transferts thermiques Q1→2 , Q2→ 3 , Q3→ 4 et Q4→1 ? Effectuer l’application
numérique.
8. Que vaut le travail W sur le cycle ? Effectuer l’application numérique.
9. En déduire numériquement l’efficacité sans régénérateur ( esr ).
On prend maintenant en compte la présence du régénérateur, que l’on supposera
parfait (volume négligeable, transfert parfait). Les transferts thermiques Q2→ 3 et
Q4→1 sont alors internes.
10. Vérifier que les transferts thermiques Q2→ 3 et Q4→1 se compensent.
W
+ W3→ 4
L’efficacité est alors calculée à partir de e = − 1→2
.
Q 3→ 4
11. Justifier cette expression.
12. Exprimer l’efficacité (e ) en fonction de Tc et Tf . Effectuer l’application
numérique.
13. Comparer l’efficacité (e ) à l’efficacité de Carnot ( eC ).
Problème 2 : Modèle d'atmosphère (CCP PSI 2015)
On s’intéresse à l’équilibre de l’air dans l’atmosphère terrestre. Les valeurs de
référence pour la température et la pression seront celles relevées à la surface de la
Terre, à savoir P0 = 1,0 105 Pa et T0 = 300 K. L’air sera assimilé à un gaz parfait.
On repère ici l’espace par le trièdre (O, x, y, z). L’axe des z vertical est dirigé vers le
haut et son origine O coïncide avec la surface de la Terre.
A.l - Equilibre isotherme de l’atmosphère
On suppose ici que la température de l’atmosphère est uniforme et vaut T0 pour tout
z. On note pair(z) la masse volumique de l’air à l’altitude z.
1°) On note Mair la masse molaire de l’air. Quels sont les deux principaux
constituants physicochimiques de l’air ? En quelles proportions molaires y sont-ils
présents ? En ne considérant que ces deux principaux constituants de l’air,
déterminer la valeur numérique de Mair.
2°) En écrivant une condition d’équilibre mécanique sur un élément infinitésimal
d’atmosphère situé entre les altitudes z et z + dz, montrer que :
dP
= − ρ air g
dz
3°) Déterminer l’expression de la pression P(z) de l’air en fonction de l’altitude z.
4°) En déduire un ordre de grandeur de l’épaisseur caractéristique de l’atmosphère.
A.2 - Equilibre de l’atmosphère caractérisée par un gradient de température et
formation de la base du nuage.
La température dans les basses couches de l’atmosphère n’est pas uniforme mais
décroît avec l’altitude. Dans cette partie, on admettra que cette température suit une
décroissance affine de la forme :
T(z) = T0 - λ z
avec T0 = 300 K et λ = 0,007 K.m-1.
5°) a) a) A partir de la condition d’équilibre mécanique d’un élément infinitésimal
d’atmosphère, déterminer l’expression littérale de P(z).
b) Les applications numériques donnent :
Altitude (km)
Pression (Pa)
0,5
94 500
2
79 300
5
8
11
54 800 36 700 23 700
14
l4 600
Jusqu’à quelle altitude et avec quelle précision, le modèle de l’atmosphère
isotherme est-il pertinent ?
A.3 - Profil de température au sein d’une colonne d’air humide à toutes les altitudes,
formation du nuage
D’un point de vue thermodynamique, l’ascension verticale d’une colonne d’air
humide, depuis la surface de la Terre à la pression P0, jusqu’à l’altitude z à la
pression P(z), sera assimilée à une détente adiabatique et mécaniquement réversible.
Par ailleurs, l’air humide contenant une faible quantité de vapeur d’eau sera encore
assimilable à un gaz parfait de masse molaire Mair.
6°) Ecrire le système d’équations permettant de déterminer le profil de température
T(z) au sein d’une colonne d’air humide, en équilibre mécanique, pour toutes les
altitudes.
La résolution des équations précédentes aboutit à l’expression :
T ( z ) = T0 .(1 −
7°)
γ RT0
z
) avec z2 =
z2
(γ − 1) M air g
a) Par extrapolation, évaluer la pression de vapeur saturante de l’eau à
l’altitude z = 500 m.
b) En supposant que la fraction molaire de l’eau dans la colonne d’air humide est
de 4 %, montrer que l’eau devrait se liquéfier en dessous de 500 m.
c) En général, les observations rendent compte d’une liquéfaction survenant à
des altitudes légèrement supérieures. Expliquer. Ce phénomène de métastabilité
existe aussi pour des corps très purs lors du changement d’état liquide-solide.
Dans ce dernier cas, quel nom lui est associé ?
A.4 - Stabilité du nuage : pourquoi les gouttelettes d’eau de la partie inférieure du
nuage ne tombent-elles pas ?
On supposera dans cette étude sur la stabilité du nuage que l’air est immobile
dans le référentiel terrestre et a une masse volumique constante ρair = l,2 kg.m-3.
On repère ici l’espace par le trièdre (O’, x, y, z’). L’axe des z’ vertical est
dirigé vers le bas et son origine O’ coïncide avec la base d’un cumulo-nimbus (figure
4) On considère la chute d’une fine gouttelette d’eau liquide de rayon r = 0,01 mm,
située initialement à 2 000 m au-dessus de la surface de la Terre et dépourvue de
vitesse initiale. On suppose que les frottements exercés par l’air sur la gouttelette
sont modélisables par la force f = −6πη air rv , où ηair correspond à la viscosité de l’air et
v à la vitesse de la gouttelette.
8°) a) Faire un bilan des forces exercées sur la gouttelette d’eau.
b) Pourquoi est-il légitime de ne pas prendre en compte la poussée d’Archimède ?
c) En déduire l’équation différentielle vérifiée par la vitesse v de la gouttelette
d’eau.
9°) Montrer que la gouttelette d’eau tend à atteindre une vitesse limite, notée vlim,
dont on précisera l’expression ainsi que sa valeur numérique.
10°) Evaluer un ordre de grandeur de la durée nécessaire pour que la gouttelette
d’eau atteigne sa vitesse limite.
11°) A l’aide d’une approximation que l’on justifiera, déterminer la durée de chute
d’une gouttelette d’eau depuis la base d’un cumulo-nimbus, initialement située à 2
000 m au-dessus de la surface de la Terre, jusqu’au sol.
12°) Par ailleurs, quel phénomène thermodynamique peut justifier la stabilité
mécanique du nuage, même en l’absence de courants ascensionnels suffisants ?
Problème 3 : Système liquide-vapeur
Propriétés thermodynamiques de l’eau
cL = 4,18 kJ kg−1 K−1 : capacité thermique massique de l’eau liquide
α = 1, 5 × 10−4 K−1 : coefficient de dilatation isobare de l’eau liquide
Notations
θ : température en degré Celsius
ps : pression de vapeur saturante
vL : volume massique du liquide saturant
hL : enthalpie massique du liquide saturant
vG : volume massique de la vapeur saturante
hG : enthalpie massique de la vapeur saturante
x : titre en vapeur du système
vm : volume massique du système
hm : l’enthalpie massique du système
ℓ v (T ) : enthalpie massique de vaporisation à la température T
A. Préliminaires
1. Montrer que x =
v m − vL
.
vG − v L
On admettra que de même x =
hm − hL
.
hG − hL
2. Rappeler la relation reliant ℓ v (T ) à hG (T ) et hL (T ) .
B. Détente adiabatique réversible
On considère un cylindre indéformable calorifugé. Il est fermé par un piston, également calorifugé.
Initialement, le volume du cylindre est V = 10 L .
L’introduction d’une masse m = 10 g d’eau dans le cylindre permet d’obtenir un système liquidevapeur en équilibre à la température θ = 100 °C .
L’entropie massique du système à la température T , s’écrit
s ( x ,T ) = cL ln T +
ℓ V (T ) x
T
+ cste .
1. Déterminer le titre initial en vapeur x de ce système.
2. Ce système subit une détente adiabatique réversible de la température θ à la
température θ ′ = 50 °C .
Montrer que le titre massique en vapeur x ′ du système liquide-vapeur à la fin de la
détente s’écrit x ′ =

  h θ − hL ( θ ) 
θ′
 c ln  θ  + G ( )
x  .
θ
hG ( θ ′ ) − hL ( θ ′ )  L  θ ′ 

3. Quel titre massique en vapeur x ′′
aurait-on dû avoir, à la température
θ = 100 °C , pour qu’au cours de la détente définie ci-dessus (B.2.) ce titre reste
constant ?
C. Turbine à vapeur
Dans cette partie les calculs concernent une masse m = 1, 00 kg de fluide.
Dans le circuit secondaire d’une centrale nucléaire, le fluide caloporteur traverse un générateur de
vapeur, une turbine, un condenseur et une pompe d’alimentation.
Les transformations subies par l’eau dans ce circuit sont modélisées par le cycle de Rankine décrit cidessous :
A → B : compression adiabatique réversible, dans la pompe d’alimentation, de la
pression p1 = 0, 056 bar à la pression p2 = 69, 200 bar , du liquide saturant sortant
du condenseur à la pression p1 et à la température T1 (état A ).
Cette compression entraine une élévation ∆T de la température du liquide.
B → D : échauffement isobare du liquide dans le générateur de vapeur qui amène
le liquide de l’état B à l’état de liquide saturant sous la pression p2 et à la
température T2 (état D ).
D → E : vaporisation totale, dans le générateur de vapeur, sous la pression p2 .
E → F : détente adiabatique réversible, dans la turbine, de p2 à p1 .
F → A : liquéfaction totale, dans le condenseur, sous la pression p1 , de la vapeur
présente dans l’état F .
1. Représenter ce cycle dans le diagramme de Clapeyron ( p, v ) .
2. Que valent les températures T1 et T2 ?
En déduire les valeurs des températures TA , TD , TE
et TF
correspondant
respectivement aux états A , D , E et F .
3. La différentielle de l’entropie massique du liquide s’écrit, en fonction des variables
T et p , ds = cL
dT
− αv Ldp .
T
On note ∆T = TB − TA l’élévation de température du liquide dans la pompe
d’alimentation. Sachant que ∆T ≪ TA , calculer ∆T .
On supposera, pour ce calcul, que le volume massique v L du liquide reste quasiment
constant et égal à 1 × 10−3 m 3 kg−1 . On rappelle également que pour
ε ≪ 1,
ln ( 1 + ε ) ≃ ε .
Dans la suite du problème on négligera ∆T .
4. Calculer le titre x F et l’enthalpie massique hmF du système liquide-vapeur sortant
de la turbine (état F ).
5. Calculer les quantités d’énergie Q1 et Q2 reçues par 1, 00 kg d’eau, par transfert
thermique, respectivement dans le condenseur et dans le générateur de vapeur.
6. Calculer le travail W reçu, par 1, 00 kg de fluide, au cours du cycle.
7. Calculer l’efficacité ρ (ou rendement thermodynamique) du cycle. Comparer cette
efficacité à celle ρC d’un cycle de Carnot décrit entre les mêmes températures
extrêmes T1 et T2 .
8. Dans le calcul du bilan enthalpique du fluide au cours du cycle, on peut négliger la
variation d’enthalpie ∆hAB . Montrer, alors, que le travail W peut s’exprimer en
fonction des enthalpies massiques du fluide à l’entrée et à la sortie de la turbine.
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