Noeuds et tresses : quelques pistes de réflexions

Noeuds et tresses : quelques pistes de réflexions
Sylvain Courte et Alexandre Vérine
12 mars 2015
Classification à la main
— Montrer qu’un noeud à 0,1,2 croisements est trivial.
— Montrer qu’un noeud à trois croisements est le noeud de trèfle ou son miroir.
— Montrer qu’un noeud à 4 croisements est le noeud de 8.
Mouvements de Reidemeister Par une suite de mouvements de Reidemeister, montrer
que les noeuds/entrelacs suivants sont équivalents.
1.
2.
3.
Surfaces et courbes On appelle surface topologique à bord un espace topologique
— séparé,
— à base dénombrable d’ouverts,
— et dont tout point a un voisinage ouvert homéomorphe à un ouvert de R2 ou de R+ × R.
Vous pouvez réfléchir aux faits suivants.
1. Le bord d’une surface S est l’ensemble des points de S qui n’admettent pas de voisinage
ouvert homéomorphe à un ouvert de R2 . Le bord d’une surface à bord est une variété
topologique de dimension 1 (donner un sens à cela et le vérifier).
2. Une variété topologique de dimension 1 connexe est homéomorphe à R ou au cercle S 1 .
3. Un plus-que-mille feuille :
On note M l’ensemble R3 muni de la topologie donnée par la base d’ouverts suivante
{U × {y}|U ouvert de R, y ∈ R}. Laquelle des trois propriétés d’une surface n’est pas
vérifiée pour M ?
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Théorème de Jordan Soit Γ une partie de R2 homéomorphe à un cercle (on dira cercle
topologique de R2 ), le complémentaire de Γ a deux composantes connexes dont une seule est
bornée. Ce résultat se généralise dans Rn , n ≥ 3.
Théorème de Shoenflies Soit Γ une partie de R2 homéomorphe à un cercle. Alors la composante connexe bornée de R2 \ Γ est homéomorphe au disque unité ouvert.
Application : Montrer que les deux composantes du complémentaire d’un cercle topologique
tracé sur S 2 sont homéomorphes à des disques ouverts.
Pas de généralisation en dimension supérieure : la sphère cornue d’Alexander (cf http://en.
wikipedia.org/wiki/Alexander_horned_sphere) est un sous-ensemble de S 3 homéomorphe
à la sphère S 2 dont une des composantes connexes du complémentaire n’est pas homéomorphe
à une boule.
Quelques surfaces orientables non compactes Parmi les quatre surfaces du dessin suivant, deux sont homéomorphes et les deux autres ne sont ni homéomorphes entre elles ni
homéomorphes aux deux premières. Desquelles s’agit-il ?
Une décomposition en noeuds premiers Décomposer le noeud ci-dessous en facteurs
premiers.
Noeuds toriques Pour p et q deux entiers strictement positifs premiers entre eux, on appelle
Cp,q l’image de la droite vectorielle de R2 de pente p/q par l’application quotient π : R2 →
R2 /Z2 .
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— Montrer que via l’homéomorphisme standard entre le tore de révolution de R3 et R2 /Z2 ,
les Cp,q sont bien des noeuds de R3 . Observer que ceux de type (2, 3) et (3, 2) sont des
noeuds de trèfle.
— Montrer que si Cp,q et Cp0 ,q0 sont tracés sur le même tore ils s’intersectent en
| det((p, q), (p0 , q 0 ))|
points.
— Trouver une surface de Seifert de genre (p − 1)(q − 1)/2 pour le noeud torique de type
(p, q). Indication : montrer que ce noeud est représenté par un diagramme du type suivant
(c’est la clôture d’une tresse) :
D’ailleurs, sur ce dessin que valent p et q ?
— Montrer que tout noeud k : [0, 1] → R3 inclus dans le tore de révolution est équivalent
à un noeud Cp,q pour un certain couple (p, q). Indication : montrer qu’il existe une
application continue f : [0, 1] → R2 avec π ◦ f = k.
Entrelacs brunniens On dit qu’un entrelacs est brunnien si lorsqu’on lui enlève une composante connexe il devient un entrelacs trivial. Trouver un entrelacs brunnien à trois composantes
connexes, puis quatre. Deux entrelacs brunniens au même nombre de composantes connexes
sont-ils forcément équivalents ?
Revêtement infini cyclique (d’après Rolfsen p.137) On considère l’entrelacs de la figure
suivante formée par les noeuds J et K, ainsi que deux surfaces de Seifert MJ et MK respectivement pour J et K. En considérant le revêtement infini cyclique de S 3 \ J, montrer que MJ
et MK s’intersectent nécessairement.
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