2nde 5 Sept 12 année 2012-2013 Les ensembles de nombres I. Activité 1) A partir des entiers naturels et l’addition a) Résoudre les équations suivantes où l ’inconnue est x est un nombre x+2=5 et x+10=5 b) La solution existe-elle toujours ? Est-ce toujours un entier naturel? 2) A partir des entiers relatifs et la multiplication a) Résoudre les équations suivantes où l inconnue est x est un nombre 4x=12 -7x=2 5x=8 3x=0 -3x=7 -21x=-9 b) La solution et-elle toujours un entier relatif? 3) A partir des entiers et à l élévation à une puissance a) Résoudre les équations suivantes où l inconnue est x est un nombre x 2=9 x 2=-2 x 2=8 x 2=-4 x 3=-27 b) Les solutions éventuelles sont -elles des entiers relatifs ? II. Synthèse : Ensembles de nombres 1) Ensemble des entiers naturels noté É É est un ensemble infini . Chaque entier naturel n possède un successeur n+1 Le plus petit entier naturel est 0 . On note É* l ensemble des entiers naturels non nuls . n appartient à É se note : n É 2) Ensemble des entiers relatifs noté Î Î contient tous les entiers naturels et leurs opposés . On a donc que É est inclus dans Î : on note É Î 3) Ensemble des rationnels noté Í , ensemble des décimaux relatifs noté Ì Définition : On appelle nombre rationnel , tout nombre qui peut s écrire sous la forme d un quotient a avec a Î et b É* b Cas particulier : Décimal On appelle nombre décimal tout nombre qui peut s écrire sous la forme d un quotient d un entier relatif par une puissance de 10. Un décimal est donc un rationnel : Ì Í 1 2nde 5 Sept 12 année 2012-2013 4) Ensemble des réels noté Ë On a vu qu il existe des nombres qui ne sont pas des rationnels : on dira que ce sont des irrationnels . On rassemble tous les nombres rationnels et irrationnels dans un même ensemble appelé ensemble des réels et noté Ë . É Î Í Ë Ë={ ;……} A chaque point de la droite graduée correspond un seul nombre réel : c est l abscisse de ce point A chaque réel correspond un seul point de la droite graduée . L ensemble des réels est l ensemble des abscisses de tous les points de la droite graduée : on dit que la droite graduée est la droite réelle Ecriture décimale d’un réel Un décimal a une écriture décimale ……………………………………………… Un rationnel a une écriture décimale …………………………………………….. Un nombre irrationnel a une écriture décimale …………………………………. Ecriture scientifique d’un réel positif Tout réel positif peut s’écrire sous la forme d’un produit d’un réel compris entre 1 et 10 (10 exclu) par une puissance de 10 : x = a 10 n avec 1≤ a < 10 et n Î 5) Application a) Compléter b) Déterminer la nature de chacun des nombres ( donner le plus petit ensemble auquel il appartient ).Ensuite les placer dans le schéma précedent 2 2nde 5 Sept 12 année 2012-2013 III. Intervalles de Ë 1) Les différents intervalles de Ë L ensemble des réels compris au sens large , entre deux nombres a et b est appelé intervalle de Ë et désigne tous les réels x vérifiant a ≤ x ≤ b. On le note [ a ; b ] Exemple : L’ensemble de tous les nombres réels x tels que -2 ≤ x ≤ 7 se note : [-2 ; 7]. Nombres réels x Intervalles Représentation a a≤x≤b b [a;b] 0 1 a a<x≤b b ]a;b] 0 1 a a≤x<b b [a;b[ 0 1 a a<x<b b ]a;b[ 0 [ a ; +∞ [ 1 a x≥a 0 ∞ désigne l’infini 1 a x>a ] a ; +∞ [ 0 1 b x≤b ] -∞ ; b ] 0 1 b x<b ] -∞ ; b [ 0 1 Remarque :L’ensemble des nombres réels Ë est un intervalle qui peut se noter ] -∞ ; +∞[. Exemple : L’ensemble de tous les nombres réels x tels que x < 7 se note ] - ∞ ; 7 [ et peut se représenter comme cidessous : 7 . 0 3 2nde 5 Sept 12 année 2012-2013 2) Intersections et unions d’intervalles Définitions L'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments qui appartiennent aux deux ensembles c’est à dire à A et à B et se note A B. La réunion de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments qui appartiennent à au moins l’un des deux ensembles c'est-à-dire à A ou à B et se note A B. Méthode : Déterminer l’intersection et la réunion d’intervalles Dans les cas suivants, déterminer l'intersection et la réunion des intervalles I et J : 1) I =[-1 ; 3] et J = ]0 ; 4[ 2) I = ] -∞ ; -1] et J = [1 ; 4] 1) Pour visualiser les ensembles solutions, on peut représenter les intervalles I et J sur un même axe gradué. I 0 1 J Les nombres de l'intersection des deux ensembles sont les nombres qui appartiennent à la fois aux deux ensembles. Il s’agit donc de la zone de l’axe gradué où les deux ensembles se superposent. Ainsi I J = ]0 ; 3]. I 0 J 1 Les nombres de la réunion des deux ensembles sont les nombres qui appartiennent au moins à l'un des deux ensembles. Il s’agit donc de la zone de l’axe gradué marquée soit par l’intervalle I soit par l’intervalle J. Ainsi I J = [-1 ; 4[. I 0 J 1 2) I 0 1 J I J = , car les ensembles I et J n’ont pas aucun nombre en commun. I J = ] -∞ ; -1] [1 ; 4] on ne peut réduire l écriture 4