Principe du Fonctionnement d`un GPS

Principe du Fonctionnement d'un GPS
Correction du sujet de Physique (Baccalauréat 2013) / ENSG (IGN)
N
E
1
Avant-propos
Ce document propose une correction du sujet de sciences physiques proposés aux élèves de
série S lors de l'édition 2013 du baccalauréat.
Avant de débuter, revenons sur le titre du sujet.
S
G
On appelle GPS le système global de positionnement par satellites (GNSS) développé
par les États-Unis depuis les années 1970. Il existe d'autres GNSS : Glonass (URSS puis
Russie), qui est opérationnel, Galileo (UE) et Beidou (Chine), en cours de déploiement.
On appelle géonavigateur un instrument capable de recevoir et d'analyser les données
d'une constellation GNSS an de fournir à un utilisateur une position.
Principe de fonctionnement
-
En toute rigueur, le titre de ce sujet devrait donc être :
d'un géonavigateur.
Correction
1. À propos de la localisation
D
2
P
Pour cette première question, il sut de déterminer l'échelle de la carte : environ 1 cm
pour 100 km. On cherche donc le cercle de rayon 2,4 cm autour de Lyon et 3,4 cm autour
de Nancy.
S
2. Étude du mouvement d'un satellite
T
La ville recherchée est Bourges.
On utilise pour cette question un repère de Frenet dont l'origine coïncide avec la
position du satellite, le premier vecteur, ~t est tangent à la trajectoire, le second vecteur, ~n,
est selon la droite reliant le centre des masses du satellite à celui de la Terre et est orienté
en direction de la Terre. Bien sûr, ces deux vecteurs sont orthogonaux.
2.1.
On suppose que la seule force s'appliquant sur le satellite est la force d'attraction exercée
1
par la Terre et on applique le Principe Fondamental de la Dynamique sur le satellite :
m~a = F~
On sait que F~ s'exprime sous la forme :
mMT
F~ = G
~n
R2
N
E
Où R = RT + h est la distance séparant le centre des masses de la Terre à celui du satellite.
Le vecteur accélération s'exprime alors sous la forme :
~a = G
MT
~n
R2
L'accélération est donc centripète, parallèle au rayon vecteur Terre - Satellite.
S
De plus, le mouvement est circulaire : le vecteur accélération s'exprime donc sous la forme
suivante dans le repère de Frenet lié au satellite :
G
~a =
v2
dv
~n + ~t
R
dt
Par identication dans les deux relations précédentes, on trouve donc :
-
dv
=0
dt
La norme du vecteur vitesse est donc constante : le mouvement est bien uniforme.
2.2.
P
D
Remarque : En réalité, la trajectoire des satellites GPS est plus proche d'une ellipse de
très faible excentricité. La trajectoire n'est pas exactement plane en raison des autres forces
perturbatrices agissant sur le satellite.
Le mouvement étant uniforme, l'accélération devient :
m
On retrouve donc :
v=
v2
mMT
=G
R
R2
G · MT
≈ 3, 9 × 103 m·s−1
RT + h
2
S
D'où :
v2
R
T
a=
Durant une période, le satellite réalise une révolution complète, soit une distance D
donnée par
2.3.
D = 2π(RT + h)
Cette révolution étant eectuée à la vitesse v , la période T est donnée par :
D
2π(RT + h)
=
≈ 42 626 s ≈ 11 h 50 min 26 s
v
v
T =
N
E
Ceci est cohérent avec l'énoncé qui annonce deux révolutions par jour autour de la Terre.
Remarque : La documentation ocielle du système GPS donne une période de révolution
de 11 h 57 min 58 s. Les écarts sont liés aux hypothèses concernant l'orbite du satellite.
3. Précision des mesures
S
D'après l'énoncé la vitesse de la lumière est de c = 3 × 108 m·s−1 . La précision sur
la position est de l'ordre de 10 m. Or, vitesse et distance sont reliées par la formule :
3.1.
G
∆Lprec. = c × ∆tprec
Où ∆L
prec.
est la précision sur la longueur du trajet, ∆tprec la précision sur la durée.
On en déduit la valeur de la précision de la mesure du trajet :
-
10
∆Lprec.
=
≈ 33 ns
c
3 × 108
∆tprec. =
D
Soit environ 30 ns.
Soit :
20 000 × 103
∆L
=
≈ 67 ms
c
3 × 108
S
∆tprop. =
T
∆L = c × ∆tprop.
P
D'après l'énoncé, l'altitude moyenne des satellites GPS est de 20 000 km. La durée
nécessaire au signal pour se propager sur cette distance est donnée par :
3.2.
Remarque : cette quantité est en réalité variable, elle dépend de l'élévation du satellite
au-dessus de l'horizon.
La précision relative, σ
rel.
est alors :
σrel. =
33, 3 × 10−9
≈ 5, 0 × 10−5 %
67 × 10−3
3
D'après le document, au bout d'une journée, le décalage entre les horloges terrestres
et satellites est de 38 µs.
3.3.
Une simple règle de 3 permet de déduire la durée nécessaire pour que les horloges soient
signicativement désynchronisées :
∆tdésynchro. =
30 × 10−9 · 24 · 3600
≈ 68 s
38 × 10−6
N
E
4. Étude du signal GPS
La taille du signal est d'environ 4,5 Ko soit 36 864 bits . À un débit de 50 bits·s−1 ,
la durée nécessaire à l'envoi de l'intégrité du signal est donnée par :
1
4.1.
S
∆tmessage =
36864
≈ 737 s = 12 min 17 s
50
G
En pratique, le récepteur mémorise les paramètres issus de son dernier positionnement ; il
peut ainsi, dans certaines conditions, se positionner rapidement sans avoir reçu l'intégralité
du message.
-
Remarques :
1. En cas de non fonctionnement durant une longue période, il est nécessaire de recevoir
l'ensemble du message (et ainsi attendre plus de 12 min) pour accéder au positionnement.
2. En réalité, la taille du signal envoyé est de 37 500 bits (25 trames de 1500 bits) soit
environ 4,6 Ko.
P
Le code superposé est :
D
4.2.
1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1
S
T
1. 1 Ko = 1024 o et 1 o = 8 bits
4