Université catholique de Louvain PHY1222 : Mécanique quantique

Université catholique de Louvain
Faculté des Sciences
Département de Physique
PHY1222 : Mécanique quantique
Exercices
Prof. Fabio Maltoni
Rikkert Frederix
Janvier 2007
Table des matières
1 Le monde microscopique
1
1.1
Ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Nature corpusculaire de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2.1
Relation d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2.2
Effet photoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.3
Bremsstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.4
Effet Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.5
Désintégration du pion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Relation de de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
2 Les principes de la mécanique quantique
4
3 L’équation de Schrödinger
5
3.1
Opérateurs position et impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.2
États stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.2.1
Puits de potentiel infini
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.2.2
Marches, puits et barrières de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.2.3
Oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Principe de superposition linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.3
4 Les relations d’incertitude
10
4.1
Commutateurs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2
Relations d’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3
Temps de vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Le moment angulaire orbital
11
5.1
Opérateurs, états propres et valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.2
Oscillateur harmonique à deux et trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . 12
5.3
Expérience de Stern-Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6 Une application : la supraconductivité
13
1
1
1.1
Le monde microscopique
Ordres de grandeur
1. Calculez le rapport entre la force gravitationnelle et le force électromagnétique pour
un système constitué de deux électrons.
2. Le réseau cubique d’un cristal de chlorure de sodium est constitué d’ions N a+ et Cl−
(Fig. 1). Connaissant les masses molaires du sodium et du chlore (respectivement
22.95 et 35.5 g), ainsi que la densité de ce sel (2.164 g/cm3 ), calculez la distance
entre les ions N a+ et Cl− .
Fig. 1 – Cristal de chlorure de sodium.
1.2
1.2.1
Nature corpusculaire de la lumière
Relation d’Einstein
3. Déterminez les énergies (en J et en eV ) de photons de longueurs d’onde 1 km, 7000
A◦ , 3500 A◦ et 1 f m.
4. A 5000 A◦ , le seuil de sensibilité de l’oeil est de 10−18 W . Déterminez le nombre
minimal de photons qu’il peut détecter chaque seconde.
5. Un laser de 1 mW émet à 5000 A◦ . Déterminez le nombre de photons émis par
seconde.
1
1.2 Nature corpusculaire de la lumière
1.2.2
2
Effet photoélectrique
6. En éclairant une plaque de potassium par des rayons ultraviolets de longueur d’onde
2500 A◦ , on peut arracher des électrons d’énergie cinétique maximale 2.75 eV .
Déterminez le travail et la fréquence de seuil du potassium.
7. Le baryum a son seuil photoélectrique à 4950 A◦ . Déterminez l’énergie cinétique
maximale des électrons arrachés par des ultraviolets de 3000 A◦ .
8. A partir des données expérimentales présentées ci-dessous, montrez comment on
peut déterminer la constante de Planck.
Longueur d’onde des photons (A◦ )
2536 2830 3039 3302 3663 4358
Énergie cinétique des électrons (eV ) 2.6 2.11 1.81 1.47 1.10 0.57
9. In a photoelectric experiment in which monochromatic light of wavelength λ falls on
a potassium surface, it is found that the stopping potential is 1.91 V for λ = 3000
A◦ and 0.88 V for λ = 4000 A◦ .
From these data, calculate :
(a) a value for Planck’s constant,
(b) the work function W for potassium,
(c) the threshold frequency νt for potassium.
10. A beam of ultraviolet light of intensity 1.6 10−12 W is suddenly turned on and falls
on a metal surface, ejecting electrons through the photoelectric effect. The beam
has a cross-sectional area of 1 cm2 , and the wavelength corresponds to a photon
energy of 10 eV . The work function of the metal is 5 eV . How soon might one
expect photoelectric emission to occur ?
(a) A classical estimate can be based on the time needed for the work-function
energy to be accumulated over the area of one atom (radius ≈ 1 A◦ ). Calculate
how long this would be, assuming the energy of the light beam to be uniformly
distributed over its cross section.
(b) Actually, as Lord Rayleigh showed, the estimate from (a) is too pessimistic.
An atom can present an effective area of about λ2 to light of wavelength λ
corresponding to its resonant frequency. Calculate a classical delay time on
this basis.
(c) On the quantum picture of the process, it is possible for electron emission to
begin immediately - as soon as the first photon strikes the emitting surface.
But to obtain a time that may be compare to the classical estimates, calculate
the average time interval between arrival of successive 10 eV photons. This
would be the average time delay between switching on the beam and getting
the first electron.
2
1.2 Nature corpusculaire de la lumière
1.2.3
3
Bremsstrahlung
11. A continuous spectrum of X-rays is often produced using a tube in which electrons
accelerated through a large potentiel difference V0 strike an anode made of a heavy
metal. As shown in Fig. 2 the resulting continuous x-rays spectrum has a sharp
cutoff : below a certain wavelength λ0 , no radiation is produced. For V0 = 40 kV ,
calculate the value of λ0 .
Fig. 2 – (a) Bremsstrahlung spectra produced by electrons of various energies striking a
metal target. Each spectrum exhibits an abrupt cutoff at some minimum wavelength λm .
(b) The maximum frequency of emission, corresponding to the minimum wavelength λm ,
is proportional to the accelerating voltage V0 .
1.2.4
Effet Compton
12. Des rayons gamma sont envoyés sur une plaque où ils subissent l’effet Compton. En
fonction de l’énergie initiale E et de l’angle de diffusion θ, calculez :
(a) l’énergie finale des photons ;
(b) l’énergie cinétique finale des électrons ;
(c) la variation de la longueur d’onde des photons.
1.2.5
Désintégration du pion
13. Un π 0 d’impulsion p~ se désintègre en deux photons. Donnez le spectre d’énergie des
photons dans le repère au repos et dans le repère du labo, et déterminez le lien entre
les angles d’émission des photons dans chacun des deux repères.
3
1.3 Relation de de Broglie
1.3
4
Relation de de Broglie
14. On désire étudier un virus de 200 A◦ de diamètre. Ne pouvant pas l’observer
au microscope optique (pourquoi ?), on décide de travailler avec un microscope
électronique (pourquoi ?). Sachant que l’image sera bonne si la longueur d’onde
associée aux électrons est 1000 fois plus petite que la taille du virus, calculez
la différence de potentiel à appliquer dans le microscope pour accélérer ceux-ci.
Considérez d’abord des électrons classiques, puis relativistes.
15. En étudiant la diffusion d’électrons par un cristal grâce au dispositif expérimental esquissé ci-dessous (Fig. 3), Davisson et Germer ont observé une interférence constructive pour un angle φ de 50◦ . Sachant que la distance D entre deux atomes du cristal est de 2.15A◦ , déterminez la différence de potentiel utilisée pour accélérer les
électrons.
Fig. 3 – Expérience de Davisson et Germer.
2
Les principes de la mécanique quantique
16. Soit une particule libre de masse m.
(a) Montrez que la trajectoire classique de la particule minimise son action.
(b) Déterminez la trajectoire classique xcl (t) pour des conditions aux frontières
arbitraires xcl (ta ) = xa , xcl (tb ) = xb , et évaluez l’action classique S[xcl ].
(c) Montrez que l’amplitude A(xb , tb ; xa , ta ) que la particule se trouve en xb au
temps tb sachant qu’elle se trouvait en xa au temps ta peut s’écrire sous la
forme
i
A(xb , tb ; xa , ta ) = f (tb , ta ) e h̄ S[xcl ] ,
où f est une fonction inconnue.
4
5
17. On étudie la diffusion sur un cristal de neutrons mono-énergétiques dont la quantité
de mouvement est suffisamment élevée pour que la longueur d’onde associée soit
inférieure à la distance interatomique. Les neutrons ont un spin (moment angulaire
intrinsèque), et peuvent se trouver soit dans un état de spin UP, soit dans un état
de spin DOWN. On suppose que les noyaux du cristal possèdent la même propriété.
Dès lors, si l’interaction d’un neutron avec un noyau préserve (renverse) le spin du
neutron, par conservation du moment angulaire, elle préserve (renverse) aussi le spin
du noyau.
On considère un faisceau de neutrons se trouvant tous dans l’état UP. Si on analyse
les neutrons sortant, on peut observer que certains sont dans l’état de spin UP,
d’autres dans l’état de spin DOWN. Les UP sont réfléchis dans des directions correspondant aux angles de réflexion de Bragg. Les DOWN sont diffusés dans toutes
les directions. Expliquez ce fait expérimental.
3
3.1
L’équation de Schrödinger
Opérateurs position et impulsion
18. Montrez que les valeurs moyennes des opérateurs position x̂ et impulsion p̂ obéissent
aux relations
d
m < x̂ > = < p̂ >
dt
et
d
d
< p̂ > = − <
V (x̂) > .
dt
dx
3.2
3.2.1
États stationnaires
Puits de potentiel infini
19. Une particule libre de masse m est confinée dans un puits de potentiel infini (Fig.
4) de longueur L. Elle est décrite par la fonction d’onde
ψn (x, t) =
0
x
= An sin(nπ L ) exp(− h̄i En t)
=
0
avec
En =
h̄2 n2 π 2
2mL2
(x ≤ 0)
(0 ≤ x ≤ L)
(x ≥ L)
n = 1, 2, 3, . . .
(a) Montrez que ψn (x, t) vérifie l’équation de Schrödinger.
5
3.2 États stationnaires
6
(b) Déterminez An .
(c) Évaluez ρ(x, t) et J(x, t).
(d) Évaluez < x̂ >, < p̂ > et < Ĥ >.
(e) Évaluez (∆x̂)2 , (∆p̂)2 et (∆Ĥ)2 .
(f) Vérifiez que (∆x̂)(∆p̂) ≥ 21 h̄.
20. Une particule de masse 5 g est enfermée dans une boı̂te de longueur 5 cm. Déterminez
l’énergie minimale de cette particule.
Même question pour un électron dans un espace de 2 A◦ .
V
0
0
L
x
Fig. 4 – Puits de potentiel infini.
3.2.2
Marches, puits et barrières de potentiel
21. The boundary between the interior of a metal and the air may be modeled by a
rectangular potential step (Fig. 5). The height V0 of the potential step exceeds the
energy E of the most energetic conduction electrons.
(a) Find the form of the wave function of these electrons outside the metal.
(b) Find the form of the function that describes the probability density of finding
these electrons at a given distance outside the metal.
(c) For E = 2 eV and V0 = 7 eV , estimate the distance outside the metal at which
the probability density function drops to the fraction 1/1000 of that just inside
the metal.
22. Un faisceau d’électrons venant de la gauche rencontre en x = 0 une marche de
potentiel (Fig. 5) de hauteur V0 = 3 eV . Pour les énergies E = 1 et 4 eV , évaluez les
coefficients de réflexion et de transmission et déterminez le déphasage des électrons
réfléchis.
6
3.2 États stationnaires
7
V
V0
0
0
x
Fig. 5 – Marche de potentiel
23. Un faisceau d’électrons d’énergie E = 2 eV venant de la gauche rencontre en x = 0
un puits de potentiel (Fig. 6) de profondeur V0 = 1 eV et de longueur L. Trouvez la
forme du coefficient de transmission et déterminez les valeurs de L pour lesquelles
on observe un effet de résonnance ou de transparence.
V
0
−V0
0
L
x
Fig. 6 – Puits de potentiel
24. Proton and deuteron beams, each with kinetic energy of E = 4 M eV , are incident
on a rectangular barrier (Fig. 7) of height V0 = 10 M eV and thickness L = 10−12
cm. From general physical principles, predict which type of particule has the greater
probability of penetrating the barrier. Evaluate the transmission coefficient of each
beam and verify your prediction.
7
3.2 États stationnaires
8
V
V0
0
0
L
x
Fig. 7 – Barrière de potentiel
3.2.3
Oscillateur harmonique
25. Soit un oscillateur harmonique de masse m et de fréquence angulaire ω. Si l’on pose
1
a = (h̄/mω) 2 , la fonction d’onde du n-ième état excité peut s’écrire
1 x 2
i
ψn (x, t) = φn (x)e− h̄ En t ,
φn (x) = Cn Hn (x/a) e− 2 ( a ) ,
avec
√
1
Cn = ( π 2n n!a)− 2 ,
1
2
Hn (x) = e 2 x (x −
d n − 1 x2
) e 2 ,
dx
1
En = h̄ω(n + ).
2
Donnez la forme explicite de ψ0 , ψ1 et ψ2 , et vérifiez la normalisation de ψ0 et ψ1 .
26. Un oscillateur harmonique de masse m et de fréquence angulaire ω se trouve dans
son état fondamental.
(a) Évaluez < x̂ >, < p̂ >, (∆x̂)2 et (∆p̂)2 .
(b) Montrez que la relation d’incertitude (∆x̂)(∆p̂) ≥ 12 h̄ est saturée.
(c) Montrez que la partie spatiale de la fonction d’onde du système peut s’écrire
sous la forme
φ0 (x) = 2π(∆x̂)
1
2 −4
(x − hx̂i)2 ihp̂ix
exp −
+
.
4(∆x̂)2
h̄
!
27. Using the normalized wave function for the ground state of the one-dimensional
simple harmonic oscillator, calculate the probability that an observation of position
will detect the particle in the classically forbidden region. Your result will be in the
form of a well-known integral that cannot be solved in closed form, look up the
numerical result in a table of the error function.
8
3.3 Principe de superposition linéaire
3.3
9
Principe de superposition linéaire
28. Une particule de masse m dans un puits de potentiel infini de longueur L se trouve
à l’instant t = 0 dans l’état
2πx
πx
)).
ψ(x, 0) = A (2 sin( ) + sin(
L
L
(a) Déterminez la constante de normalisation A.
(b) Trouvez la forme de la fonction d’onde ψ(x, t) du système à l’instant t.
(c) Indiquez les résultats possibles d’une mesure de l’énergie du système, donnez
la distribution de probabilité de ces résultats, et calculez leur moyenne et leur
écart-type.
29. Un oscillateur harmonique de masse m et de fréquence angulaire ω se trouve à
l’instant t = 0 dans l’état
ψ(x, 0) = A
∞
X
n
2− 2 φn (x),
n=0
où les φn (x) désignent les états propres normalisés de l’hamiltonien du système.
(a) Déterminez la constante de normalisation A.
(b) Trouvez la forme de la fonction d’onde ψ(x, t) du système à l’instant t.
(c) Montrez que la densité de probabilité |ψ(x, t)|2 est une fonction périodique du
temps et déterminez sa plus petite période.
(d) Indiquez les résultats possibles d’une mesure de l’énergie du système, donnez
la distribution de probabilité de ces résultats, et calculez leur moyenne.
(e) Si le résultat d’une mesure de l’énergie donne 21 h̄ω, trouvez la forme de la
fonction d’onde du système juste après celle-ci.
Vous pouvez utiliser l’identité
∞
X
(a + nb)q n =
n=0
a
bq
+
.
1 − q (1 − q)2
30. Une particule libre de masse m se trouve à l’instant t = 0 dans l’état
ψ(x, 0) =
− 1
2π(∆x̂)20 4
(x − hx̂i0 )2 ihp̂i0 x
exp −
+
.
4(∆x̂)20
h̄
!
(a) Trouvez la forme de la fonction d’onde ψ(x, t) du système à l’instant t.
(b) Évaluez < x̂ >t , < p̂ >t , (∆x̂)2t et (∆p̂)2t , et vérifiez que (∆x̂)t (∆p̂)t ≥ 12 h̄.
(c) Indiquez les résultats possibles d’une mesure de l’énergie du système, donnez
la distribution de probabilité de ces résultats, et calculez leur moyenne.
31. Une particule libre de masse m se trouve au point x0 à l’instant t0 .
(a) Trouvez la forme de la fonction d’onde A(x, t; x0 , t0 ) du système à l’instant t.
(b) Comparez le résultat à celui de l’exercice (16).
9
10
4
4.1
Les relations d’incertitude
Commutateurs
32. Si Â, B̂ et Ĉ sont des opérateurs, démontrez les relations
[Â, Â] = 0,
[Â, B̂] = −[B̂, Â],
[Â, B̂ + Ĉ] = [Â, B̂] + [Â, Ĉ],
[Â + B̂, Ĉ] = [Â, Ĉ] + [B̂, Ĉ],
[Â, B̂ Ĉ] = [Â, B̂]Ĉ + B̂[Â, Ĉ],
[ÂB̂, Ĉ] = [Â, Ĉ]B̂ + Â[B̂, Ĉ],
et
[[Â, B̂], Ĉ] + [[B̂, Ĉ], Â] + [[Ĉ, Â], B̂] = 0.
33. Si  et B̂ sont des opérateurs qui commutent avec leur commutateur, démontrez les
relations
[Â, B̂ n ] = nB̂ n−1 [Â, B̂]
et
[Ân , B̂] = nÂn−1 [Â, B̂].
34. Si  et B̂ sont des opérateurs, démontrez les relations de Baker-Campbell-Haussdorf
e B̂e− = B̂ + [Â, B̂] +
1
1
[Â, [Â, B̂]] + [Â, [Â, [Â, B̂]]] + . . .
2!
3!
et
1
1
e eB̂ e− = eB̂+[Â,B̂]+ 2! [Â,[Â,B̂]]+ 3! [Â,[Â,[Â,B̂]]]+....
35. Si  et B̂ sont des opérateurs qui commutent avec leur commutateur, démontrez la
relation
1
e eB̂ = eÂ+B̂+ 2 [Â,B̂] .
36. Évaluez le commutateur [x̂, p̂] des opérateurs position x̂ et impulsion p̂. Évaluez
ensuite [x̂, f (p̂)] et [p̂, g(x̂)], où f et g sont des fonctions “raisonnables”.
4.2
Relations d’incertitude
37. Déterminez l’incertitude minimale sur la position d’une bille de 1 mg qui roule à la
vitesse de 2 ms−1 si sa quantité de mouvement est mesurée au millième.
Même question pour un électron accéléré par une différence de potentiel de 50 V .
38. Un faisceau d’électrons de 1 eV arrive perpendiculairement sur un écran dans lequel
se trouve une fente de 10−3 mm de largeur. Si les relations d’incertitude de Heisenberg sont saturées au niveau de la fente, déterminez la largeur du faisceau un mètre
derrière l’écran.
39. Énoncez les relations d’incertitude position-énergie et impulsion-énergie pour une
particule de masse m dans un potentiel V (x).
10
4.3 Temps de vie
4.3
11
Temps de vie
40. Le boson de jauge Z0 a une masse de 91.188 GeV et une largeur de 2.495 GeV .
Évaluez le temps de vie de cette particule.
5
5.1
Le moment angulaire orbital
Opérateurs, états propres et valeurs propres
41. On considère l’opérateur de moment angulaire orbital
L̂ = x̂p̂y − ŷp̂x
à deux dimensions.
(a) Exprimez L̂ dans les coordonnées polaires (r, φ).
(b) Déterminez les états propres et les valeurs propres de L̂.
42. On définit les harmoniques sphériques
|m|
Ylm (θ, φ) = Nlm Pl (cos θ) eimφ
avec
|m|
Pl (x) =
et
(l = 0, 1, . . . ; m = −l, . . . , l),
l+|m| |m|
1
2
l
2 2 d
(x
−
1)
(1
−
x
)
2l l!
dxl+|m|
Nlm = (−1)
m+|m|
2
2l + 1 (l − |m|)!
4π (l + |m|)!
!1/2
.
(a) Montrez que Yl−m (θ, φ) = (−1)m Ylm (θ, φ)∗ .
(b) Donnez la forme explicite des harmoniques sphériques jusqu’à l’ordre l = 2.
(c) Vérifiez la normalisation des harmoniques sphériques jusqu’à l’ordre l = 2.
43. On considère les opérateurs de moment angulaire orbital
et
L̂x = ŷp̂z − ẑ p̂y ,
L̂y = ẑ p̂x − x̂p̂z ,
L̂z = x̂p̂y − ŷp̂x
L̂2 = L̂2x + L̂2y + L̂2z
à trois dimensions.
(a) Évaluez les commutateurs de L̂x , L̂y , L̂z et L̂2 , et énoncez les relations d’incertitude liées à la mesure expérimentale de L̂x , L̂y et L̂z .
(b) Exprimez L̂x , L̂y , L̂z et L̂2 dans les coordonnées sphériques (r, θ, φ).
(c) Montrez que les harmoniques sphériques Ylm (θ, φ) définissent des états propres
simultanés de L̂2 et L̂z jusqu’à l’ordre l = 2.
44. Un quarante-cinq tours de 17.5 cm de diamètre pèse 50 g. Calculez son moment
angulaire orbital en unités h̄.
11
5.2 Oscillateur harmonique à deux et trois dimensions
5.2
12
Oscillateur harmonique à deux et trois dimensions
45. Soit un oscillateur harmonique de masse m et de fréquence angulaire ω à deux
dimensions. Le système admet une base d’états propres
φn1 n2 (x, y) = φn1 (x)φn2 (y),
E n1 n2 = E n1 + E n2 ,
où les φn (x) et En désignent les états et énergies propres de l’oscillateur harmonique
de même masse et fréquence angulaire à une dimension.
(a) Montrez que l’opérateur L̂ commute avec l’hamiltonien Ĥ.
(b) Décomposez les états des trois premiers niveaux d’énergie en états propres de
l’opérateur L̂.
(c) Si le système se trouve dans l’état
1
i
1
φ = √ φ10 − √ φ01 + √ φ11 ,
3
3
3
calculez < Ĥ > et < L̂ >.
46. Soit un oscillateur harmonique de masse m et de fréquence angulaire ω à trois
dimensions. Le système admet une base d’états propres
φn1 n2 n3 (x, y, z) = φn1 (x)φn2 (y)φn3 (z),
E n1 n2 n3 = E n1 + E n2 + E n3 ,
où les φn (x) et En désignent les états et énergies propres de l’oscillateur harmonique
de même masse et fréquence angulaire à une dimension.
(a) Montrez que les opérateurs L̂2 et L̂z commutent avec l’hamiltonien Ĥ.
(b) Décomposez les états des deux premiers niveaux d’énergie en états propres
simultanés des opérateurs L̂2 et L̂z .
(c) Si le système se trouve dans l’état
i
2
i
φ = √ φ100 − √ φ010 + √ φ001 ,
6
6
6
calculez < Ĥ >, < L̂2 > et < L̂z >.
5.3
Expérience de Stern-Gerlach
47. A l’aide des données expérimentales
1
M v2
2
∂Bz
∂z
d
D
z1 + z 2
de l’expérience de Stern-Gerlach (Fig. 8)
= 3.4 10−2 eV,
= 1 T cm−1 ,
= 12.5 cm,
= 50 cm,
= 0.185 cm,
12
13
estimez la valeur du moment magnétique µz de l’atome de Césium.
Fig. 8 – Expérience de Stern-Gerlach
48. Dans une expérience de type Stern-Gerlach, on envoie un faisceau de particules à
travers un champ magnétique parallèle à l’axe x. Si les particules incidentes sont
décrites par une fonction d’onde de la forme ψin (x, y, z) = y 2 f (r), déterminez le
nombre de faisceaux sortants et leur importance respective.
6
Une application : la supraconductivité
Lorsqu’on les refroidit suffisamment, certains matériaux deviennent supraconducteurs. Ils présentent d’une part une résistance nulle au passage d’un courant électrique,
et ne se laissent d’autre part pas pénétrer par un champ magnétique. Ce second fait
expérimental, appelé effet Meissner, est au centre des exercices proposés.
En 1957, Bardeen, Cooper et Schieffer proposèrent une théorie microscopique de la
supraconductivité. Elle montre qu’en-dessous d’une certaine température critique,
les électrons libres du matériau s’apparient pour former des paires de Cooper. Ces
paires, de spin nul, obéissent à la statistique de Bose-Einstein et peuvent donc
se trouver dans un même état quantique. Elles sont ainsi capables de former un
supercourant générant un champ magnétique qui s’oppose exactement au champ
magnétique extérieur. C’est l’origine de l’effet Meissner.
49. Paires de Cooper dans un champ magnétique. On considère un matériau supracon~ =∇
~ ×A
~ indépendant du temps. On
ducteur plongé dans un champ magnétique B
peut décrire la dynamique d’une paire de Cooper dans le matériau de la même façon
que celle d’une particule ponctuelle. La charge q de la paire correspond à deux fois
celle de l’électron, tandis que sa masse effective m prend en compte les interactions
avec le réseau cristallin et les autres paires.
(a) Vérifiez que les équations du mouvement classiques de la paire de Cooper
¨ = q~x˙ × B
~
m~x
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dérivent du lagrangien
2
1
~ x) · ~x˙ .
L(~x, ~x˙ ) = m~x˙ + q A(~
2
(b) Montrez que l’hamiltonien classique de la paire peut s’écrire
H(~x, p~) =
1 ~ x) 2 .
p~ − q A(~
2m
(c) Montrez que l’équation de Schrödinger qui décrit la dynamique quantique de
la paire de Cooper prend la forme
ih̄
∂
1 ~ − q A(~
~ x) 2 ψ(~x, t).
− ih̄∇
ψ(~x, t) =
∂t
2m
(d) Montrez que le courant de probabilité associé à cette équation est
h
i
~ − q A(~
~ x) ψ(~x, t) + ψ(~x, t) ih̄∇
~ − q A(~
~ x) ψ ∗ (~x, t) .
~ x, t) = 1 ψ ∗ (~x, t) − ih̄∇
J(~
2m
50. Supercourant. Pour décrire un grand nombre N de paires de Cooper dans un même
état quantique ψ(~x, t), on définit une fonction d’onde macroscopique
Ψ(~x, t) =
q
qN ψ(~x, t)
qui satisfait à la même équation.
~ x, t)
(a) Donnez l’interprétation physique de la densité ρ(~x, t) et du courant J(~
associés à Ψ(~x, t).
(b) Si l’on pose
q
Ψ(~x, t) = ρ(~x, t) eiθ(~x,t) ,
montrez que le courant associé s’écrit
ρ(~x, t) ~
~ x) .
h̄∇θ(~x, t) − q A(~
J~(~x, t) =
m
~ x, t) que vous venez de
51. Effet Meissner. En couplant l’expression du courant J(~
déduire aux équations de Maxwell
~ ×B
~ = µ0 J,
~
∇
~ ·B
~ = 0,
∇
pour une densité ρ constante, expliquez l’effet Meissner.
52. Quantification du flux magnétique. Soit un anneau supraconducteur. En intégrant
~ x, t) que vous venez de déduire sur un contour fermé à
l’expression du courant J(~
l’intérieur de l’anneau, toujours pour une densité ρ constante, montrez que le flux
magnétique à travers l’anneau est quantifié.
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RÉFÉRENCES
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Références
[1] A.P. French and E.F. Taylor, An Introduction to Quantum Physics, Chapman and
Hall, London, 1995.
[2] Ch. Ngô and H. Ngô, Physique quantique, introduction, Masson, Paris, 1995.
[3] S. Brandt and H.D. Dahmen, The picture book of Quantum Mechanics, John Wiley
and Sons, New York, 1985.
[4] I.I. Gol’dman, V.D. Krivchenkov, V.I. Kogan and V.M. Galitskii, Problems in quantum mechanics, Cleaver-Hume Press LTD, London, 1960.
[5] R.P. Feynman and A.R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, McGrawHill, 1965.
[6] R. Eisberg and R. Resnick, Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei
and Particles, John Wiley and Sons, New York, 1974.
[7] R.A. Millikan, The Electron, University of Chicago Press, Chicago, 1963.
[8] L. Marinelli, A Survey on Macroscopic Quantum Phenomena in Superconducting
Devices, FERMILAB-FN-606, 1993.
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