Mécanique Quantique Sujets de TD TD 1 : TD 2 : TD 3 : TD 4 : TD 5 : TD 6 : TD 7 : TD 8 : Evolution d’un paquet d’onde libre Effet tunnel Interaction proton-neutron Opérateurs et commutateurs Ordre des mesures – Mesure d’énergie Oscillation de Rabi Etats quasi-classiques Oscillation de Rabi du vide Cursus/option : 1ème année Date de mise à jour : 17 novemre 2015 Année scolaire : 2015/2016 18 novembre 20 novembre 25 / 26 novembre 27 novembre 9 / 10 décembre 17 / 18 décembre 4 / 5 / 6 janvier 7 janvier Auteur : Gaétan Messin Institut d’Optique Graduate School Mécanique Quantique 1A Mercredi 18 novembre 2015 TD de Mécanique Quantique n˚1 Evolution d’un paquet d’ondes libre (Examen 2011) On considère le mouvement à une dimension suivant un axe (Ox) d’une particule libre de masse m. On notera ψ(x, t) la fonction d’onde associée à l’état de cette particule à l’instant t et ϕ(p, t) sa transformée de Fourier définie par : Z +∞ 1 ψ(x, t)e−ipx/h̄ dx . ϕ(p, t) = √ 2πh̄ −∞ On notera hxi, hpi, (∆x)2 , (∆p)2 les moyennes et variances respectives de la position et de l’impulsion de la particule à l’instant t. On notera x0 , p0 , (∆x0 )2 , et (∆p0 )2 ces quantités prises pour t = 0. De même, on notera simplement ψo (x) et ϕo (p) les fonctions ψ(x, t) et ϕ(p, t) prises pour t = 0. 1. Rappeler l’équation différentielle à laquelle obéit la fonction d’onde ψ(x, t). 2. En déduire l’équation correspondante portant sur sa transformée de Fourier ϕ(p, t). 3. Etablir l’expression de ϕ(p, t) en fonction de ϕo (p) en résolvant l’équation précédente. 4. Exprimer hpi et (∆p)2 en fonction de leur valeur p0 et (∆p0 )2 à l’instant t = 0. 5. Exprimer la transformée de Fourier de xψ(x, t) en fonction de ϕo (p). 6. Utiliser le théorème de Parseval-Plancherel1 pour exprimer hxi à l’aide de la fonction ϕo (p). 1 Etant données deux fonctions ψ1 (x) et ψ2 (x) et leurs transformées de Fourier ϕ1 (p) et ϕ2 (p), le théorème de Parseval-Plancherel établit l’égalité : Z +∞ Z +∞ ∗ ψ1 (x)ψ2 (x)dx = ϕ1 ∗ (p)ϕ2 (p)dp −∞ −∞ 1 7. En déduire une expression de hxi en fonction de x0 et p0 . Interpréter. 8. Ecrire l’expression de hx2 i et montrer que (∆x)2 est un polynôme du second degré en t. 9. Si l’on choisit l’origine des temps de sorte que ce polynôme atteigne son extremum à l’instant t = 0, que devient l’expression de (∆x)2 ? Interpréter. 10. Calculer le temps d’étalement du paquet d’onde correspondant à un doublement de taille pour un électron, localisé sur ∆x0 = 10−10 m, et pour une goutte d’eau de 10−3 g, localisée sur ∆x0 = 1 mm. On supposera ∆p0 .∆x0 = h̄/2. On rappelle la masse de l’électron me = 9, 1.10−31 kg et la valeur de la constante de Planck h = 6, 62.10−34 J.s. 2 Institut d’Optique Graduate School Mécanique Quantique 1A Vendredi 20 novembre 2015 TD de Mécanique Quantique n˚2 Effet tunnel 1. Écrire l’équation de Schrödinger du mouvement à une dimension d’une particule de masse m soumise à un potentiel V (x), on notera ψ(x, t) la fonction d’onde. Que peut-on en déduire sur la classe de continuité de la fonction d’onde ? 2. On cherche des solutions où la fonction d’onde est factorisée : ψ(x, t) = φ(x)ξ(t) (1) Montrer que l’équation différentielle du 1. conduit alors à deux équations 2 2 différentielles découplées, une sur φ(x), et l’autre sur ξ(t). On notera E = ~2mk la constante, homogène à une énergie, qu’il faut introduire. Donner la forme de la partie temporelle ξ(t). 3. Dans un domaine où V (x) = Vc = cste = en φ(x) dans le cas E < Vc et E > Vc . ~2 K 2 , 2m intégrer l’équation différentielle 2 2 K si 4. On considère maintenant le potentiel V (x) défini par : V (x) = U0 = ~2m −a/2 < x < a/2 et V (x) = 0 sinon. On s’intéresse au problème de franchissement de la barrière par des particules venant de x = −∞ et possédant une énergie E telle que : 0 < E < U0 . (a) Que se passe-t-il si on utilise les lois de la mécanique classique ? Que vaut le facteur de transmission T de la barrière de potentiel dans ce cas ? (b) Donner la forme générale de la fonction d’onde dans chacune des trois régions et montrer que pour ce problème, la fonction d’onde dans la région x ≥ a/2 ne comprend qu’un terme. On notera α2 = K 2 −k 2 tel que α > 0. (c) En écrivant les conditions de continuité de la fonction d’onde et de sa dérivée en x = ±a/2, déterminer le facteur de transmission t en amplitude de l’ensemble de la barrière de potentiel. (d) Montrer que le facteur de transmission T en énergie de la barrière de potentiel vaut : 1 T = 1+ α2 4k2 (1 + k2 2 ) α2 sinh2 (αa) En déduire le comportement asymptotique de T pour a ”grand” ? (e) On appelle ce phénomène l’effet tunnel. Quel est l’analogue optique ? 1 (2) (f) Ordres de grandeur. Calculer le coefficient de transmission pour une barrière de 2 eV, d’épaisseur 0.1 nm, attaquée par une particule de 1 eV, dans le cas d’un électron (m = 9.10−31 kg) puis d’un proton (m = 1, 7.10−27 kg.) 5. On envisage désormais le cas où E > U0 . Sans refaire tous les calculs, donner l’expression du facteur de transmission T . Avec quel instrument d’optique trouve-t-on une forme similaire ? Tracer T en fonction de l’épaisseur a de la barrière de potentiel. 2 Institut d’Optique Graduate School Mécanique Quantique 1A Mercredi 25, jeudi 26 novembre 2015 TD de Mécanique Quantique n˚3 Interaction proton-neutron (Examen 2011) On considère les états liés d’une particule de masse m dans le puits de potentiel défini par : V = ∞ pour x < 0 , V = −V0 pour 0 6 x 6 a , V = 0 pour x > a , avec V0 > 0. V(x) 0 a x E −V0 On écrit la fonction d’onde d’un état lié (c’est-à-dire un état d’énergie E < 0) : ψ(x) = A sin kx pour 0 6 x 6 a , ψ(x) = Be−ρx pour x > a . 1. Justifier brièvement ces formes et exprimer k et ρ en fonction de E et V0 . 2. Études des conditions de quantification : a) Écrire les conditions de continuité en x = a. b) Montrer qu’un état lié vérifie : ak cot(ak) = −aρ et a2 k 2 + a2 ρ2 = 2ma2 V0 /~2 , c) Représenter graphiquement (sommairement) ce système d’équation en posant x = ak et y = aρ, dans le premier quadrant du plan. En Déduire que les états liés sont quantifiés et que leur nombre croı̂t avec V0 . 1 d) Existe-t-il un état lié quel que soit V0 ? 3. On utilise ce modèle pour décrire l’interaction nucléaire entre un neutron et un proton. L’expérience montre qu’il n’existe qu’un seul état lié, le deutéron. En déduire que V0 est compris entre deux limites Vmin et Vmax que l’on calculera en MeV (1 MeV= 106 eV). On prendra a = 2.10−15 m = 2 fm. La masse m est la masse réduite m = (mp mn )/(mp + mn ) ' mp /2 soit mc2 ∼ 470 MeV ; on pourra utiliser ~c ' 197 MeV.fm . 4. L’énergie de liaison du deutéron est Ed = −2, 2 MeV. On peut donc utiliser le fait que |Ed | est petit par rapport à Vmin et donc par rapport à V0 pour linéariser les équations et calculer V0 . a) Montrer que : π )1, 2 en tenant compte du fait que |Ed | est petit devant V0 . tan(ka − b) En déduire que, puisqu’il n’y a qu’un seul état lié : ρa ' π π (ka − ) . 2 2 c) En tirer une estimation de V0 en fonction de ρa et calculer sa valeur en MeV. 2 Institut d’Optique Graduate School Mécanique Quantique 1A Vendredi 27 novembre 2015 TD de Mécanique Quantique n˚4 Opérateurs et commutateurs Exercice 1 1. Donner la définition d’un opérateur linéaire, du produit de deux opérateurs linéaires et du commutateur de deux opérateurs. Que vaut le commutateur [X̂, P̂ ] ? 2. Â, B̂ et Ĉ sont des opérateurs quelconques. (a) Montrer que [Â, B̂] = −[B̂, Â]. Exprimez en fonction de [Â, B̂] et [Â, Ĉ] les commutateurs suivants : [Â, B̂ + Ĉ] et [λÂ, µB̂] où λ et µ sont des nombres complexes. (b) Établir la relation [Â, B̂ Ĉ] = [Â, B̂]Ĉ + B̂[Â, Ĉ]. (c) Donner la définition d’un opérateur adjoint. Calculer (λhu|Â|vi|wihΨ|)† et [Â, B̂]† . (d) Donner la définition d’un opérateur hermitien. A quelle condition le produit de deux opérateurs hermitiens est-il hermitien ? (e) Si  et B̂ sont hermitiens, montrer que i[Â, B̂] l’est aussi. (f) Montrer que si  est hermitien, toutes ses valeurs propres sont réelles. Exercice 2 1. On considère deux opérateurs  et B̂ qui commutent avec leur commutateur. Montrer que l’on peut donner une expression explicite du commutateur [Â, B̂ n ] où n est entier. Donner de même une expression de [Ân , B̂]. 2. Soit f (z) une fonction de la variable complexe définie par la série entière +∞ +∞ X X n f (z) = an z . On définit l’opérateur f (Â) par la série f (Â) = an Ân . n=1 n=1 ~ˆ f (P~ˆ )] Montrer que [Â, f (B̂)] = f (B̂)[Â, B̂]. En déduire les expression de [X, ~ˆ P~ˆ ]. et [f (X), 0 1 Exercice 3 Un opérateur Û est unitaire si et seulement si il vérifie Û † Û = Û Û † = 1̂ On définit une transformation unitaire par l’action de Û sur un ket quelconque. 1. Montrer qu’une transformation unitaire conserve le produit scalaire. 2. Soit  un opérateur hermitien. Montrer que l’opérateur exp(iÂ) est unitaire. 3. Soient deux bases orthonormées complètes {|ui i} et {|tl i}. On définit la matrice de changement de base Ŝ par ses différents éléments matriciels : Sil = hui |tl i. Montrer que Ŝ est un opérateur unitaire. 4. Montrer que si Û est un opérateur hermitien unitaire, ses valeurs propres sont dans {−1, 1}. 2 Institut d’Optique Graduate School Mécanique Quantique 1A Meercredi 9, jeudi 10 décembre 2015 TD de Mécanique Quantique n˚5 1 Ordre des mesures On considère un système physique dans un espace des états de dimension 3. On étudie les opérateurs  et B̂ qui s’écrivent dans la base orthonormée |ν1 i, |ν2 i, |ν3 i : 1 0 0 1 0 0 (1)  = a 0 −2 0 , et B̂ = b 0 0 1 , 0 0 1 0 1 0 où a et b sont des nombres réels positifs. A l’instant t = 0, l’état du système physique est représenté par un vecteur : i 2 2 |Ψi = |ν1 i − |ν2 i + |ν3 i 3 3 3 (2) 1. Rappeler le postulat de la mesure (valeurs possibles, probabilités) dans le cas d’une base discrète et dans les deux cas : valeur propre non dégénérée et dégénérée. 2. Quels sont les valeurs propres et les vecteurs propres des opérateurs  et B̂ ? 3. Mesure de  puis de B̂. (a) On mesure d’abord Â. Quelles valeurs peut-on trouver, et avec quelles probabilités ? Quelle est la valeur moyenne hÂi = hΨ|Â|Ψi de  ? Si l’on trouve a, quel est l’état du système juste après la mesure ? (b) On mesure ensuite B̂. Quelles valeurs peut-on trouver, et avec quelles probabilités, sachant qu’on a trouvé a précédemment ? Calculer la valeur moyenne de B̂. (c) En déduire la probabilité totale d’avoir trouvé a sur  et b sur B̂. Quel est l’état du système après ces deux mesures ? 4. Mesure de B̂ puis de Â. (a) On mesure d’abord B̂. Quelles valeurs peut-on trouver, et avec quelles probabilités ? Quelle est la valeur moyenne de B̂ ? Si l’on trouve b, quel est l’état du système juste après la mesure ? (b) On mesure ensuite Â. Quelles valeurs peut-on trouver, et avec quelles probabilités, sachant qu’on a trouvé b précédemment ? Calculer la valeur moyenne de Â. (c) En déduire la probabilité totale d’avoir trouvé a sur  et b sur B̂. Quel est l’état du système après ces deux mesures ? Comparer avec la question 3c. Pouvait-on prévoir ce résultat ? 1 2 Mesure d’énergie On considère un système physique dont l’espace des états quantiques est de dimension 3. Dans une base orthonormée |u1 i, |u2 i, |u3 i de cet espace, l’hamiltonien Ĥ est représenté par la matrice : 1 1 0 Ĥ = ~ω0 1 1 0 ,où ω0 est un nombre réel positif. 0 0 0 (3) A l’instant t = 0, l’état du système est représenté par un vecteur : 1 i 1 |Ψ(0)i = |u1 i + |u2 i − √ |u3 i 2 2 2 (4) 1. On fait une mesure de l’énergie de la particule à t = 0. Quelles valeurs peut-on trouver et avec quelles probabilités ? 2. Quelle est la valeur moyenne de l’énergie hE(0)i et l’écart quadratique moyen ? 3. Si l’on trouve E(0) = 2~ω0 , quel est l’état |Ψ0 i du système juste après la mesure ? L’état de la particule est-il le même à t > 0 ? 4. Si l’on trouve E(0) = 0, quel est l’état |Ψ0 i du système juste après la mesure ? 5. Même question si l’état initial est : |Ψ(0)i = 21 |u1 i − 12 |u2 i − 2 √i |u3 i. 2 Institut d’Optique Graduate School Mécanique Quantique 1A Jeudi 17, vendredi 18 décembre 2015 TD de Mécanique Quantique n˚6 Oscillation de Rabi (Examen 2010) On considère un atome à deux niveaux d’énergie Eg = 0 et Ee = ~ω0 , correspondant à deux états normés et orthogonaux que nous noterons |gi et |ei. On supposera que les seuls états accessibles pour cet atome sont décrits par les vecteurs normés de l’espace de Hilbert sous-tendu par la base B = {|gi, |ei}. Le hamiltonien qui régit l’évolution temporelle de l’état de cet atome s’écrit donc simplement : Ĥ0 = ~ω0 |eihe| . Cet atome est soumis à une excitation laser décrite par un champ électrique classique E(t) = E0 cos(ωt + φ). On montre que hamiltonien qui régit l’évolution de l’atome en présence du laser s’écrit : Ĥ = Ĥ0 − D̂E(t) , où D̂ est un opérateur hermitien, appelé opérateur dipole, qui agit sur l’espace des états de l’atome et qui vérifie : he|D̂|ei = hg|D̂|gi = 0 et he|D̂|gi = hg|D̂|ei = d . 1. Dans le cas où E0 = 0, montrez que si à t = 0 le système est dans l’état |ψ0 i, à un instant t ultérieur : |ψ(t)i = cg |gi + ce e−iω0 t |ei avec cg = hg|ψ0 i et ce = he|ψ0 i . 2. On suppose maintenant que E0 n’est pas nul. Montrez que l’état de l’atome peut toujours s’écrire : |ψ(t)i = γg (t)|gi + γe (t)e−iω0 t |ei , et en déduire que l’équation d’évolution de Schrödinger conduit aux équations d’évolution : d ΩR e+iφ +i(ω−ω0 )t ΩR e−iφ −i(ω+ω0 )t i γg = e γe + e γe , dt 2 2 et d ΩR e−iφ −i(ω−ω0 )t ΩR e+iφ +i(ω+ω0 )t i γe = e γg + e γg , dt 2 2 où l’on a posé ΩR = −dE0 /~, appelée pulsation de Rabi. 1 3. Lorsque δ = ω − ω0 est petit devant ω + ω0 (c’est-à-dire lorsque la fréquence du laser est proche de la fréquence de la transition atomique), on peut montrer que les termes en e±i(ω+ω0 )t peuvent être négligés dans les équations précédentes. Montrez qu’en faisant cette approximation et en posant : σg = γg e−iδt/2 et σe = γe e+iδt/2 , on obtient un système d’équations différentielles couplées du premier ordre, linéaires et à coefficients constants. 4. Résolvez p ce système et déterminez σe (t) et σg (t) dans le cas général. On posera Ω = Ω2R + δ 2 , appelée pulsation de Rabi généralisée. 5. Montrez que si l’atome est dans l’état |gi à t = 0, on obtient : σg (t) = cos( et σe (t) = −i δ Ωt Ωt ) − i sin( ) 2 Ω 2 ΩR −iφ Ωt e sin( ) . Ω 2 6. Quelle est la probabilité de trouver l’atome dans l’état |ei à un instant t ultérieur ? 7. En déduire qu’une impulsion laser, de durée et de fréquence que l’on précisera, permet de faire passer de manière certaine l’atome de l’état |gi à l’état |ei. 2 Institut d’Optique Graduate School Mécanique Quantique 1A Lundi 4, mardi 5, mercredi 6 janvier 2015 TD de Mécanique Quantique n˚7 États quasi-classiques (Examen 2005) On considère un point matériel de masse m attaché à un ressort de raideur k. Ce point matériel coulisse librement sur un axe (Ox), sans frottement. On suppose que la gravité ne joue aucun rôle dans ce problème. L’origine de l’axe (Ox) est prise au point d’équilibre où le point matériel est au repos, si bien que la force de rappel exercée par le ressort s’écrit simplement F = −kx. k m x 0 1. Donnez l’équation classique du mouvement, en déduire la trajectoire x(t) pour une condition initiale x(0) = x0 et v(0) = 0. Donnez l’expression de l’énergie p mécanique totale Ecl , en introduisant p = mv et ω0 = k/m. 2. On s’intéresse maintenant au traitement quantique de ce problème. Le hamiltonien du système, qui est l’observable représentant l’énérgie, s’écrit : 1 p̂2 + mω02 x̂2 , Ĥ = 2m 2 où x̂ et p̂ sont les observables position et impulsion, dont le commutateur vaut [x̂, p̂] = i~. a) On introduit l’opérateur «annihilation» â défini par : r mω0 1 â = x̂ + i √ p̂ . 2~ 2~mω0 Calculez le commutateur [â, ↠], où ↠est l’opérateur «création» obtenu par conjugaison hermitique de â. Les opérateurs création et annihilation sont-ils des observables ? 1 b) Donnez l’expression de x̂ et p̂ en fonction des opérateurs annihilation et création. c) Établir l’expression de Ĥ en fonction des opérateurs création et annihilation. En déduire une expression du hamiltonien ne faisant intervenir que l’opérateur «nombre» N̂ = ↠â. L’opérateur nombre est-il hermitien ? 3. Nous allons chercher maintenant les états propres de â, appelés états quasiclassiques. On rappele que les états propres de N̂ , appelés états nombres et notés |ni avec n ∈ N, forment une base orthonormée de l’espace des états et vérifient : √ √ ↠|ni = n + 1|n + 1i , â|n + 1i = n + 1|ni et â|0i = 0 . a) Soit |φα i un état propre de â avec la valeur propre α. Montrez que : |φα i = C0 ∞ X αn √ |ni , n! n=0 où C0 est une constante arbitaire. b) Déduisez de la question précédente qu’à un arbitaire de phase près, il existe un unique état propre normé associé à α qu’on notera simplement |αi. Déterminez C0 pour que |φα i = |αi et que C0 soit réel positif. c) Déterminez la valeur moyenne et la variance de N̂ lorsque le système est dans un état |αi. d) Déterminez la valeur moyenne hx̂i et la variance (∆x̂)2 de x̂ lorsque le système est dans un état |αi. En déduire que ∆x̂/hx̂i tend vers zéro lorsque |α| tend vers l’infini. 4. Nous allons maintenant nous intéresser au comportement temporel des états quasi-classiques. a) Soit |φ(t)i un état quelconque. Écrire sa décomposition sur la base des états propres orthonomés de N̂ . On posera bn (t) = hn|φ(t)i. b) Quelles sont les énergies propres En de Ĥ ? c) Déterminer et résoudre les équations d’évolution des bn (t) lorsque le système n’est soumis à aucune mesure. d) On suppose qu’à t = 0 le système est dans un état quasi-classique : |φ(0)i = |αi = ∞ X 1 αn 2 √ e− 2 |α| |ni . n! n=0 Montrez qu’à un instant t ultérieur, c’est toujours un état propre de â qui s’écrit : 1 |φ(t)i = e− 2 iω0 t |α e−iω0 t i . e) Calculer l’expression de hx̂i au cours du temps, en supposant α réel. Comparez avec l’expression de x(t) donnée par la mécanique classique et en déduire que Ecl = hĤi − E0 . 2 Institut d’Optique Graduate School Mécanique Quantique 1A Jeudi 7 janvier 2016 TD de Mécanique Quantique n˚8 Oscillation de Rabi du vide (Examen 2015) 1. On considère un oscillateur harmonique dont les états sont décrits par les vecteurs d’un espace de Hilbert Ecav sous-tendu par la base orthonormée Bcav = {|ni , n = 0, 1, 2, . . .}. Le hamiltonien du système est Ĥcav = ~ω ↠â, où â et ↠sont les opérateurs annihilation et création vérifiant [â, ↠] = 1 et définis par : √ 0, si n = 0, † â |ni = n + 1|n + 1i et â|ni = √ n|n − 1i, sinon. a) Quels sont les états propres et valeurs propres de Ĥcav ? Quel est le degré de dégénérescence associé à ces valeurs propres ? b) Donnez une expression générale d’un état |ψi de Ecav décomposé sur la base des états propres de Ĥcav . c) Si à t = 0 l’état du système s’écrit |ψ(0)i = α|0i + β|1i, quel est l’état du système à un instant t quelconque ? 2. On considère un «système à deux niveaux» dont les états sont décrits par les vecteurs d’un espace de Hilbert Eat de dimension 2 sous-tendu par la base orthonormée Bat = {|gi, |ei}. Le hamiltonien de ce système est Ĥat = ~ω |eihe|. a) Quelles est la base des états propres de Ĥat ? Quelles sont les énergies propres correspondantes ? Quel est le degré de dégénérescence associé à ces valeurs propres de l’énergie ? 1 b) Si à t = 0 l’état de l’atome est décrit par |ψ(0)i = α|ei + β|gi avec |α|2 + |β|2 = 1, quel est son état à t ? c) Si α = β = √12 , quelle est la probabilité de trouver l’atome dans l’état |ei à un instant t donné ? 3. L’oscillateur harmonique de la question 1 permet de décrire l’état du mode résonnant de pulsation ω du champ électromagnétique à l’intérieur d’une cavité Fabry-Pérot. Dans ce contexte, un état |ni correspond à n photons de pulsation ω présents dans la cavité. Le système à deux niveaux de la question 2 permet de décrire un atome à deux niveaux d’énergie séparés d’une quantité égale à l’énergie d’un photon du mode résonnant de la cavité. L’état |gi est l’état fondamental de l’atome et l’état |ei est son état excité. On considère maintenant le système constitué de l’atome placé dans la cavité. Ce système sera décrit par un vecteur de l’espace de Hilbert E = Ecav ⊗ Eat , produit tensoriel1 des espaces Ecav et Eat . Son évolution sera décrite par le hamiltonien Ĥ agissant sur E, défini par : Ĥ = Ĥcav ⊗ Iˆat + Iˆcav ⊗ Ĥat + Ĥint , où Iˆat et Iˆcav sont les opérateurs identité respectifs de Eat et de Ecav . Ĥint est un hamiltonien d’interaction entre l’atome et les photons de la cavité qui s’écrit : Ĥint = ~Ω â† ⊗ |gihe| + â ⊗ |eihg| , où Ω est une constante petite devant ω qui caractérise l’importance du couplage. a) Donner une base de E. 1 On rappelle que le produit tensoriel de deux espaces de Hilbert E et F sous-tendus respectivement par les bases {|ei i, i ∈ I} et {|fj i, j ∈ J} est l’espace de Hilbert G = E ⊗ F sous-tendu par la base {|gij i = |ei i ⊗ |fj i, (i, j) ∈ I × J}. Les règles de calculs relatives au produit tensoriel sont les suivantes : (a) Pour alléger les notations, on pose : |ui ⊗ |ri = |ui|ri. (b) Linéarité à gauche : [ λ|ui + µ|vi ] |ri = λ|ui|ri + µ|vi|ri. (c) Linéarité à droite : |ui [ λ|ri + µ|si ] = λ|ui|ri + µ|ui|si. (d) Si |χi = |ui|ri, alors hχ| = hr|hu| ; noter l’inversion de l’ordre de u et r. (e) Produit scalaire : si |ξi = |ui|ri et |χi = |vi|si, alors hξ|χi = hr|hu|vi|si = hu|vihr|si. (f) Opérateurs : si  agit sur E et si B̂ agit sur F, alors [  ⊗ B̂ ] |ui|ri = Â|uiB̂|ri. 2 b) Si Ω = 0, c’est-à-dire si Ĥint = 0, quels sont les états propres et valeurs propres de Ĥ ? Quel est le degré de dégénérescence de ces valeurs propres ? c) On suppose maintenant Ω 6= 0. On pose |ni|ei = |ni ⊗ |ei et |ni|gi = |ni⊗|gi. Que valent Ĥint |n−1i|ei et Ĥint |ni|gi ? Comment interprétez-vous l’action de Ĥint ? d) Montrer que pour tout n > 1, |ni|gi et |n−1i|ei sont deux vecteurs normés et orthogonaux. e) Soit En le sous-espace de E sous-tendu par Bn = {|ni|gi; |n−1i|ei}. Montrer que l’image de tout vecteur de En par Ĥ est un vecteur de En . Donner une représentation matricielle dans la base Bn de la restriction de Ĥ à En . f) On définit, pour n > 1, deux nouveaux états orthogonaux et normés de En : |n, +i = |n − 1i|ei − |ni|gi |n − 1i|ei + |ni|gi √ √ et |n, −i = , 2 2 Donner la représentation sous forme d’un vecteur colonne de ces deux vecteurs dans la base Bn . Montrer, en utilisant la représentation matricielle de Ĥ dans cette même base, que ces deux vecteurs sont les états propres de Ĥ et déterminez les valeurs propres correspondantes. g) Conclure, en utilisant les résultats des questions précédentes, que {|0i|gi; |n, −i; |n, +i; tels que n = 1, 2, . . .} est une base orthonormée de E constituée des états propres de Ĥ et donner les énergies propres correspondantes. h) Si à t = 0 l’état du système est |0, ei, quel est l’état du système à un instant ultérieur t ? Quelle est, en fonction du temps, la probabilité que l’atome soit dans l’état excité ? Pouvez-vous donner une interprétation physique de ce phénomène ? 3