Pour le 13 Pour le 13 Pour le 13/10/2011 – 1/2

DM1 – Physique – Pour le 13/10/2011 – 1/2
E xercice 1 : Flash Electronique
Le fonctionnement d’un flash électronique repose sur la génération d’un éclair dans un tube à décharge.
Il s’agit d’un tube de quartz dans lequel on a placé un gaz raréfié, le xénon, entre deux électrodes E1 et E2.
Ces deux électrodes sont reliées à un condensateur de capacité C chargé sous quelques centaines de volts.
Le gaz du tube à décharge n’est a priori pas conducteur. Cependant, lorsqu’une très haute tension est
appliquée entre deux de ses électrodes (V > VON), l’ionisation des atomes de xénon qui en résulte abaisse la
résistance du tube qui devient alors équivalent à un conducteur de résistance RT dans lequel le condensateur C
peut se décharger, créant ainsi un éclair lumineux très intense d’une durée très brève. Lorsque la tension
repasse en dessous d’un second seuil (V < VOFF), le tube s’éteint et redevient isolant.
1.
Expliquer pourquoi l’ionisation des atomes de xénon abaisse la résistance du tube à décharge.
Le schéma du montage est donné ci-dessous (figure 1), et peut-être considéré comme équivalent au
montage de la figure 2 si la tension aux bornes du tube est supérieure à VOFF. On utilisera ce second schéma
pour expliquer la formation d’un éclair dans le tube. On considère que la tension V0 est une tension continue
de 300V, obtenue à l’aide d’une pile 9V et d’un hacheur élevateur (voir cours de SI).
K
K
iT(t)
R
iT(t)
R
Tube
C
uC(t)
Tube
C
u(t)
V0
uC(t)
RT
u(t)
V0
Figure 1
Figure 2
2.
Le condensateur étant initialement déchargé à t = 0, et l’interrupteur K ouvert, établir l’équation
différentielle à laquelle obéit la tension uC(t) et déterminer l’évolution de la tension uC(t) en fonction du
temps. On définira une première constante de temps τ1.
3.
Le régime permanent étant atteint pour t < t0, on ferme l’interrupteur K à l’instant t = t0. Déterminer les
expressions
iT ( t0 − ) , iT ( t0 + ) , et iT ( ∞ ) du courant iT juste après la fermeture de l’interrupteur et
lorsque le régime permanent est atteint (après la fermeture de l’interrupteur).
4.
Déterminer l’équation différentielle vérifiée par iT(t) pour t > t0. On pourra y faire apparaître une
seconde constante de temps τ 2 =
R RT C
.
R + RT
5.
En déduire l’expression complète de iT(t) pour t > t0 en fonction de V0, R, RT, t et τ.
6.
Exprimer également la tension uC(t) pour t > t0 en fonction de V0, R, RT, t et τ.
7.
Simplifier les expressions précédentes avec des résistances de l’ordre de R = 1kΩ et RT = 1Ω et tracer
l’allure de uC(t) et de iT(t) pour t < t0 et t > t0. Expliquer la génération d’un éclair lors de la femeture de K.
8.
Donner l’expression de l’énergie accumulée par le condensateur avant la fermeture de l’interrupteur.
9.
On souhaite générer un flash d’une puissance moyenne égale à 4,0W et d’une durée de 0,10 s. Calculer
l’énergie moyenne devant être stockée dans le condensateur.
10.
Déterminer un ordre de grandeur de la valeur de la capacité C nécessaire. Commenter ce résultat.
DM1 – Physique – Pour le 13/10/2011 – 2/2
E xercice 2 : Circuit RL soumis à une Tension Créneau
Présentation et Questions Préliminaires :
On soumet un circuit RL à une tension créneau, comme celle auquelle une charge est soumise lorsqu’elle
est placée en sortie d’un hacheur série. Pour l’étude, on utilise un GBF dont la tension est réglée entre 0 et E,
de période T. On considère la bobine parfaite (sa résistance interne est donc nulle).
e(t)
E
i(t)
R
e(t)
GBF
L
uL(t)
t
0
0
T/2
3T/2
T
2T
1.
Donner la relation entre le courant u qui traverse une bobine parfaite et la tension uL à ses bornes (on
précisera à l’aide d’un schéma les conventions d’orientation adoptées pour i et pour uL). Que devient cette
relation dans le cas d’une bobine réelle de résistance interne r ?
2.
On définit la constante de temps τ, exprimée en secondes, du circuit RL par une relation du type
τ = LαRβ, où α et β sont deux constantes réelles. Par une analyse dimensionelle rapide, détermiuner la
valeur de ces deux exposants (on raisonnera avec les différentes relations existantes entre u et i).
Etude du Régime Transitoire :
3.
Pour
0 < t < T2 , établir l’équation différentielle régissant les variations de l’intensité dans le circuit.
L’intégrer en justifiant soigneusement la détermination de la (ou des) constante(s) d’intégration. On
considère la bobine initialement déchargée. En déduire l’epression de uL(t). Préciser les valeurs vers
lesquelles ces fonctions tendent en régime permanent.
T
2
<t <T .
4.
Déterminer complètement l’expression de i(t) et de uL(t) pour
5.
Le GBF est réglé sur la fréquence f = 1,0 kHz, la bobine a pour inductance L = 1,0 H et R = 1kΩ.
Comparer la période T de la tension délivrée par le GBF et la constante de temps τ du circuit. Tracer
qualitativement l’évolution des graphes de i(t) et uL(t) sur quelques périodes (représenter à chaque fois les
tangentes à l’origine de la courbe).
e(t)
Etude
Etude du Régime Permanent :
En régime permanent, le courant se répète à l’identique d’une
période sur l’autre. On note Imin le curant minimal, et IMax le courant
maximal dans la bobine.
6.
E
0
nT nT + T2
α =e
t
( n +1)T
−T
2τ
.
Exprimer le courant i(t) dans la bobine en fonction du temps t, et des paramètres E, R, IMax et de la
constante de temps τ du circuit RL sur une phase nT + T2 ≤ t ≤ nT +T . Exprimer avec cette expression le
courant en nT +T et en déduire une seconde relation entre IMax, Imin, E, R et
8.
i(t)
Imin
Exprimer le courant i(t) dans la bobine en fonction du temps t, et des paramètres E, R, Imin et de la
constante de temps τ du circuit RL sur une phase nT ≤ t ≤ nT + T2 . Exprimer avec cette expression le
courant en nT + T2 et en déduire une première relation entre IM, Im, E, R et
7.
IMax
α =e
−T
2τ
.
Exprimer Imin et IMax en fonction de E, R et α. Faire l’application numérique pour E = 100V, L = 1,0H et R
= 1kΩ. Quelle est la moyenne du courant i(t) ? Les représenter à l’échelle.