electricite
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Electricité ELECTRICITE 1. Electrostatique 1.1 Charge électrique La matière est globalement neutre, mais si l'on frotte un bâton de verre avec une peau de chat ou un bâton de bakélite avec de la soie - deux parmi beaucoup d'autres possibilités - on observe que certains corps frottés se repoussent et d'autres s'attirent. Tout se passe comme si quelque chose (ici, en fait, la charge) avait été transmis d'un corps à l'autre. On décrit ce phénomène en disant qu'après frottement, l'un des corps porte des charges positives et l'autre corps des charges négatives. Les corps portant des charges de même signe se repoussent, ceux qui portent des charges opposées, s'attirent. D'un point de vue microscopique, l'un des objets a arraché par frottement les électrons périphériques de l'autre objet (gagnant ainsi une charge négative), l'autre objet acquerrant par conséquent un manque d'électrons (donc une charge positive). Les propriétés essentielles de la charge électrique sont les suivantes: • la charge électrique est une grandeur qui est conservée • les charges positives se repoussent entre elles, de même que les charges négatives. Par contre, les charges positives attirent les charges négatives (et réciproquement). • la charge est quantifiée, c'est-à-dire qu'elle ne peut apparaître que comme multiple entier d'une charge élémentaire, notée e et qui constitue par ailleurs la plus petite valeur possible pour la charge. Notation: on désigne les charges par q ou Q. Unités: Coulomb [C] La charge élémentaire vaut e=1,6.10-19 C Remarques: La charge portée par un proton vaut qp=e. La charge portée par un électron vaut qe=-e Le neutron, comme son nom l'indique, est neutre: qn=0 La charge acquise par un bâton que l'on frotte avec une peau de chat est de l'ordre de quelques µC ou nC. Une charge de 1 C, représente une charge considérable. Des nuages d'orages (étant très étendus), peuvent portés des centaines de coulomb. Exemples: 1) Quelle est la charge nette portée par un noyau de carbone, d'uranium; par un ion Cl-, Na+, CuSO4-- ; par un atome de Cl? De sodium? 2) Combien de protons faut-il pour constituer une charge de 1 C? Rép. 6,25 ⋅1018 3) Quelle est la charge portée par une mole d'électrons?. Rép. 96'000 C € 1 Electricité 1.2 Force de Coulomb La force de Coulomb est la force agissant entre deux particules ponctuelles chargées (voir plus haut). La direction de la force est donnée dans le schéma ci-dessous: Q2 (>0) → F1 2 → − F2 1 r Q1 (<0) La force dépend de la valeur des charge et de la distance qui les séparent: F12 = FCoul = ε 0 = 8,85 ⋅ 10 −12 1 Q1 ⋅ Q2 4πε 0 r2 où A⋅ s est une constante physique (permittivité électrique) V⋅ m On remarque que si la charge portée par les deux corps était de 1 C chacune et que les corps étaient séparés de 1 m, la force aurait une valeur colossale. Ceci montre bien que 1 C représente une charge énorme. La force de Coulomb est répulsive si les deux charges sont de même signe, attractive si elles sont de signe opposé. Formellement, l'expression de la force de Coulomb est semblable à celle de la force gravitationnelle - mais cette dernière est toujours attractive. On remarquera que la force, qui dépend de la distance de séparation entre les charges, n'est pas constante. Le mouvement d'une charge soumise à l'influence d'une autre charge, ne sera donc jamais un MRUA! Formellement, on retrouve une force de même nature mathématique que la force de gravitation. Exemples: 1) Calculer la norme de la force s'exerçant entre deux protons distants de 10-10 m. Rép. 23⋅10−9 N 2) Calculer la force s'exerçant sur l'électron dans le cas représenté ci-dessous. 3.10 -10 m 9.10 -10 m € proton proton Rép. 2,28 ⋅10−9 N electron € 2 Electricité 3) Calculer la force s'exerçant sur la particule α dans le cas représenté ci-dessous. 2.10 -12 m 2.10 -12 m Noyau chlore Noyau sodium particule alpha Rép. 0,69 ⋅10−3 N 4) Que vaut la force totale agissant sur la charge de 2 µC? Sur celle de 6 µC? € 6 µC Carré de côté 30 cm -4 µC 2 µC Rép. 1,44 N ; 2,21 N 5) Dans le modèle de Bohr de l'hydrogène, on considère que l'électron de l'atome est en orbite circulaire autour du noyau. On peut alors calculer la vitesse de l'électron dans son mouvement orbital, sa période T, sa fréquence de rotation f=1/T (Formellement, le calcul est semblable à ce qui avait été fait pour la révolution de la Lune autour de la Terre.. Solution: MCU: F = m ⋅ a € € soit ici 1 e⋅e v2 = m⋅ . 4 πε0 r 2 r La charge du proton et celle de l'électron sont égales mais de signe opposé et valent toutes deux 2πr la charge élémentaire € e. On en tire la vitesse v, puis le temps de révolution T = et enfin la v 1 fréquence (nombre de tours par seconde) f = . T On trouve: € 1 e k 4π 2 m 3 9 V ⋅m 2 ≅ 9 ⋅10 . Ce qui donne f = = 7,2 ⋅1015 Hz T = r avec k = 2 4 πε0 € A⋅ s 2π mr 3 k⋅e Soit une fréquence très élevée! 6) A quelle vitesse faudrait-il propulser un proton pour qu'il s'approche d'un autre proton à une € distance de€10-10 m? Solution: on procède par analogie avec ce qui a été fait dans le cas gravitationnel. Le théorème travail-énergie s'exprime ici comme: QQ QQ 1 1 −k 1 2 + k 1 2 = m ⋅ v22 − m ⋅ v12 r2 r1 2 2 € 3 Electricité Avec v2=0 ; r2=10-16 m, r1=infini; v1=? l'équation devient −k Q1Q2 1 + 0 = 0 − m ⋅ v12 r2 2 Q1Q2 (1,6 ⋅10−19 ) 2 = 2 ⋅ 9 ⋅10 9 = 5,06 ⋅1012 (m /s) 2 −31 −10 m ⋅ r2 9,1⋅10 ⋅10 Finalement on trouve pour la vitesse : v1 = 2,25 ⋅10€6 m/s soit v12 = 2k € Par ailleurs, et contrairement au cas gravitationnel où les situations abordées ne traitaient que de deux corps en interaction, dans le cas électrique on est souvent confronté à des situations où le € est énorme. En effet, prenons comme exemple l'effet produit par nombre de charges en présence un bâton de verre chargé par frottement avec une peau de chat et agissant sur une charge ponctuelle q positive placée à une certaine distance du bâton: Bâton de verre ++ Charge 1, 2... N ++ + ++ +++ q etc.... La force résultante agissant sur q est donnée par l'addition d'un grand nombre de forces de norme et de direction différentes. C'et la raison pour laquelle on adopte en électricité une approche différente et que l'on introduit la notion de champ électrique. 4 Electricité 1.3 Champ électrique Comprendre la notion de champ électrique revient à pouvoir répondre aux deux questions suivantes: A. Quelle est la grandeur physique qui produit un champ électrique? B. Quelle est la grandeur physique qui est sensible à la présence d'un champ électrique? A. Source du champ électrique: Une charge ou une distribution de charges Q, produit dans l'espace qui l'entoure r un champ électrique. Celui-ci est caractérisé par une norme et une direction. On le note E et on verra comment calculer sa valeur en chaque point de l'espace pour des configurations simples. Les unités du champ électrique : N/C ou, plus fréquemment, V/m. B. Effet du champ électrique: La présence d'un champ électrique est mis en évidence par le fait qu'il agit avec une certaine force sur une grandeur physique. Dans ce cas particulier, la grandeur physique sensible au champ électrique est la charge électrique, que l'on note r ici qr(charge épreuve). On a donc Fq = q ⋅ E En fait on définit le champ électrique par son effet sur une charge dite charge épreuve et notée q0: → Soit F0 la force subie par la charge-épreuve q0. Alors le champ électrique à l'endroit de q0 est défini par: → F E= 0 q0 → Unités: N/C ou V/m Ordres de grandeur: Champ électrique au voisinage de la Terre: 100 V/m Champ électrique moyen dans l'atmosphère: 6 V/m Champ électrique à 10 cm d'un bâton chargé par frottement: 200 V/m (charges de quelques nC) Champ électrique max. avant l'apparition d'une étincelle dans l'air sec: 36 kV/cm (peut tomber au tiers de cette valeur si l'air est très humide) Remarque: Le terme "champ" signifie qu'on peut attacher une grandeur (dite "champ") en chaque point de l'espace repéré par r r r. Dans notre cas, on a affaire à un champ vectoriel: E . On pourrait avoir d'autres champ, par exemple: (a) Un champ de température: En chaque point d'une plaque électrique on pourrait relever la valeur de la température et symboliser sa valeur par un carré plus ou moins étendu. (b) Un champ de vitesse: Le débit d'une une rivière n'est pas nécessairement uniforme et on peut s'intéresser à la norme et à la direction de la vitesse de l'eau en un point donné. Pour réaliser cela expérimentalement, on peut lancer dans l'eau, au 5 Electricité point à investiguer, un bouchon-test ou une branche-témoin. En répétant l'expérience en tous points de la rivière, on arrive ainsi à tracer une 'carte' des vitesses: en chaque point de la rivière, on peut associer un vecteur représentant la vitesse en ce point. On obtient de la sorte un champ de vitesses. Remarquons que l'utilisation du bouchon ou de la branche n'est qu'un moyen de visualiser le champ de vitesses. Ce dernier (l'ensemble de la carte-vitesse de la rivière) existe même si personne ne le mesure! On distingue ainsi: le champ de vitesse de la rivière, le bouchon qui permet de le mettre en évidence, l'effet de l'eau sur le bouchon. r r Il s'agit maintenant de calculer ou de donner les expressions de E( r ) pour quelques configurations simples. Pour cela, on mettra en évidence expérimentalement le champ électrique (ou plus précisément les lignes de champ électrique) en utilisant de la semoule saupoudrée sur de l'huile de ricin. Nous considérerons les trois configurations suivantes: (a) Champ électrique au voisinage d'une charge ponctuelle Q: Lignes de champ: voir illustration La norme du champ E à la distance r de la charge ponctuelle 1 Q vaut E = . 4πε 0 r2 −12 A⋅ s avec ε 0 = 8,85 ⋅ 10 qui est une constante physique V⋅ m (permittivité électrique) Unités: [r]=m ; [Q]=C ; [E]=N/C=V/m (b) Champ électrique au voisinage d'un dipôle électrique (Charge Q et charge -Q séparées par la distance d) Lignes de champ: voir illustration L'expression de la norme varie d'un point à un autre. 6 Electricité (c) Champ électrique au voisinage d'une paire de plaques conductrices, d'aire S, séparées par la distance d, et chargées l'une de +Q, l'autre de -Q: Lignes de champ: voir illustration On peut montrer que l'expression du champ, en tous points entre Q les plaques vaut: E = . Le champ est nul en-dehors des ε0 ⋅ S plaques. Unités: [S]=m2 ; [Q]=C ; [E]=N/C=V/m Remarques: La situation (c) est la plus facile à traiter. En effet, le champ est homogène entre les plaques, nul en-dehors. Il ne dépend pas de la distance d. Cette configuration joue un grand rôle dans les applications en physique. Elle est relativement simple, car la force → → agissant sur n'importe quelle charge q vaut Fq = q ⋅ E et elle est constante dans ce cas Q non seulement en direction, mais également en norme puisque Fq = q ⋅ E = q ⋅ . Ainsi ε0 S les trajectoires de particules chargées, placées entre une paire de plaques chargées, seront des combinaisons de MRU et de MRUA. € une charge épreuve q, la force Dans le d'une charge ponctuelle Q [cas (a)] agissant sur r r r exercée sur la corps épreuve est donnée par : Fq = q ⋅ E( r ) , soit en norme: 1 Q 1 qQ Fq = q ⋅ E = q ⋅ ⋅ 2 . C'est la force de Coulomb: elle explique certaines 2 = 4πε 0 r 4πε0 r des propriétés des atomes, puisque c'est la force responsable de la cohésion entre le noyau et les électrons . r La direction de la force est donnée par la direction du vecteur E . Son sens est déterminé par le signe de q: la force est parallèle au champ électrique si q>0, opposée au champ électrique si q<0. € Dans le cas d'une charge ponctuelle, la direction du champ électrique est donnée par la r r direction du vecteur unitaire multiplié par le signe de Q, charge produisant le champ. r r L'origine de r est placé sur la charge Q. Dans les autres cas, le champ est orienté en allant du plus (+) au moins (-). € € 7 Electricité Exemples: 1) Calculer la valeur du champ électrique à 10-10 m d'un proton. A 1 m d'un proton . Rép. 144.109 V/m ; 1,44.10-9 V/m 2) Un dipôle est constitué de deux charges de norme 0,005 mC chacune, séparées de 3 mm. Que vaut le champ électrique à mi-distance entre les charges? A 2 mm de la charge positive (négative) sur le segment de droite reliant les deux charges? Rép. 40.109 V/m ; 56,3.109 V/m 3) Des plaques de rayon 12,5 cm portent des charge (+Q;-Q). Elle sont séparées de 2 cm. Calculer le champ E si Q=2 µC. Quelle est l'accélération d'un proton placé entre les plaques? Quel temps lui faut-il pour parcourir 1 cm s'il est initialement immobile? Quelle est sa vitesse finale? Rép. 4,61.106 V/m; 4,41.1014 m/s2; 6,73 ns; 2,97.106 m/s. 4) Un morceau de papier de 1 g, auquel il manque 107 électrons, subit une force électrique de 25 µN. Que vaut le champ électrique à l'endroit du papier? Si ce champ est produit par les plaques de l'exemple 3, que doit valoir Q, la charge portée par les plaques? Rép. 1,56.107 V/m; 6,79 µC. Application: certains poissons utilisent des champs électriques pour la détection des proies: l'image à gauche montre le champ dipolaire produite par la répartition des charge dans le corps du poisson. Dans l'image de droite, le champ électrique est modifié par la présence d'une proie. Les détecteurs de champ disposés le long du corps du poisson détectent ces légère modifications du champ. Voici quelques configurations simples montrant le champ électrique (rappelons que le vecteur r champ électrique en un point, E , est tangent en ce point aux lignes de champ) Voir la simulation http://phet.colorado.edu/simulations/sims.php?sim=Charges_and_Fields 8 Electricité Champ électrique produit par une charge ponctuelle positive: Champ électrique produit par une charge ponctuelle négative: Champ électrique produit par deux charges ponctuelles de même signe (>0): Champ électrique produit par deux charges de signe contraire (dipôle): 9 Electricité 1.4 Tension électrique Le travail de la force électrique se calcule facilement dans le cas d'une charge se déplaçant dans un champ homogène. On utilise le fait que la force subie par une particule de charge q est → → → Fq = q ⋅ E . proportionnelle à cette charge ainsi qu'au champ électrique E: → → → → Le travail effectué par Fq entre les points 1 et 2 vaut A12 (Fq ) = Fq • d 12 = q⋅ E• d12 = q ⋅U12 . → → On définit la tension électrique entre les points 1 et 2 comme U12 = E • d Remarques: • La tension étant donnée en V, on voit que les unités du champ E sont des V/m. • On retrouve le résultat établit par analogie hydraulique, à savoir que la tension est le rapport d'une énergie potentielle électrique (ou travail) et d'une charge. • Dans le cas où le champ électrique est produit par une paire de plaques chargées, ce qui implique que le champ est homogène, la tension entre deux points est simplement U=E.d. • Dans le cas général, lorsque le champ E n'est pas homogène on a pour la tension entre les 2 points 1 et 2: U1,2 = ∫ → → E• d r 1 Exemples: 1) Calculer le champ électrique qu'il faut entre deux plaques séparées de 3 cm, pour que la tension soit de 2 kV. Rép. 0,67.105 V/m 2) Dans le cas précédent, en supposant que les plaques sont circulaires et de diamètre D=25 cm, que doit valoir la charge déposée sur une des plaques? Rép. 2,9.10-8 C 3) Une paire de plaques carrées, de côté 10 cm, séparées de 0,8 cm porte une quantité de charge Q=2µC. Calculer la tension entre les plaques. Calculer le champ électrique entre les plaques. Calculer la force s'exerçant sur un électron se trouvant entre les plaques. Son accélération. Mêmes questions pour une particule α placée entre les plaques. Rép. 2,26.107 V/m; 18.104 V; 1,15.10-12 N; 1,26.1018 m/s2. 4) Dans l'exemple 2, un proton passe de la plaque 1 à la plaque 2. Quelle vitesse atteint-il? Combien de temps faut-il pour cela? Rép. 6,2.105 m/s 10 Electricité 1.5 Applications: oscilloscope; télévision Oscilloscope Un oscilloscope est un instrument qui permet de mesurer et de visualiser des tensions rapidement variables, telles que le son produit par un microphone ou la tension électrique produite par le muscle cardiaque (électrocardiogramme), etc. Il est donc très utilisé dans des domaines autres que la physique! Un voltmètre ordinaire serait trop 'inerte' pour suivre des variations aussi rapides de la tension. Le principe de fonctionnement d'un oscilloscope, constitué d'un tube évacué dans lequel on accélère des électrons, est basé sur le fait que les électrons sont extrêmement légers et ne présentent pratiquement pas d'inertie. La déviation verticale ou horizontale des électrons est assurée par des paires de plaques produisant des champs électriques homogènes perpendiculaires à la direction de déplacement des électrons. Voici le schéma de principe d'un oscilloscope: (1) Filament de tungstène chauffé par une tension Uc (6,3 V) pour la production d'électrons. (2) Electrode de focalisation des électrons (3) Electrodes d'accélération des électrons. La tension Ua, fixe, est de l'ordre de 2 à 50 kV. (4) Electrodes de déflection horizontale. La tension Uh peut être interne à l'oscilloscope. Elle est alors régulièrement variable en fonction du temps et permet un balayage du faisceau d'électrons. La vitesse de balayage est ajustable par un bouton accessible à l'expérimentateur. (5) Electrodes de déflection verticale. La tension Uv est la tension à mesurer. (6) Ecran fluorescent où l'énergie cinétique des électrons est convertie en énergie lumineuse. Télévision: Remarquons tout d'abord qu'une image est formée par un ensemble de pixels (minuscules carrés illuminés avec plus ou moins d'intensité). La taille des pixels définit la résolution de l'image. On peut voir ces pixels en regardant de très près un écran et en utilisant éventuellement une loupe. L'appareil de TV lui-même est basé sur les mêmes principes que l'oscilloscope: dans une TV, tout comme dans un oscilloscope, les électrons sont produits par un filament, puis ils sont accélérés et focalisés par des électrodes appropriées. Des plaques de déviation horizontale et verticales assurent un balayage régulier de tout l'écran. La particularité de la TV est de posséder, en aval de l'électrode de focalisation, une grille (électrode plus ou moins fortement chargée) qui laisse passer un nombre variable d'électrons et contrôle ainsi l'intensité du faisceau. Par une synchronisation adéquate du balayage et de l'intensité du faisceau, on illumine ainsi plus ou moins les divers pixels de l'écran, recréant de la sorte l'image originale. 11 Electricité 2. Electrocinétique 2.1 Rappels (courant, tension, résistance) Les circuits électriques peuvent contenir toutes sortes d'éléments: des ampoules, des appareils, des résistances pour limiter ou contrôler le passage du courant, etc. Ils sont alimentés par des piles ou générateurs qui fournissent une tension et sont donc la source d'énergie des circuits. Le courant électrique traverse les différents éléments du circuit en restant constant le long d'une maille et se divise à l'endroit des noeuds. Courant électrique (I en [A]): Son intensité est définie par le rapport de la quantité de charge Q traversant une section du circuit Q par le temps t qu'il a fallu pour ce faire I = en [A=C/s] t Tension électrique (U en[V]): Eel en [J/C] Q La tension électrique est aussi définie comme le produit (algébrique dans les cas que nous considérons) du champ électrique par la distance séparant les deux points aux bornes desquels on mesure la tension: U = E ⋅d12 en [V] C'est la quantité d'énergie électrique par unité de charge: U = Résistance électrique (R en [Ω]): Une résistance électrique, grandeur qui caractérise tout élément du circuit ampoules et rasoirs compris, contrôle le passage du courant dans cet élément. Elle dépend de la longueur l, de la l section S et du matériau ρ constituant l'élément. Elle est définie comme: R = ρ en [Ω] S Les conducteurs sont des corps, généralement des métaux, possédant des électrons libres susceptibles de transporter le courant. La résistivité ρ de ces corps peut varier de 10-9 à 10-6 Ωm En général, ρ augmente avec la température et dépend des impuretés présentes dans le corps. Les isolants, par contre ont des résistivités qui peuvent atteindre 1020 Ωm. Pour les semi-conducteurs, la valeur de ρ est intermédiaire et dépend fortement de la température et des impuretés. Energie électrique (Eél en [J]): L'énergie électrique fournie par une pile ou un générateur est transformée en d'autres formes d'énergie dans les différents éléments du circuits. Dans une résistance, par exemple, l'énergie électrique se transforme en chaleur: la résistance chauffe. Dans une ampoule, quelque pour cents de l'énergie électrique est transformée en lumière, le reste en chaleur. Dans un moteur électrique, une grande partie est transformée en travail mécanique, mais une fraction est également transformée en chaleur. L'énergie électrique dissipée ou utilisée par un circuit dépend de la 12 Electricité tension, du courant et du temps d'utilisation: Eél = A(Fél ) = Q ⋅ E ⋅ d12 = Q ⋅ U = I ⋅t ⋅U soit Eél = U ⋅ I ⋅ t en [J] Puissance électrique (P en [W]): La puissance électrique est donnée par l'énergie par unité de temps, donc: P = U ⋅ I en [W] Loi d'Ohm Courant et tension sont liés. En effet, le courant dans un circuit est proportionnel à la tension U fournie et inversement proportionnelle à la résistance présentée par le circuit: I = ou encore R U = R ⋅ I . Comme la résistance varie en fonction de la température, la résistance n'est pas une grandeur constante, mais peut varier en fonction de I, auquel cas la loi d'Ohm, sous la forme donnée ci-dessus, n'est plus valable. Cependant nous nous limiterons, lorsque cela est possible, aux situations dans lesquelles les résistances ne chauffent que de manière négligeable. La U2 puissance dissipée dans une résistance R est donnée par P = U ⋅ I = R ⋅ I 2 = . R 2.2 Circuits simples Le courant reste le même en tout pont d'un fil (maille) tant qu'il n'y a pas d'embranchement. En un point d'embranchement, le courant se divise, mais le courant total reste le même. Quant à la tension, elle est la même pour tous les éléments branchés en parallèle. U I R Fig.1 U U I I R1 R2 R1 Fig.2 13 R2 Fig.3 Electricité U U I I R3 R1 R1 R2 R3 fig.4 R2 Fig.5 La somme des tensions aux bornes des éléments disposés le long d'une maille est égale à la tension donnée par le générateur. Les éléments en parallèles ont la même tension. Le courant étant conservé, il est le même en tout point d'une branche du circuit. Il se divise aux nœuds. Deux éléments branchés en parallèle ne sont, en général, pas parcouru par le même courant. On en déduit les lois d'additions pour les résistances en série et en parallèle: Résistances en série: R = ∑ Ri Résistances en parallèle: 1 1 =∑ R Ri Exemples: Les résistances ci-dessus valent R=R1= 5Ω, R2=8 Ω, R3= 7 Ω. 1) Calculer la résistance totale pour chacun des circuits. Rép. 5Ω; 3,1 Ω ; 13 Ω ; 4,55 Ω ; 10,1 Ω 2) La tension d'alimentation vaut 12 V. Calculer le courant total que fournit la source de tension. Rép. 2,4 A ; 3,9A ; 0,92A ; 2,64A ; 1,19A 3) La tension d'alimentation vaut 12 V. Calculer le courant traversant chaque résistance et la tension aux bornes de chaque résistance. Rép. 2,4A; 12V U1=U2=12V; I1=2,4A; I2= 1,5A I1=I2=0,92A; U1=4,62V; U2=7,38V I1=I2=0,92A; I3=1,71A; U1=4,62V; U2=7,38V; U3=12V I3=1,19A; U3=8,32V; U1=U2=3,68V; I1=0,736A; I2=0,460A 14
