Lois de base de l`écoulement

CHAPITRE
2
Lois de base de l’écoulement
2.1 INTRODUCTION
Ce chapitre présente les principales lois de l’écoulement et les concepts fondamentaux. Il traitera de l’équation de Darcy qui est le fondement de toutes les théories d’écoulement, de l’équation de la continuité et la solution de quelques problèmes simples d’écoulement.
2.2 ÉQUATION DE DARCY
Dans le cadre de ses expérimentations pour améliorer la qualité des filtres utilisés à la purification des eaux d’alimentation de la ville de Dijon en France, Henry Darcy fut le premier à observer en 1856 la relation entre le débit à travers le sable et la perte de charge qui lui était associée.
Quoique expérimental au début, les observations subséquentes en ont fait une loi de portée
générale qui porte son nom. Le débit au travers d’un matériel poreux présenté à la figure 2.1
s’exprime :
∆φ
A
Q = − K ∆H A = − K
∆L
∆L
[2.1]
Q = débit (m3/j)
K = coefficient de proportionnalité appelé conductivité hydraulique du
sol (m/j)
H = charge hydraulique (m)
L = longueur de l’écoulement (m)
A = section d’écoulement (m2)
Le débit est proportionnel à la perte de charge par unité de longueur et proportionnel à la section de l’écoulement. Le débit est aussi proportionnel à un coefficient dépendant du type de
sol, coefficient qui a été appelé conductivité hydraulique. La charge hydraulique est synonyme
de potentiel dans le monde de l’hydraulique.
LOIS DE BASE DE L’ÉCOULEMENT
28
Potentiel
H1
∆φ
H2
Q
Sol
Réf.
∆L
Figure 2.1 Schéma représentant l’écoulement au travers d’un matériel poreux.
La figure 2.1 présente aussi le diagramme des potentiels. À l’entrée de l’échantillon, la pression est H1 et le potentiel d’élévation est nul si le bas de l’échantillon est considéré comme
référence. À la sortie de l’échantillon, la pression est H2 et le potentiel d’élévation est aussi nul.
Ainsi, les potentiels totaux ou charges hydrauliques à l’entrée et à la sortie de l’échantillon sont
respectivement HI et H2 .
L’équation de Darcy montre que la perte de charge ou de potentiel varie linéairement dans un
milieu de section constante. Ainsi, si le potentiel est connu en deux points, il variera linéairement entre ces deux points et le diagramme des potentiels peut être facilement tracé comme
montré à la figure 2.1.
La rapport de la perte de charge ou de potentiel par unité de longueur est appelé gradient
hydraulique ”i”:
∆φ
i = ∆H =
∆L
∆L
[2.2]
2.3 VITESSE RÉELLE, VITESSE APPARENTE, FLUX
Le flux est la vitesse apparente d’écoulement, la vitesse de déplacement du fluide dans l’espace comme s’il n’y avait pas de matériel poreux. Le flux ou vitesse apparente s’exprime
alors :
q=
∆φ
Q
= − K ∆H = − K
A
∆L
∆L
[2.3]
q = flux ou vitesse apparente d’écoulement (m/j)
La vitesse réelle est la vitesse de circulation de l’eau dans les pores du sol. Cette vitesse
moyenne réelle est obtenue en divisant la vitesse apparente par la porosité.
PERMÉABILITÉ INTRINSÈQUE
29
2.4 PERMÉABILITÉ INTRINSÈQUE
La conductivité hydraulique à saturation apparaissant dans l’équation de Darcy est une manifestation de la résistance à l’écoulement que provoquent les forces de frottement. La conductivité hydraulique est fonction de la perméabilité intrinsèque du sol ”κ”, de la masse volumique
du liquide ”ρw”, de la viscosité dynamique du liquide ”ηw” et de la gravité comme le montre
l’équation suivante :
w g
K= η
w
[2.4]
La perméabilité intrinsèque représente l’effet de la matrice solide face à un liquide. Elle est
fonction des caractéristiques du sol comme la granulométrie, la structure du sol, la distribution
porale, la tortuosité, etc. La perméabilité représente les caractéristiques intrinsèques d’un
milieu à laisser circuler tout liquide alors que la conductivité hydraulique représente cette
capacité pour un liquide en particulier, l’eau.
2.5 LOI DE DARCY GÉNÉRALISÉE
La généralisation de la loi de Darcy en milieu saturé s’effectue en prenant la limite de l’équation [2.3] :
dφ
q = lim ∆L→0 − K ∆H = − K dH = − K
dl
dl
∆L
→
[2.5]
Le long de l’axe des “x”, le flux s’exprime :
→
qx = − K
dφ
dx
[2.6]
Le flux est directionnel et son expression vectorielle est la suivante :
→
→
→
→
[2.7]
q = qx i + qy j + qz k
→
q = − Kx
dφ →
dφ →
dφ →
i − Ky
j − Kz
k
dx
dy
dz
[2.8]
Pour un milieu homogène et isotrope, l’équation s’écrit :
→
q=−K
→
dφdx
→
i+
dφ → dφ →
j+
k
dy
dz
→
q = − K < dφ > { i } = − K ∇φ
Édition 2016
[2.9]
[2.10]
LOIS DE BASE DE L’ÉCOULEMENT
30
2.6 MILIEU HÉTÉROGÈNE -- NOTION DE TENSEUR
En milieu hétérogène et anisotrope, les flux selon les axes orthogonaux sont :
→
q x = − K xx
dφ
dφ
dφ
− K xy
− K xz
dx
dy
dz
[2.11]
→
q y = − K yx
dφ
dφ
dφ
− K yy
− K yz
dx
dy
dz
[2.12]
→
dφ
dφ
dφ
− K zy
− K zz
dx
dy
dz
[2.13]
q z = − K zx
→
→
[2.14]
q == − [ K ] ∇φ
2.7 ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ
L’équation de Darcy ne permet pas de solutionner les problèmes complexes puisqu’elle ne permet pas d’évaluer le potentiel aux différents points du domaine. L’équation de Darcy nécessite
plutôt la connaissance des potentiels pour estimer le flux.
L’équation de la continuité permet d’évaluer les potentiels. La figure 2.2 permet de définir le
bilan sur un élément de référence infinitésimal.
z
qz
qy
qx
y
x
Figure 2.2 Bilan des flux d’eau au travers d’un élément infinitésimal.
Compte tenu que le milieu est saturé et que le fluide (l’eau) est incompressible, la somme des
débits entrants et sortants de cet élément est nul.
∆Q x + ∆Q y + ∆Q x = 0
[2.15]
Le débit est le produit du flux (q) par la section d’écoulement (A) :
Qx = qx A
[2.16]
ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ
31
La variation de débit selon l’axe x est :
∆Q x = Q x+∆x − Q x−∆x = q x+∆x − q x−∆x ∆y ∆z
2
2
2
2
[2.17]
En utilisant l’expansion de Taylor, cette équation peut s’écrire :
∆Q x =
q + 12 dxd (q ) ∆x − q − 12 dxd (q ) ∆x ∆y ∆z
x
x
∆Q x =
x
x
dxd (qx) ∆x ∆y ∆z
[2.18]
[2.19]
La loi de Darcy [éq. 2.6] permet d’estimer le flux (qx ) :
qx = − Kx
∂φ
∂x
[2.20]
En introduisant l’équation de Darcy [2.20] dans l’équation [2.19], cette équation peut s’écrire :
∆Q x =
∆x ∆y ∆z = − K ∂∂xφ ∆x ∆y ∆z
2
d − K ∂φ
x
∂x
dx
x
2
[2.21]
Les variations de débit selon les axes “y” et “z” sont dérivées de la même façon et s’écrivent :
∆Q y =
∆x ∆y ∆z = − K ∂∂yφ ∆x ∆y ∆z
[2.22]
∆x ∆y ∆z = − K ∂∂zφ ∆x ∆y ∆z
[2.23]
∆Q z =
2
d − K ∂φ
y
∂y
dy
d − K ∂φ
z
∂z
dz
y
2
2
z
2
En utilisant les différentes expressions de la variation des débits, l’équation [2.15] devient
l’équation de la continuité qui s’écrit :
− Kx
Kx
∂ 2φ
∂ 2φ
∂ 2φ
−
K
−
K
∆x ∆y ∆z = 0
y
z
∂x 2
∂y 2
∂z 2
∂ 2φ
∂ 2φ
∂ 2φ
+
K
+
K
=0
y
z
∂x 2
∂y 2
∂z 2
[2.24]
[2.25]
Si le sol est isotrope, (Kx = Ky = Kz ), l’équation de la continuité devient l’équation de Laplace :
∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ
+ 2+ 2 =0
∂x 2
∂y
∂z
[2.26]
En coordonnées cylindriques, l’équation de la continuité s’écrit :
1 ∂φ + ∂ 2φ + 1 ∂ 2φ + ∂ 2φ = 0
r ∂r
∂r 2
r 2 ∂θ 2
∂z 2
Édition 2016
[2.27]
LOIS DE BASE DE L’ÉCOULEMENT
32
L’équation de Laplace ou de la continuité a comme caractéristiques :
S le potentiel est défini en tout point du domaine,
S la solution est unique en chaque point, i.e. une seule valeur de potentiel est définie
en un point donné,
S la solution particulière est déterminée avec les conditions limites particulières du
problème.
2.8 SOLUTION DE PROBLÈMES
La solution d’un problème simple d’un écoulement dans une colonne de sol, le cas d’un échantillon dans un perméamètre (figure 2.3) va permettre de présenter la démarche.
2.8.1
Solution graphique
La première méthode utilisée est la méthode graphique. La figure 2.3 présente le diagramme
des potentiels dans un perméamètre. Le niveau de référence est fixé au bas de l’échantillon. À
la surface de l’échantillon, la pression est φ h = d, le potentiel d’élévation est φ z = L et le potentiel total est φ = L + d. Au bas de l’échantillon, la pression est φ h = a, le potentiel d’élévation
est nul et le potentiel total est φ = a. Le diagramme des potentiels est par la suite tracé en rejoignant les points au bas et au haut de l’échantillon. Cette variation est linéaire. Il y a une différence de potentiel total entre le haut et le bas de l’échantillon qui provoque l’écoulement.
z
z
φh
d
z1
φz
Sol
L
φ
a
0
Réf.
Potentiel
a
a
d
L
L+d
Figure 2.3 Diagramme des potentiels d’un échantillon de sol dans un perméamètre.
SOLUTION DE PROBLÈMES
2.8.2
33
Solution analytique
La solution analytique passe par la définition du domaine, l’établissement de la solution générale, l’établissement des conditions aux limites et la solution aux conditions limites.
Domaine : 0 ≤ z ≤ z 1
Équation (équation de la continuité qui se réduit à une dimension) :
Kz
∂ 2φ
=0
∂z 2
∂φ
=0,
∂x
∂φ
=0
∂y
[2.28]
Solution générale :
φ=Az+B
[2.29]
Conditions aux limites :
z = 0,
φ=a
z = z 1,
φ = z1 + d
Solution aux conditions limites :
z = 0,
φ=a=A.0+B
z = z 1,
φ = z1 + d = A . z1 + B
Après substitution :
B=a
z +d−a
A= 1 z
1
La solution particulière du potentiel est :
φ=
z1 + d − a
z+a
z1
La pression s’exprime alors :
φh = φ − z =
Édition 2016
z1 + d − a
a
z+a−z=d−
z1
z1 z + a
LOIS DE BASE DE L’ÉCOULEMENT
34
2.8.3
Colonne de sol composée de deux type de sol
La figure 2.4 présente le cas d’une colonne de sol composée de deux sols ayant des conductivités hydrauliques différentes. Cette colonne de sol est composée de deux domaines ayant chacun une solution. La solution de ce problème est laissée comme exercice.
d
LA
LB
KA
KB
e
c
Figure 2.4 Écoulement dans une colonne de sol composée de deux types de sol.
CONDUCTIVITÉ HYDRAULIQUE ÉQUIVALENTE
35
2.9 CONDUCTIVITÉ HYDRAULIQUE ÉQUIVALENTE
Un sol stratifié horizontalement en plusieurs couches homogènes et isotropes constitue un cas
particulier de milieu hétérogène d’intérêt. Comme la conductivité hydraulique varie d’un horizon à l’autre, le comportement hydraulique d’un tel sol sera différent selon la direction de
l’écoulement. L’écoulement vertical dans un tel sol est considéré comme un écoulement en
série alors que l’écoulement horizontal est considéré comme un écoulement en parallèle.
2.9.1
Écoulement en série
Pour un écoulement en série schématisé par la figure 2.5, la conductivité hydraulique équivalente de tels sols peut être facilement déterminée.
d
L1
K1
L2
K2
φ1
....
Ln--1
Kn--1
Ln
Kn
φ2
c
Réf
Figure 2.5 Schéma d’un écoulement en série.
Comme le débit passe successivement dans chacune des couches, les débits dans chacune des
couche sont égaux et correspondent au débit du système :
q1 = q2 = q3 = . . . = qn = q
[2.30]
K1
∆φ 3
∆φ 1
∆φ 2
∆φ T
∆φ n
= K2
= K3
= . . . = Kn
= Ke
=q
L1
L2
L3
Ln
LT
Ke = Conductivité hydraulique équivalente
LT = Longueur totale
∆φ T = Perte de charge totale dans le système
La perte de charge dans chacune des couches est :
Édition 2016
∆φ 1 = q
L1
K1
∆φ 2 = q
L2
K2
∆φ n = q
Ln
Kn
∆φ T = q
LT
Ke
∆φ 3 = q
L3
K3
[2.31]
LOIS DE BASE DE L’ÉCOULEMENT
36
Comme la perte de charge dans le système est égale à la somme des pertes de charge dans chacune des couches, elle s’exprime :
∆φ T = ∆φ 1 + ∆φ 2 + ∆φ 3 + . . . + ∆φ n
q
L
L
L
LT
L
=q 1+ 2+ 3+ ... + n
Ke
K1 K2 K3
Kn
[2.32]
[2.33]
Comme la longueur totale est égale à la somme de chacune des longueurs, la conductivité
hydraulique équivalente s’énonce :
Ke =
Li
KL + KL + KL + . . . + KL KL
L1 + L2 + L3 + . . . + Ln
1
2
3
n
1
2
3
n
=
i
[2.34]
i
Le débit peut être facilement calculé au travers d’un sol stratifié lorsque la conductivité
hydraulique de chacune des couches est connue. Le calcul de la conductivité hydraulique équivalente permet aussi de faciliter la détermination des potentiels dans un écoulement en série.
La conductivité hydraulique équivalente est déterminée dans une première étape, le flux y est
par la suite déterminé et la perte de charge dans chacune des couches est alors déduite :
q = Ke
∆φ T
∆L T
[2.35]
Li
Ki
[2.36]
∆φ i = q
Par la suite, le potentiel à l’interface de chacune des couches est déterminé en procédant d’un
point où le potentiel est connu, soit le bas ou le haut de l’échantillon, en additionnant ou soustrayant (selon le cas) la perte de charge dans une couche au potentiel connu à la limite de la
couche. Cette méthode est intéressante lorsque le sol contient plusieurs couches, le nombre de
calculs étant “2 + 2 n” (n = nombre de couches) alors que la solution analytique requiert
approximativement “n 2“ calculs.
CONDUCTIVITÉ HYDRAULIQUE ÉQUIVALENTE
2.9.2
37
Écoulement en parallèle
Quant à l’écoulement parallèle, il est représenté schématiquement par la figure 2.6.
∆φ
L1
K1
Q1
L2
K2
Q2
Kn
Qn
........
Ln
∆x
Figure 2.6 Schéma d’un écoulement en parallèle.
Le débit total est égal à la contribution de chacune des couches :
Q = Q1 + Q2 + Q3 + . . . + Qn = Ke
∆φ
L
∆x T
[2.37]
Connaissant le débit de chaque couche par l’éqaution de Darcy[équ. 2.1], l’équation précédente s’écrit :
K1
∆φ
∆φ
∆φ
∆φ
∆φ
L + K2
L + K3
L + . . . + Kn
L = Ke
L
∆x 1
∆x 2
∆x 3
∆x n
∆x T [2.38]
Comme la perte de charge est la même pour chacune des couches, la conductivité hydraulique
équivalente s’écrit après simplification :
Ke =
Édition 2016
K L + K L + KL L + . . . + K L = KLL
1
1
2
2
3
T
3
n
n
i
i
i
[2.39]
LOIS DE BASE DE L’ÉCOULEMENT
38
PROBLÈMES
2.1
Pour le perméamètre suivant (figure 2.7),
a) tracez le profil (diagramme) des potentiels de pression, gravitationnel et total.
b) présentez la solution analytique (équation différentielle, conditions limites, équations du potentiel de pression et du potentiel total.
a = 1 cm
b = 10 cm
d
d = 10 cm
L = 40 cm
Sol
b
L
a
Figure 2.7 Écoulement dans un perméamètre.
2.2
Pour la colonne de sol suivante (figure 2.8),
a) présentez la solution analytique (équation différentielle, conditions limites, équations du potentiel de pression et du potentiel total.
b) tracez le profil (diagramme) des potentiels de pression, gravitationnel et total.
c) présentez la solution en utilisant la méthode de la conductivité équivalente
KA = 1,0 m/j
d
LA
KB = 5,0 m/j
LA = 40 cm
KA
LB = 45 cm
a = 1 cm
LB
a
KB
b = 10 cm
d = 15 cm
b
Figure 2.8 Écoulement dans une colonne de sol composée de deux types de sol.
PROBLÈMES
2.3
39
Pour la colonne de sol suivante (figure 2.9),
a)
b)
c)
d)
déterminez la conductivité hydraulique équivalente
déterminez les potentiels aux limites de chaques couches
tracez le profil (diagramme) des potentiels de pression, gravitationnel et total.
évaluez le débit passant au travers de la colonne si sa section est de 100 cm2.
5 cm
20 cm
KA = 0,5 m/j
20 cm
KB = 2,0 m/j
30 cm
40 cm
KC = 1,0 m/j
KD = 0,2 m/j
15 cm
2 cm
Figure 2.9 Écoulement dans une colonne de sol composée de quatre types de sol.
2.4
Des piézomètres sont installés côte à côte dans un champ, avec leur ouverture au bas à 2,
4, 6 mètres de la surface du sol respectivement. Les profondeurs du niveau d’eau par
rapport à la surface du sol sont 20, 50 et l00 cm respectivement.
a) a) Quels sont les gradients hydrauliques?
b) b) Dans quelle direction l’eau s’écoule--t--elle?
c) c) Si la conductivité hydraulique entre le premier et le deuxième piézomètre est de
5 cm/h, quelle est la conductivité entre les deux autres piézomètres?
d) d) Quelle est la conductivité hydraulique équivalente?
2.5
Un sol est constitué d’une couche de sable grossier (1 mètre d’épaisseur ayant une
conductivité hydraulique de 0,1 cm/sec) surmontant 20 cm de limon argileux (conductivité hydraulique de 0,0001 cm/sec). Calculez la conductivité hydraulique équivalente
pour ces deux couches,
a)
b)
2.6
si l’écoulement est vertical?
si l’écoulement est horizontal?
De l’eau s’écoule horizontalement au travers de trois strates parallèles de sol ayant pour
conductivité hydraulique respectivement 0,5, 1,0, 0,1 m/j, et pour épaisseur 1, 2, 0,5 m.
Si le gradient hydraulique est unitaire, quel sera le débit par unité de largeur?
Édition 2016
LOIS DE BASE DE L’ÉCOULEMENT
40
2.7
Un coteau ayant un pente de 10 % est constitué de granit recouvert de 1 m de sol homogène ayant un conductivité hydraulique de 0,5 m/ j .
a) Quel débit (par unité de largeur) s’écoulera--t--il dans le fossé d’interception au pied
du coteau si la nappe a une épaisseur de 60 cm et qu’elle coule parallèlement roc?
b) Si la porosité est de 50 %, quelle serait la vitesse réelle de l ’eau?
2.8
Le fond d’une lagune est construit de la façon suivante (du bas vers le haut) :
S 10 cm de sable à l’intérieur duquel un drain est installé pour drainer l’effluent
(K = l.0 m/j)
S 20 cm d’argile compacte (K = 0,0l m/j)
L’épaisseur de liquide dans la lagune est de 2,5 m.
a) Tracez le profil des potentiels total et de pression au travers du fond de la lagune,
b) Calculer le débit d’effluent au travers du fond de la lagune (dimension 30 m x
40 m),
c) Si les boues au fond de la lagune colmate la couche d’argile sur un cm (K = 0,0001
m/j), évaluez son influence sur la question a) et b).
2.9
Pour un sol homogène,
a) Tracez le profil des potentiels total et de pression lorsque la nappe est stable à 80 cm
de profondeur.
b) Maintenant, considérons que ce même sol possède une couche indurée de 1 cm
d’épaisseur sous la couche de labour (20 cm d’épaisseur) et que cette couche possède une conductivité hydraulique égale à 1/3 de celle du reste du profil. Suite à une
pluie, il se forme, comme nous pouvons le prévoir, une nappe perchée dans la couche de labour qui remonte à 10 cm de la surface du sol. Tracez le profil des potentiels
total et de pression si la nouvelle nappe profonde est située à 70 cm de profondeur.
Quelles hypothèses devez vous poser pour solutionner le problème?
c) Avec quel débit la nappe perchée alimentera la nappe profonde si la conductivité
hydraulique est de 0,5 m/j?. Exprimez ce débit en terme de hauteur de lame d’eau.
PROBLÈMES
41
2.10 Pour le perméamètre suivant (figure 2.10), déterminez la conductivité hydraulique de
chacune des couches de sol. Le débit est de 3,2 ml/s et la section est de 62 cm2.
10 cm
20 cm
A
20 cm
B
31 cm
29,3 cm
C
36,1 cm
16 cm
1 cm
Figure 2.10 Écoulement dans une colonne de sol munie de piézomètres.
2.11 Dans le cadre d’un projet de recherche d’essais de pompage de l’eau du fleuve St--Laurent pour combler les besoins en eau d’irrigation des cultures sur l’Île d’Orléans, il était
nécessaire de contrôler la propagation des moules zébrés dans le réseau hydrique de
l’Île. Pour réaliser ce contrôle, il a été décidé de filtrer l’eau du fleuve à l’aide d’un filtre
au sable.
Le système a été conçu de la façon suivante. L’eau est pompée du fleuve par une pompe
débitant 5 l/s dans un étang dont le fond est constitué d’un filtre au sable. Le fond et les
talus inclinés à 45_ de l’étang sont recouverts d’une géomembrane étanche. Le système
de filtration est construit de la façon suivante sur cette membrane au fond de l’étang (du
bas vers le haut) :
S une couche de 40 cm d’épaisseur de pierre concassée 20 mm net;
S un géotextile Novatex III
S une couche de 80 cm d’épaisseur de sable ayant un d85 de 0,60 mm pouvant retenir
les particules de plus de 65 µm.
Un réseau de drains de 10 cm de diamètre est installer dans la pierre concassée pour
recueillir les eaux filtrées et les acheminer dans un tuyau vers un grand étang. Sur ce
tuyau, un système de contrôle du niveau d’eau y est installé pour ajuster le niveau d’eau
dans la pierre concassée. Lors des premiers essais de cet été, l’épaisseur d’eau au--dessus
du sable était de 85 cm et la différence entre le niveau d’eau dans l’étang au--dessus du
sable et le niveau d’eau dans le système de contrôle du niveau d’eau à la sortie était de 58
cm. À la profondeur moyenne du sable, la surface du filtre est d’environ 7 m x 7 m.
a) Tracez le schéma de l’écoulement dans le filtre,
Édition 2016
LOIS DE BASE DE L’ÉCOULEMENT
42
b) Identifiez les conditions limites,
c) Quelles sont les hypothèses que vous devez poser pour résoudre le problème?
Lors des premiers essais,
d) Quelle est la perte de charge dans le sable?
e) Quel est le gradient hydraulique dans le sable?
f) Tracez la courbe de répartition de la pression et des potentiels dans le filtre,
g) Quel est le flux dans le sable?
h) Quel est la conductivité hydraulique du sable?
Comme l’eau pompée contient des substances fines en suspension (moules, sédiments,
algues, etc.), le filtre se colmate avec le temps. À la fin du dernier essais, la différence
entre le niveau d’eau dans l’étang au--dessus du sable et le niveau d’eau dans le système
de contrôle du niveau d’eau à la sortie était de 81 cm. À la fin du pompage, le filtre a été
asséché et une couche fine d’environ 3 mm d’épaisseur gisait sur la surface du sable.
i)
Si l’on suppose que l’accroissement de la perte de charge n’est du qu’à cette couche,
quelle serait la conductivité hydraulique de cette couche?