Feuille d`exercices : Électrostatique, Équations de Maxwell

Feuille d'exercices : Électrostatique, Équations de Maxwell
P Colin
2016/2017
Formulaire d'analyse vectorielle
coordonnées cylindro-polaires :
−−→
1 ∂f
∂f
∂f
u~r +
u~θ +
u~z
gradf =
∂r
r ∂θ
∂z
~ = 1 ∂ (rAr ) + 1 ∂Aθ + ∂Az
divA
r ∂r
r ∂θ
∂z
1 ∂Az
∂Aθ
∂Ar
∂Az
1 ∂
∂Ar
−→ ~
rot(A) =
−
u~r +
−
u~θ +
(rAθ ) −
u~z
r ∂θ
∂z
∂z
∂r
r ∂r
∂θ
1 ∂
∂f
1 ∂2f
∂2f
∆f =
r
+ 2 2 + 2
r ∂r
∂r
r ∂θ
∂z
Coordonnées sphériques :
−−→
1 ∂f
1 ∂f
∂f
u~r +
u~θ +
u~ϕ
gradf =
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
1 ∂ 2
1 ∂
1 ∂Aϕ
(r Ar ) +
(sin θAθ ) +
r2 ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂ϕ
1
∂
∂Aθ
1 ∂Ar
1 ∂
1 ∂
∂Ar
−→ ~
rot(A) =
(sin θAϕ ) −
u~r +
−
(rAϕ ) u~θ +
(rAθ ) −
u~ϕ
r sin θ ∂θ
∂ϕ
r sin θ ∂ϕ
r ∂r
r ∂r
∂θ
∂f
1
∂
∂f
1
∂2f
1 ∂
∆f = 2
r2
+ 2
sin θ
+ 2 2
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂ϕ2
~=
divA
1
1
Loi de Coulomb
Deux particules de même charge électrique q , sont xées en A et B sur un axe aux
abscisses xA = −a et xB = a. Entre A et B on place une particule mobile libre de se
déplacer sur cet axe, de masse m et de charge électrique q 0 .
1. Quelle est la position d'équilibre de la particule mobile ?
2. Quelle est la force exercée sur cette particule hors de sa position d'équilibre ?
3. Discuter la stabilité de cet équilibre.
4. Dans le cas d'un équilibre stable, déterminer la période des petites oscillations de la
particule mobile.
2
Anneau chargé
Un l en forme d'anneau circulaire de rayon R = 50 cm, centré en O dans le plan xOy ,
porte une charge électrique Q = 1, 0.10−9 C uniformément répartie avec la densité linéique
Q
de charge λ = 2πR
.
1. Quelle est la force exercée par cette distribution sur une particule ponctuelle de
charge q située au centre O de l'anneau ?
2. Quelle est la force exercée par cette distribution sur cette même particule ponctuelle
située maintenant sur l'axe Oz orthogonal au plan xOy , à la cote z 6= 0 ?
On coupe le l en un point avec une scie. Il en résulte un petit espace vide de 2 mm
entre les deux extrémités du l. On considère que la portion restante de l'anneau
porte la même charge linéique λ que précédemment.
3. Reprendre les deux questions précédentes avec cette nouvelle distribution. Il sera
judicieux d'utiliser le théorème de superposition après avoir justier sa validité pour
cette étude.
3
Limite de trajectoire et énergie
On considère un espace ne contenant qu'une particule ponctuelle, de charge q , placée
à l'origine O du repère d'étude.
1. Exprimer le champ électrostatique en tout point M autre que O.
2. En déduire le potentiel électrostatique correspondant.
On considère maintenant un axe Ox sur lequel une deuxième particule de charge −q
peut glisser sans frottement. Cette particule est placée initialement à une distance a
de O et lancée avec une vitesse de norme v0 dans le sens tendant à l'éloigner de O.
3. En utilisant un raisonnement énergétique, déterminer la valeur minimale v0,min de v0
pour que la particule mobile "échappe" à l'attraction de la particule xe.
2
La particule mobile a maintenant la charge +q et sa vitesse initiale est dirigée vers
O.
4. Montrer que cette particule ne peut pas atteindre O.
5. Calculer la distance minimale d'approche b en fonction de v0 .
4
Canon à électron
Un canon à électrons est constitué d'une plaque plane, métallique, portée au potentiel
V0 = 0 et d'une grille plane métallique, parallèle à la plaque précédente et portée au
potentiel V1 .
Un électron de masse me = 9, 1.10−31 kg est initialement immobile, au voisinage im-
médiat de la plaque métallique.
1. Quel doit être le signe de V1 pour que l'électron se mette en mouvement vers la grille ?
2.
3.
4.
5.
5
On suppose pour la suite que V1 a ce signe.
Quelle est l'énergie potentielle électrostatique de l'électron au départ ? lorsqu'il atteint la grille ?
Quelle est sa vitesse lorsqu'il atteint la grille ?
Application numérique : Calculer cette vitesse pour |V1 | = 10 kV.
Cette vitesse serait-elle diérente si la grille avait une autre forme ?
Boule radioactive
Une boule homogène et radioactive, de rayon a et de centre O, émet de manière isotrope 1 dans le vide des noyaux d'Hélium He2+ . On note q(r, t) la charge électrique contenue
à l'intérieur d'une sphère de centre O et de rayon r > a.
1. Analyser les symétries et les invariances de la distribution de charge correspondante.
2. Procéder de même pour la distribution de courant.
3. En exprimant la quantité de charge électrique contenue entre deux sphères de centre
O et de rayons r et r + dr (r > a), montrer que la densité volumique de charge
s'écrit :
ρ(r, t) =
1 ∂q(r, t)
4πr2 ∂r
4. En utilisant le postulat de conservation de la charge électrique, exprimer l'intensité
du courant électrique traversant la sphère de centre O et de rayon r > a en fonction
de ∂q(r,t)
∂t . En déduire que, à l'extérieur de la boule radioactive :
~j(M, t) = − 1 ∂q(r, t) ~er
4πr2 ∂t
1. c'est à dire de la même façon dans toutes les directions.
3
5. Le champ électrique en un point M distant de r > a du centre de la sphère radioactive
s'écrit :
~ M, t) = q(r, t) ~er
E(
2
4πε0 r
Analyser la cohérence de ce résultat.
6. Que peut-on dire du champ magnétique au même point ? Analyser la cohérence de
ce résultat.
6
Émission isotrope de charges
Une bille de cuivre xe de rayon a susamment faible par rapport aux autres dimensions pour que cette bille soit confondue avec son centre O, initialement neutre, émet
des électrons de manière isotrope à partir de l'instant t = 0 : le nombre d'électrons émis
par unité de temps est une constante α et les électrons sont émis avec un vecteur vitesse
~v = v0 ~er où v0 est une constante. On néglige les forces électromagnétiques subies par les
électrons (approximation d'ordre le plus bas).
1. Déterminer la densité volumique de charges ρ(r, t) en exprimant la charge comprise
entre les sphères de centre O et de rayons r et r + dr. En déduire que la densité de
courants ~j(M, t) vaut :
~j (M, t) = ~0 si r > v0 t ;
~j (M, t) = − αe ~er
4πr2
si 0 < r ≤ v0 t
~.
2. Déterminer le champ électrique E
3. Montrer que, bien que le régime soit variable, le champ électrique dérive 2 d'un potentiel scalaire V (r, t). Donner l'expression de V (r, t).
4. Calculer la quantité ε0 ∂∂tE~ (courant de déplacement).
5. Montrer que les équations de Maxwell sont compatibles avec un champ magnétique
nul.
6. Pouvait-on prévoir ce résultat en utilisant d'autres arguments ?
7
Une solution possible des équations de Maxwell dans le
vide
On considère un espace vide de charge (ρ = 0) et de courant (~j = ~0) et on propose les
expressions suivantes pour le champ électromagnétique dans cet espace :
~ = f (z) exp − t ~ex
E
τ
et
~ = g(z) exp − t ~ey
B
τ
1. Montrer que ces expressions sont cohérentes avec les équations de Maxwell-Gauss et
Maxwell-Flux.
2. C'est à dire que
−→
~ = −−
E
gradV .
4
2. Déterminer le système d'équations diérentielles liant les fonctions f et g .
3. On considère une situation imposant les conditions suivantes :
f est paire
et
~(
E
ex
x=0,y=0,z=0,t=0) = E0 ~
Donner l'expression du champ électromagnétique.
8
Électromagnétisme et relativité
Un faisceau cylindrique d'axe Oz et de rayon a est constitué de particules identiques de
charge q , réparties uniformément et toutes animées de la même vitesse constante ~v = v0~ez
(faisceau homogène et homocinétique) dans le référentiel d'étude R supposé galiléen. On
note I0 l'intensité du courant électrique correspondant à ce faisceau. On considérera que
le cylindre associé à ce faisceau est de longueur innie.
1. Déterminer les densités volumiques de charge et de courant qui décrivent cette distribution dans R en fonction de I0 , a et v0 .
2. Montrer que le champ électrique intérieur au faisceau, exprimé en coordonnées cy~ = E(r)~er .
lindriques d'axe Oz , est de la forme E
~ = B(r)~eθ .
3. Montrer que le champ magnétique intérieur au faisceau est de la forme B
~
~
4. Déterminer complètement le champ électromagnétique E, B dans R.
~ = ε0 µ0 ~v ∧ E
~ . Quelle est la
5. Vérier que la solution obtenue satisfait à la relation : B
dimension du produit ε0 µ0 ?
1
−1 et µ = 4π.10−7 H.m−1 . Donner la valeur numérique
6. On donne ε0 ∼ 36π.10
0
9 F.m
1
de √ε0 µ0 . De quoi s'agit-il ?
7. Considérons maintenant le référentiel R' animé par rapport à R d'un mouvement de
translation rectiligne et uniforme de vitesse ~v . R' est donc un référentiel galiléen lié
au faisceau.
~ 0 dans R' ?
8. Que vaut le champ magnétique B
9. Justier, en raisonnant sur la force de Lorentz qui s'exerce sur une charge q , que
l'utilisation des lois de la mécanique classique (composition des vitesses, invariance
de la force par changement de référentiel galiléen) aboutit à une contradiction.
L'emploi simultanée de l'électromagnétisme de Maxwell et de la mécanique de Newton peut ainsi conduire à des contradictions. Ceci n'avait pas échappé aux physiciens
de la n du XIXème siècle après que les lois fondamentales de l'électromagnétisme
aient été formulées en 1864 par Maxwell. Il a fallut attendre plus de 40 ans pour
que Einstein propose une solution en 1905 avec sa théorie de la relativité restreinte.
L'application de cette théorie au champ électromagnétique aboutit aux formules de
transformations suivantes :
5
→
−
→
−0
E // = E //
→
−0
→
−
→
−
−
E ⊥ = γ( E ⊥ + →
v ∧ B)
→
−0
→
−
B // = B //
→
−
→
−0
→
−
−
v →
B ⊥ = γ( B ⊥ − 2 ∧ E )
c
v
1
β=
et γ = p
c
1 − β2
En notant par les indices // et ⊥ les composantes respectivement parallèles et ortho−
gonales à la vitesse →
v de R par rapport à R' et c la vitesse de la lumière dans le
vide.
6