Activité 2 : des ellipses, mais à quelle vitesse ? 2 e loi de
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C- Temps, mouvements et évolution Chapitre 3 – Lois de Newton, satellites et planètes Activités Chapitre C3. Lois de Newton, application aux mouvements des satellites et des planètes «Combien de détours ais-je du faire, sur combien de murailles ais-je du tâtonner dans les ténèbres de mon ignorance avant de trouver la porte qui mène à la lumière du vrai …Ainsi, ai-je rêvé de la vérité. » Johannes Kepler (1571-1630). A partir des observations de Tycho Brahé (1546-1601), Kepler a pu établir autour de 1610 des lois qui permettent de décrire et prévoir le mouvement des planètes du système solaire dans le référentiel héliocentrique (référentiel centré sur le soleil et dont les axes pointent 3 directions “ fixes ”). Ces lois modélisent plus généralement le mouvement de tout système en orbite, donc également les mouvements de satellites autour de la Terre. Ce sont donc des lois empiriques. Activité 1 : 1ère loi de Kepler (1609) ou loi des orbites Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre de chaque planète est une ellipse dont le centre du soleil occupe un des foyers Une ellipse de foyers F1 et F2 est l’ensemble des points M d’un plan tels que MF1 + MF2 = constante = 2a (où a est le demi grand axe de l’ellipse). Par rapport à F1, qui coïncide ici avec le centre S du Soleil, le point le plus proche est appelé périhélie (noté P) et le point le plus éloigné aphélie (noté A). Pour la Terre on parle de périgée et d’apogée. c On appelle excentricité « e » de l’ellipse la grandeur e . Dans le cas d'un a cercle, les deux foyers sont confondus avec O, et l'excentricité est nulle. La trajectoire du centre de la Terre autour du Soleil est pratiquement un cercle dont le centre est le centre du Soleil. La distance moyenne entre le centre de la Terre et le centre du Soleil vaut D = 150x106 km = 1 u.a. (unité astronomique). Reformuler la 1ère loi de Kepler dans ce cas d'une trajectoire circulaire : ----------------------------------------- Activité 2 : des ellipses, mais à quelle vitesse ? 2e loi de Kepler (1609) ou loi des aires Le segment de droite reliant le centre du soleil au centre de chaque planète balaie des aires égales pendant des durées égales. 1. Cas de la comète de Halley (trajectoire donnée en annexe) a) Construire 3 aires balayées pendant deux ans par le rayon reliant le centre du Soleil au centre de la comète. b) La deuxième loi de Kepler vous parait-elle approximativement vérifiée ? 2. On a représenté en noir sur le schéma ci-contre la portion d'aire balayée depuis le point A durant une durée t. a) En B A utilisant la deuxième loi de Kepler, représenter approximativement l'aire balayée pendant la même durée t à S o le il partir de B. b) En déduire la bonne proposition parmi les 3 proposées ci-dessous : les valeurs de la vitesse sont les mêmes en A et en B la vitesse est plus grande en A qu'en B la vitesse est plus grande en B qu'en A Vérifier ensuite votre réponse grâce à l'animation kepler.swf 3. Dans le cas où la trajectoire est un cercle, utiliser la 2e loi de Kepler pour qualifier le mouvement le plus précisément possible : le mouvement est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vérifier ensuite votre réponse grâce à l'animation kepler.swf C- Temps, mouvements et évolution Chapitre 3 – Lois de Newton, satellites et planètes Activités Activité 3 : lien entre période de révolution et demi-grand axe : 3e loi de Kepler Dès 1595, Kepler, jeune professeur de mathématiques du collège de Graz est persuadé qu’il y a un lien entre le rayon moyen de l’orbite d’une planète du système solaire et sa vitesse sur son orbite. Mais il faudra à Kepler une très longue patience et des efforts incroyables pour trouver empiriquement une relation entre le rayon « R » de l’orbite moyenne d’une planète et sa période de révolution T (cette relation est la « troisième loi de Kepler »). Ce n’est qu’en 1618 que la troisième loi de Kepler, apparaît pour la première fois dans un ouvrage intitulé Harmonices mundi grâce aux mesures les plus précises de Tycho Brahe. « Le 8 mars 1618, il a déjà écrit la loi correcte, mais l’a écartée, la croyant imprécise à cause d’une erreur de calcul. Toutefois, le 15 mai, l’idée se représente à lui et, finalement, « l’emporte sur les ténèbres de son esprit ». Il a fallu « 22 ans d’attente » pour que Kepler détienne la clé de l’Harmonie céleste : « Enfin, il est certain et tout à fait exact que la proportion qui lie les temps périodiques de chaque couple de planètes est précisément la proportion sesquialtère des distances moyennes ». On se propose ici de découvrir ce qu'est cette proportion « sesquialtère »… La période de révolution d’un satellite est la durée nécessaire pour que le satellite fasse une révolution complète autour de l’astre “attracteur” ou "central". Elle n'a rien à voir avec la période de rotation propre. Le tableau donné en annexe donne la période de révolution T autour du Soleil et le rayon moyen « R » de l’orbite pour les planètes du système solaire. (Remarque : Kepler disposait des données pour les seules 5 planètes connues à l’époque : Mercure, Vénus, Terre, Mars et Jupiter). 1er modèle numérique Imaginer quelle a pu être le premier modèle de Kepler quant à la relation entre T et « R » ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tester ce modèle à partir du tableau des données ou du fichier regressi contenant ces données en traçant une courbe judicieusement choisie. Conclure. Deuxième modèle numérique. Kepler réfléchit alors à l’action du Soleil sur les planètes. Il pose comme hypothèse que c’est lui qui exerce une force qui diminue comme le carré de la distance au soleil et qui les fait se déplacer ; de plus, comme Aristote, il pense que la vitesse et la force sont proportionnelles. Logiquement, croit-il, cette force doit être inversement proportionnelle à la distance « R » de la planète au Soleil. 2𝜋𝑅 Dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme, la période s'exprime par 𝑇 = où v est la vitesse dans le référentiel 𝑣 2 héliocentrique. Il en déduit que T doit être proportionnel à R . Tester ce second modèle et conclure. À la recherche d’un troisième modèle. Kepler est ensuite persuadé que la bonne solution est de la forme 𝑇 = 𝛼. (𝑅)𝑘 où est une constante. Tester la compatibilité de cette hypothèse avec les données expérimentales. La valeur de k calculée par le tableur est k = . . . . . . . ., ce qui revient à écrire : T... a... cste Recopier ci-dessus la 3e loi de Kepler donnée dans le modèle Activité 4 : Interprétation des lois de Kepler à l'aide de la 2e loi de Newton dans le cas d'un mouvement circulaire Le triomphe de Newton a été, grâce à ses 3 lois et à la loi de la Gravitation Universelle, de pourvoir retrouver théoriquement les lois empiriques de Kepler. Nous allons vérifier dans cette activité que le mouvement circulaire est compatible avec les lois de Newton et retrouver la 2e et la 3e loi de Kepler. On étudie une planète de centre P, soumise à la force d’attraction gravitationnelle du Soleil dont la masse est notée MS. P se trouve à une distance 𝑅 du centre du soleil (noté S) et son vecteur vitesse est noté 𝑣⃗. On suppose que cette planète n'est soumise qu'à l'action du Soleil. La distance séparant S et P est notée R. 1. Exprimer et représenter la force exercée sur le satellite, ainsi que le vecteur unitaire u ⃗⃗ dirigé de S vers P. 2. En appliquant la 2e loi de Newton dans le référentiel héliocentrique, qu'on considèrera galiléen pour le mouvement de la planète, exprimer l'accélération a⃗⃗⃗⃗⃗. P 3. L'expression de trouvée est-elle valable dans le cas d'une trajectoire non circulaire ? 4. A l'aide de l'expression générale de l'accélération donnée dans le modèle, montrer que le mouvement circulaire est forcément uniforme (ce qui est conforme à la 2e loi de Kepler dans le cas de l'orbite circulaire). C- Temps, mouvements et évolution Chapitre 3 – Lois de Newton, satellites et planètes Activités Expression de la vitesse 5. La vérification de la 2e loi de Newton impose la valeur de la vitesse : exprimer cette vitesse. 6. Justifier alors l'affirmation suivante : "Sur une même orbite, tous les satellites vont à la même vitesse". Vérification de la 3e loi de Kepler : application à la détermination de la masse du Soleil 7. Dans le cas d’un tel mouvement circulaire uniforme, exprimer la période T en fonction du rayon R (ainsi que de G et M) et vérifier que cette expression est conforme à la 3e loi de Kepler dans le cas circulaire uniforme. 8. Choisir les caractéristiques de l'orbite d'une des planète du système solaire pour en déduire, grâce à la 3e loi de Kepler, la masse du Soleil. Donnée : G = 6,67x10-11 uSI Activité 5 : Cas des satellites géostationnaires en orbite autour de la Terre Un satellite géostationnaire est un satellite terrestre restant en permanence à la verticale d’un même point de la surface de la Terre. 1. Montrer à l'aide d'un schéma que le mouvement d’un tel satellite ne peut être que dans le plan de l’équateur. 2. Quelle doit être la valeur de sa période de révolution ? Données : G = 6,67x10-11 uSI ; masse de la Terre : MT = 5,97x1024 kg. 3. Si le mouvement d’un tel satellite est circulaire uniforme, à quelle altitude doit-il forcément se situer ? Donnée : Vérifier à l'aide du simulateur "Satellites" grâce au menu "Orbites particulières". Pour aller plus loin… Calculer la valeur de la vitesse d'un tel satellite dans le référentiel géocentrique. C- Temps, mouvements et évolution Chapitre 3 – Lois de Newton, satellites et planètes Activités Trajectoire de la comète de Halley (activité 2) Selon des annales chinoises, les premières observations de la comète de Halley datent d’au moins 240 av. J.C. Edmund Halley (1656 – 1743) ayant déterminé les orbites des 24 comètes les plus brillantes a observé que les orbites des comètes de 1531, 1607 et 1682 se ressemblaient : il en a tiré la conclusion qu’il s’agit de la même comète. Il a alors prédit le retour de cette comète pour 1758. La comète fut au rendez-vous en décembre 1758 !... Et vous pouvez prédire qu'elle est revenue assez récemment en . . . . . . . et que son prochain passage aura lieu en . . . . . . . . la comète de Halley a pu également être observée en l'an 1066. Une comète attira en effet l'attention de l'armée de Guillaume le Conquérant et on la retrouve sur la célèbre tapisserie de Bayeux, qui illustre l'invasion de l'Angleterre par les Normands. Données : -Périhélie : 0,59 u.a. (0,5845 à 0,5932) -Aphélie : 35 u.a. -Excentricité : e = c / a = 0,967 (0,9666 à 0,9675) -Période de révolution : T = 76,1 ans -Diamètre du noyau : 10 km -Inclinaison sur l’écliptique : 162,2° (mouvement rétrograde) Échelle : 1cm = 2 u.a. Données expérimentales relatives au système solaire (activités 3 et 4) PLANÈTE Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune PÉRIODE T (an) RAYON MOYEN R (ua) 0.2408 0.3871 0.6152 0.7233 1.0000 1.0000 1.8808 1.5237 11.862 5.2026 29.457 9.5547 84.020 19.218 164.77 30.109
