Ae 13 application des lois de newton avec correction bis

Terminale S
AE 13_Application des lois de Newton
APPLICATION DES LOIS DE NEWTON
Objectifs :
- Mettre en œuvre une démarche expérimentale pour étudier un mouvement.
- Modéliser/retrouver l’équation horaire paramétrique et l’équation de la trajectoire du mouvement
d’un solide lancé avec une vitesse initiale.
Document 1 :
Enoncé des lois de Newton (1 666)
1ère loi : le principe d’inertie
Dans un référentiel galiléen, si le vecteur-vitesse du centre d’inertie G d’un système est un vecteur
constant « ⃗⃗⃗⃗
𝑣𝐺 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑐𝑠𝑡 », alors les forces qui s’exercent sur le système s’annulent et réciproquement :
⃗⃗⃗⃗𝑮 = ⃗𝟎 <=> ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝜟𝒗
𝑭𝒆𝒙𝒕 = ⃗𝟎
2ème loi : Principe fondamental de la dynamique PFD
Dans un référentiel galiléen, la variation du vecteur-quantité de mouvement d’un système par
rapport au temps est égale à la somme des forces extérieures appliquées à ce système :
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑭𝒆𝒙𝒕 =
On peut également l’écrire :
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑭𝒆𝒙𝒕 =
⃗
𝒅𝒑
𝒅𝒕
=
⃗⃗⃗ )
𝒅(𝒎.𝒗
𝒅𝒕
⃗
𝒅𝒗
= 𝒎. 𝒅𝒕 = 𝒎. ⃗⃗⃗⃗
𝒂𝑮
⃗
𝒅𝒑
𝒅𝒕
avec la masse m du système constante.
3ème loi : principe d’action/réaction
Lorsque deux corps A et B sont en interaction, A exerce sur B la force ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑭𝑨/𝑩 et B exerce sur A la force
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑭𝑩/𝑨 telles que :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑭𝑨/𝑩 = − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑭𝑩/𝑨
Document 2 :
⃗
Champ de pesanteur Terrestre ⃗𝒈
⃗⃗ comme l’action gravitationnelle de la Terre
En première approximation, on peut définir le poids 𝑷
⃗ ≈ 𝐅𝐓/𝐌 = −𝐆. 𝐦.𝐌𝐓 𝟐 . 𝐮
sur un objet M de masse m, soit pour une altitude z et une latitude  : 𝐏
⃗𝛌
(𝐑 +𝐳)
𝐓
⃗ = m. 𝐠
⃗⃗ est alors tel que : 𝐏
⃗
Le champ de pesanteur local 𝒈
Avec
RT : rayon de la Terre : 6378 km à l’équateur
z : altitude de l’objet M de masse m
 : latitude de l’objet M de masse m.
MT : la masse de la Terre: 5,97.1024 kg.
G : constante universelle de gravitation:6,67.10-11 kg-1.m3.s-2
⃗ 𝛌 : 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒
𝐮
Document 3 :
Matériel à disposition
- Logiciel et notice d’utilisation LatisPro® ;
- Video « TP1Schuteparabolique.avi » disponible dans les fichiers LatisPro®.
M.Meyniel
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Travail à faire :
1.
Questions préliminaires :
A l’aide des données du document 2 :
⃗⃗ 𝟎 au niveau du sol. Préciser ses
a)
Donner l’expression vectorielle du champ de pesanteur 𝒈
caractéristiques : direction, sens et intensité. Ce champ est aussi appelé « accélération de pesanteur ».
b)
uniforme ?
En-dessous de quelle altitude ce champ de gravitation peut-il être considéré comme
Information : On considèrera le critère suivant : le champ est considéré
comme uniforme si sa norme ne varie pas de plus de 1 %.
2)
a)
Proposer un protocole expérimental utilisant les logiciels mis à disposition pour obtenir les
x
équations horaires numériques des coordonnées : - (y) du vecteur-position ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OG ;
du centre G de
vx
- (v ) du vecteur-vitesse v ;
cette balle.
y
ax
- (a ) du vecteur-accélération a⃗ .
y
Faire vérifier votre protocole par le professeur.
b)
Réaliser ce protocole sur la vidéo citée dans le document 3, en utilisant le logiciel LatisPro®
ainsi que la notice d’utilisation associée.
Sur votre feuille, représenter l’allure des graphiques obtenus ainsi que les expressions des
fonctions modélisées.
Faire vérifier vos résultats par le professeur.
c)
A l’aide l’ensemble de vos résultats, déterminer :
- les coordonnées du vecteur-vitesse initial ⃗⃗⃗⃗
𝒗𝟎 de la balle ainsi que sa norme ;
- l’angle α formé par le vecteur-vitesse initial et l'horizontale ;
⃗⃗ .
- la valeur moyenne du champ de pesanteur terrestre 𝒈
Faire vérifier vos résultats par le professeur.
d)
A partir d’un bilan des forces et de la deuxième loi de Newton appliquée sur le système balle,
vérifier les relations modélisées.
Faire vérifier vos résultats par le professeur.
M.Meyniel
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CORRECTION
D’après l’énoncé :
1) a)
Or :
⃗ ≈ 𝐅𝐓/𝐌 = −𝐆. 𝐦.𝐌𝐓 𝟐 . 𝐮
𝐏
⃗𝛌
(𝐑
𝐓 +𝐳)
𝐦.𝐌𝐓
⃗ = 𝐦. 𝐠
⃗
𝐏
=>
⃗ = −𝐆. (𝐑
𝐠
⃗ = −𝐆. (𝐑
𝐦. 𝐠
𝐌𝐓
𝟐
𝐓 +𝐳)
.𝐮
⃗𝛌
.𝐮
⃗𝛌
𝐌
⃗⃗⃗⃗
𝐠 𝟎 = −𝐆. (𝐑 𝐓)𝟐 . 𝐮
⃗𝛌
En se plaçant au niveau du sol : « z = 0 ». L’expression devient :
Le champ de pesanteur ⃗⃗⃗⃗
𝐠 𝟎 a donc :
𝟐
𝐓 +𝐳)
𝐓
- pour direction ⃗⃗⃗⃗
𝐮𝛌 soit vertical au sol (d’après le schéma) ;
- un sens opposé à celui de ⃗⃗⃗⃗
𝐮𝛌 donc vers le centre de la Terre ;
24
5,97.10
-1
- une intensité : 𝐠 𝟎 = 𝐆. (𝐑𝐌𝐓)𝟐 = 6,67.1011 × (6378.10
3 )2 = 9,79 N.kg
𝐓
b)
Le champ est considéré comme uniforme si son intensité ne varie pas de plus de 1 %.
99
Il faut donc calculer l’altitude « z » pour laquelle on a :
« g(z) = 100 × g0 »
99
g(z) = 100 × g0
g(z) = G. (R
MT
T
+z)2
=>
0,99 × g 0 = G. (R
MT
T
+z)2
M
=> (RT + z)² = G. 0,99 ×T g
0
M
=>
z = √G. 0,99 ×T g - RT
=>
5,97.10
z = √6,67.10−11 . 0,99
- 6 378.103 = 32.103 m
×9,79
0
24
On peut donc estimer que le champ de pesanteur est uniforme jusqu’à une altitude de 32 km !
2)
Protocole expérimental :
 Ouvrir la vidéo avec le logiciel LatisPro®.
 Après avoir choisi l’origine et étalonner l’image, réaliser le pointage de la balle.
 Basculer sur la fenêtre avec les courbes et placer les points obtenus pour « x » et pour
« y » afin de visualiser respectivement les courbes « x = f(t) » et « y = f(t) ».
 Modéliser chacune de ces courbes pour obtenir leurs équations.
 Pour obtenir l’expression des coordonnées « vx » et pour « vy » du vecteur-vitesse :
Cliquer sur Traitements → Calculs spécifiques → Dérivée puis glisser la
fonction à dériver : « x = f(t) » pour obtenir « vx = f(t) » et « y = f(t) » pour obtenir
« vy = f(t) ».
Modéliser chacune de ces courbes pour obtenir leurs équations.
 Refaire le même travail pour obtenir l’expression des coordonnées « ax » et pour « ay »
du vecteur-accélération :
Cliquer sur Traitements → Calculs spécifiques → Dérivée puis glisser la
fonction à dériver : « x = f(t) » pour obtenir « vx = f(t) » et « y = f(t) » pour obtenir
« vy = f(t) ».
Modéliser chacune de ces courbes pour obtenir leurs équations.
M.Meyniel
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Pointage de la balle sur la vidéo :
b)
* Equation horaire des coordonnées du vecteur-position :
On modélise la courbe « x = f(t) » par une fonction linéaire :
x = 1,747 × t
On modélise la courbe « y = f(t) » par une fonction linéaire :
y = - 4,921 × t² + 4,434 × t +17,5.10-3
* Equation horaire des coordonnées du vecteur-vitesse :
On modélise la courbe « vx = f(t) » par une fonction linéaire :
vx = 1,747
On modélise la courbe « vy = f(t) » par une fonction linéaire :
vy = - 9,972 × t + 4,526
M.Meyniel
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* Equation horaire des coordonnées du vecteur-vitesse :
On modélise la courbe « ax = f(t) » par une fonction linéaire :
ax ≈ 0
On modélise la courbe « ay = f(t) » par une fonction linéaire :
ay = - 10,018
y
c)
vy0
⃗⃗⃗⃗
𝑽𝟎
α
x
vx0
V02 = vx02 + vy02
* D’après le schéma, on en déduit en utilisant le théorème de Pythagore :
 𝑽𝟎 = √𝒗𝒙𝟎 ² + 𝒗𝒚𝟎 ² = √1,747² + 4,526² = 4,851 m.s-1
Rq :
Pour les valeurs de « vx0 » et « vy0 », on reprend les équations horaires de « vx » et « vy » en prenant « t = 0 ».
* D’après le schéma, on en déduit en utilisant la trigonométrie :
 tan(α) = vy0 / vx0 = 4,526 / 1,747 = 2,591
Rq :
tan(α) = vy0 / vx0
=>
α = arctan(2,591) = 68,89 °
Attention à avoir la calculatrice en « mode degré ».
* Le champ de pesanteur « g » est une accélération. Ici, comme il s’agit d’une chute libre, le champ de
pesanteur est égal à l’accélération (Cf question d.) :
a=g
 𝒈 = 𝒂 = √𝒂𝒙 ² + 𝒂𝒚 ² = √0² + (−10,018)² = 10,018 m.s-2
Rq :
Pour les valeurs de « ax » et « ay », on reprend les équations horaires de « ax » et « ay ».
M.Meyniel
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d)
Système :
y
{balle de masse m lancé avec une vitesse initiale ⃗⃗⃗⃗
𝐯𝟎 faisant un
angle α avec l’horizontale}

g

v0
Référentiel : la table, référentiel terrestre supposé galiléen.
α
O
𝑥 =0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝑮𝟎 { 0
𝑦0 = 0
Les conditions initiales sont alors :
Bilan des forces :
- le poids du système :
et
x
𝑣𝑥0 = 𝑣0 . 𝑐𝑜𝑠(𝛼)
⃗⃗⃗⃗
𝒗𝟎 {
𝑣𝑦0 = 𝑣0 . 𝑠𝑖𝑛(𝛼)
⃗ = m.𝒈
⃗⃗
𝒑
- on suppose l’action de l’air négligeable : on néglige les forces de frottements et la
poussée d’Archimède.
Rq :
Lorsque seul le poids agit, on parle de chute libre.
R.F.D :
D’après la 2nde loi de Newton, on a :
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑭𝒆𝒙𝒕 = 𝒎. ⃗⃗⃗⃗
𝒂𝑮
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑝 = 𝑚. 𝑔
Rq :
𝑎𝐺 {
⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑥 =
𝑎𝑦 =
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑣𝑦
𝑑𝑡
=0
= −𝑔
* L’accélération est constante, le mouvement est uniformément accéléré selon z.
Cas de la vitesse :
𝑎𝑥 =
𝑎𝐺 {
⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑦 =
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑣𝑦
𝑑𝑡
Avec les conditions initiales :
=0
= −𝑔
𝑑𝑥
= 𝐶𝑥
𝑑𝑡
𝑣(𝑡) {
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑦
𝑣𝑦 = = −𝑔. 𝑡 + 𝐶𝑧
𝑑𝑡
𝑣 = 𝐶𝑥 = 𝑣0 . cos(𝛼)
𝑣(𝑡=0) = ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣0 { 0𝑥
𝑣0𝑧 = −𝑔 × 0 + 𝐶𝑧 = 𝑣0 . sin(𝛼)
𝒗𝒙(𝒕) = 𝒗𝟎 . 𝐜𝐨𝐬(𝜶)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒗(𝒕) {
𝒗𝒛(𝒕) = −𝒈. 𝒕 + 𝒗𝟎 . 𝐬𝐢𝐧(𝜶)
* vx est constante car cette composante de la vitesse est orthogonale à la somme des forces.
Cas de la position :
𝑣𝐺 =
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝐺
𝑑𝑡
Avec les conditions initiales :
=> par intégration :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐺(𝑡) {
𝑥(𝑡) = 𝑣0 . cos(𝛼) . 𝑡 + 𝐶𝑥′
𝑡²
𝑦(𝑡) = −𝑔. + 𝑣0 . sin(𝛼) . 𝑡 + 𝐶𝑧′
2
𝑥 = 𝐶𝑥′ = 0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐺(𝑡=0) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐺0 { 0
𝑦0 = 𝐶𝑧′ = 0
 D’où les équations horaires du mouvement :
Rq :
𝑣𝑥 =
=> par intégration :
 D’où les équations horaires du vecteur-vitesse :
Rq :
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
𝒂𝑮 = 𝒈
* Ce P.F.D applicable car référentiel terrestre est galiléen puisque le temps de l’expérience est court.
Projection :
Rq :
=>
𝒙(𝒕) = 𝒗𝟎 . 𝐜𝐨𝐬(𝜶) . 𝒕
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝑮(𝒕) {
𝒚(𝒕) = −½. 𝒈. 𝒕² + 𝒗𝟎 . 𝐬𝐢𝐧(𝜶) . 𝒕
* La position, comme la vitesse et l’accélération sont indépendantes de la masse.
CONCLUSION :
On retrouve bien
M.Meyniel
- une accélération nulle selon « x » : ax = 0 ;
- une accélération constante et négative selon « y » : ay = - g ≈ -10 ;
- une vitesse constante selon « x » : vx = V0.cos(𝛼) = 1,747 (m/s) ;
- une vitesse décroissante selon « y » : vy = - g × t + V0.cos(𝛼) = - 9,972 × t + 4,526 ;
- une position selon « x » : x = V0.cos(𝛼) × t = 1,747 × t ;
- une position selon « y » qui suit une parabole (polynôme du second degré).
6/6