Etablissement de l`équation de Schrödinger

Etablissement de l'équation de Schrödinger
Etablissement de l'équation de Schrödinger
Grégoire Henning
iℏ
∂
ℏ2
=−
 V 
∂t
2m
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Etablissement de l'équation de Schrödinger
Prélude
Une des équations les plus fondamentale de la physique moderne est
sans doute l'équation de Schrödinger, à la base de la mécanique quantique.
Nous allons voir ici comment l'établir par analogie avec une équation d'onde,
pour un problème à une dimension.
Etablissement de l'équation
Système étudié
Nous étudions une particule de masse m se déplaçant sur un axe
 V dérivant du potentiel V  x .
 =− grad
Ox et soumise à une force F
Notations
Nous conviendrons de noter la quantité de mouvement de la particule
p=m v et on notera p=∣p∣=m v .
Quelques propriétés
Ce système possède déjà quelques propriétés qui nous serons utiles pour
établir l'équation de Schrödinger ; notamment la conservation de l'énergie : on
p2
établit très simplement que E=
V  x=cste .
2m
Nous allons aussi nous appuyer sur deux relations quantiques : E=ℏ 
qui donne l'énergie d'un photon à la pulsation  et p=ℏ k qui donne
l'impulsion p (une quantité analogue à la quantité de mouvement) d'un
photon de vecteur d'onde k .
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Etablissement de l'équation de Schrödinger
Méthode
Nous allons utiliser ces relations quantiques et les généralisés à une
particule en considérant qu'elle peut être décrite par une onde (c'est la grande
idée du monde quantique). Cette onde sera caractérisée par une fonction
d'onde  x , t  éventuellement complexe et dont le module au carré
caractérisera la probabilité de présence de la particule en un point.
Par analogie avec toutes les ondes étudiées en physique, nous poserons :
 x , t =0 e j k.x−. t  .
Dérivées
Calculons alors quelques dérivées de
2
∂ 
=−k 2 
2
∂x

:
∂
=− j. 
∂t
et
Or, d'après les deux relations quantiques que nous avons rappelés, cela
équivaut aux égalité suivantes :
∂2  − p 2
= 2 
2
∂x
ℏ
et
∂
E
=− j. 
∂t
ℏ
Equation de Schrödinger
En multipliant la formule
E=
p2
V
2m
par

nous obtenons :
p2
V  , soit encore grâce aux relations sur les dérivées :
2m
∂
ℏ 2 ∂2 
jℏ
=−
V  qui est la célèbre équation de Schrödinger pour les
∂t
2 m ∂ x2
conditions du problème.
E =
Conclusion
Si la mise en place mathématiques de cette équation ne pose aucun
problème, c'est la méthode et les postulat utilisés qui sont fort éloignés du bon
sens (décrire une particule par une fonction d'onde n'est pas très intuitif). Et
pourtant, cette équation n'a pas encore était mise en défaut malgrès de très
nombreuse mises à l'épreuve...
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