Arithmétique et problèmes de codages (suite)

Séquence 3
Arithmétique
et problèmes de codages
(suite)
Sommaire
1. Prérequis
2. Plus grand commun diviseur (PGCD)
3. Entiers premiers entre eux
Cette séquence fait suite à la
séquence 1. En utilisant à nouveau
des problèmes de codages, nous
allons introduire ou approfondir des
éléments d’arithmétique.
4. Retour sur les nombres premiers
et application au chiffrement RSA
5. Synthèse
Séquence 3 – MA03
1
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1 Prérequis
A
Congruence
Définition
Soit n un entier naturel non nul donné, et soit x et y deux entiers relatifs quelconques.
On dit que x est congru à y modulo n si la différence x − y est un multiple
de n.
Dans ce cas, on note :
x ≡ y mod n ou encore x ≡ y [n ] ou encore x ≡ y (n )
et on lit « x congru à y modulo n ».
Conséquences
t Un nombre est congru à 0 modulo n si, et seulement si, c’est un multiple de n.
t Tout nombre pair est congru à 0 modulo 2 ; tout nombre impair est congru à 1
modulo 2.
t Tout nombre est congru à son chiffre des unités modulo 10.
t Tout nombre est congru modulo n au reste de sa division euclidienne par n.
Propriété
Si x ≡ y [n ] et y ≡ z [n ] alors x ≡ z [n ].
Transitivité
Si x ≡ y [n ] et x ′ ≡ y ′ [n ] alors x + x ′ ≡ y + y ′ [n ],
x − x ′ ≡ y − y ′ [n ] et xx ′ ≡ yy ′ [n ].
Compatibilités
n
Si x ≡ y [ p ] alors, pour tout entier naturel n, on a : x ≡ y
n
[ p ].
Séquence 3 – MA03
3
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B
Calcul matriciel
Définitions
Une matrice de dimension n × p est un tableau de nombres à n lignes et
p colonnes.
 a11 a12 a1p

a
a 2p
 a
A =  21 22
  an 1 an 2 anp








Si n = p la matrice est dite carrée.
La matrice unité d’ordre n est une matrice carrée à n lignes et n colonnes dont
la diagonale principale est composée de 1 et dont les autres coefficients sont nuls.
Généralement, elle est notée I.
 1 0 0 
 1 0 


I2 = 
 , I3 =  0 1 0  .
 0 1 
 0 0 1 
Définitions
Opérations
Multiplication par un réel k d’une matrice : on multiplie par k chaque coefficient.
Addition de matrices de mêmes dimensions : on ajoute les coefficients correspondants.
Multiplication de deux matrices A et B : lorsque le nombre de colonnes de A est
égal au nombre de lignes de B, le produit de la ligne i de A par la colonne j de
B donne le coefficient du produit A ⋅ B correspondant.
En général, le produit n’est pas commutatif : A ⋅ B ≠ B ⋅ A.
Puissance n-ième d’une matrice carrée non nulle A :
A 0 = I p et An = A
A
⋅ ...⋅
A si n ≥ 1.
⋅
n fois
Inverse d’une matrice carrée : s’il existe une matrice B telle que A ⋅ B = B ⋅ A = I
alors A est inversible et son inverse notée A −1 est B.
4
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Séquence 3 – MA03
Propriétés
Matrices 2 × 2
 a b 
Si A = 
 et det( A ) = ad − bc ≠ 0 alors A est inversible et
 c d 
A −1 =
C
1  d
det( A )  −c
−b 
.
a 
Décomposition en produit
de facteurs premiers
Théorème
Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1 dont la décomposition en produit
de facteurs premiers est :
n = p1α1 × p2α 2 × ... × pkα k .
Alors les diviseurs de n dans N sont les entiers naturels p1β1 × p2β2 × ... × pkβk où
pour tout 1≤ i ≤ k , 0 ≤ βi ≤ α i .
Corollaire
Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1 dont la décomposition en produit
de facteurs premiers est :
n = p1α1 × p2α 2 × ... × pkα k .
Alors le nombre de diviseurs positifs de n est (α 1 + 1) × (α 2 + 1) × ... × (α k + 1).
Séquence 3 – MA03
5
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2
A
Plus grand commun
diviseur (PGCD)
Objectifs du chapitre
À travers des problèmes de pavages, nous allons revoir la notion de PGCD déjà
vue en classe de troisième.
B
Activité 1
Pour débuter
Carrelage (1)
Dans une maison nouvellement construite, on veut carreler les sols de certaines
pièces.
Le sol de la salle à manger est un rectangle de longueur 4,54 m et de largeur
3,75 m. On veut carreler cette pièce avec des carreaux carrés de 33 cm de
côté. On commence la pose par un coin de la pièce, comme le suggère la figure
ci-dessous :
Calculer le nombre de carreaux non découpés qui auront été posés.
Le sol de la cuisine est un rectangle de longueur 4,55 m et de largeur 3,85 m.
On veut carreler cette pièce avec un nombre entier de dalles carrées, sans
aucune découpe.
a) Donner la liste des diviseurs de 455 puis la liste des diviseurs de 385.
b) Donner la liste des diviseurs communs à 455 et 385.
c) Quel est alors le plus grand côté possible des dalles carrées pour carreler
cette cuisine sans découpe ?
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Carrelage (2)
Pour le couloir, on choisit une façon originale de carreler le sol. On commence par poser des carreaux carrés dont le côté est le plus grand possible. On les pose les uns à côté des autres sans laisser d’espace vide. Sur la
surface restante, on pose, les uns à côté des autres sans laisser d’espace vide, des
carreaux carrés dont le côté est le plus grand possible. On procède ainsi jusqu’à
ce que le couloir soit entièrement carrelé.
Voici le plan du couloir :
540 cm
140 cm
Activité 2
a) Quel est le plus grand côté possible pour un carreau carré ?
b) Combien peut-on en poser ?
c) Faire un plan du couloir à l’échelle 1/20 et représenter ces carreaux de
carrelage.
d) Effectuer la division euclidienne de 540 par 140.
a) Quelles sont les dimensions de la surface non carrelée ?
b) Pour carreler cette surface, quel est le plus grand côté possible pour un
carreau carré ?
c) Combien peut-on en poser ?
d) Représenter ces carreaux de carrelage sur le plan de la question c).
e) Effectuer la division euclidienne de 140 par 120.
a) Quelles sont les dimensions de la surface non carrelée ?
b) Pour carreler cette surface, quel est le plus grand côté possible pour un
carreau carré ?
c) Combien peut-on en poser ?
d) Représenter ces carreaux de carrelage sur le plan de la question c).
e) Effectuer la division euclidienne de 120 par 20.
f) Pourrait-on carreler tout le couloir en utilisant uniquement des carreaux
carrés de cette dimension ?
On dit que 20 est le plus grand commun diviseur de 140 et de 540. L’algorithme associé au pavage du rectangle est appelé algorithme d’Euclide.
Séquence 3 – MA03
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C
Cours
1. Définition
Propriété 1 et Définition 1
Soit a et b deux entiers relatifs. On suppose que a et b ne sont pas tous les deux
nuls.
Un entier qui divise a et b est appelé diviseur commun à a et b.
L’ensemble des diviseurs communs à a et b admet un plus grand élément appelé
plus grand commun diviseur de a et b et noté PGCD (a, b).
Notation
On note D(n ) l’ensemble des diviseurs dans
d’un entier relatif n.
L'ensemble D (a ) ∩ D (b ) est alors l’ensemble des diviseurs communs à a et à b.
Démonstration
On admet que toute partie non vide et finie de
admet un plus grand élément.
Intéressons-nous aux éventuels éléments communs aux deux ensembles D(a )
et D(b ).
Le nombre 1 divise a et divise b, 1∈D (a ) ∩ D (b ) donc D (a ) ∩ D (b ) est une
partie non vide de .
왘
Supposons a = 0 et b ≠ 0.
On a D (0) = , donc les diviseurs communs à 0 et à b sont les diviseurs de
b, et le plus grand de ces diviseurs communs est |b|. Donc PGCD (0, b) = |b|.
왘
Supposons a ≠ 0 et b ≠ 0.
L’ensemble des diviseurs de a est fini car il est majoré par |a|, donc l’ensemble
des diviseurs communs à a et à b est lui aussi fini (c’est un ensemble plus petit),
donc il admet un plus grand élément. Ce plus grand élément est un diviseur à
la fois de a et de b, et c’est le plus grand des diviseurs communs.
Propriété 2
Soit a et b deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.
t Si, dans leur décomposition en produit de facteurs premiers, a et b n’ont
pas de facteur premier commun, PGCD (a, b) = 1.
t Sinon, le PGCD de a et de b est égal au produit des facteurs premiers
communs de a et de b, chacun d’eux étant affecté du plus petit exposant
figurant dans la décomposition de a et de b.
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Séquence 3 – MA03
Démonstration
Soit a = p1α1 × p2α 2 ×... × pk αk et b = q1 β1 × q 2 β2 × ...× q k βn la décomposition
de a et de b en produit de facteurs premiers.
Notons d = PGCD (a, b).
Exemple 1
Solution
왘
Démontrons le premier point.
Supposons que d ≠ 1.
Comme d divise a et d ≠ 1, la décomposition en produit de facteurs premiers
de d comporte (au moins) un des pi . Comme d divise b, on en déduit que pi
divise b. Donc les décompositions en produit de facteurs premiers de a et de
b admettent un facteur premier commun. Cela prouve bien par contraposition
le premier point.
왘
Démontrons le second point.
On suppose donc que d = PGCD (a , b ) ≥ 2.
Soit δ un diviseur commun à a et b tel que : δ ≥ 2.
Comme δ divise a et δ ≠ 1, la décomposition en produit de facteurs premiers
de δ est formée des facteurs premiers de a avec un exposant γ i tel que, pour
tout 1≤ i ≤ k , 0 < γ i ≤ α i .
Comme δ divise b et d ≠ 1, la décomposition en produit de facteurs premiers
de d est formée des facteurs premiers de b avec un exposant χi tel que, pour
tout 1≤ i ≤ n , 0 < χi ≤ βi .
Ainsi, la décomposition en produit de facteurs premiers de δ est formée des
facteurs premiers communs à a et à b avec un exposant λi ≤ min( βi ,α i ).
Réciproquement, tous les entiers naturels dont la décomposition en produit de
facteurs premiers vérifie ce qui précède sont un diviseur commun à a et b.
La décomposition en produit de facteurs premiers du plus grand diviseur d
commun à a et b est donc formée des facteurs premiers communs à a et à b
avec pour exposant min(α i , βi ).
Déterminer les PGCD de 2 070 et 368.
On cherche la décomposition de 2 070 et de 368 en produit de facteurs premiers :
2070 = 2 × 32 × 5 × 23 et 368 = 24 × 23
donc PGCD (2070, 368) = 2 × 23 = 46.
Remarques
Pour tous a, b de
Z non tous deux nuls :
t PGCD (a, b) est un entier strictement positif ;
t PGCD (a, a) = |a| ; PGCD (a, 1) = 1 ; PGCD (a, 0) = |a| ;
t PGCD (a, b) = PGCD (b, a) = PGCD (|a|, |b|).
t D (a ) ∩ D (b ) = D (PGCD(a , b )) (conséquence de la proposition 2), ce qui
signifie que les diviseurs commun à a et b sont les diviseurs de leur PGCD.
Séquence 3 – MA03
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Conséquence
Pour tous entiers relatifs a et b non tous deux nuls et tout k de
* ,
PGCD (ka, kb) = k PGCD (a, b).
Démonstration
Soit d le PGCD de a et de b, a'=ka, b'=kb et d’ le PGCD de a’ et de b’.
Comme d divise a et b, kd divise a’=ka et b'=kb. Ainsi, kd divise d’, le PGCD de
a’ et de b’.
Donc, il existe un entier k’ tel que d’ = k’(kd).
Or, d’ divise ka et kb, donc k’kd divise ka et kb. Ainsi, k’d divise a et b et donc k’d
divise d, le PGCD de a et de b. Ainsi, k’ = 1 et on a d’ = kd soit
PGCD (ka, kb) = k PGCD (a, b).
2. Propriétés
Propriété 3
Si a divise b alors PGCD (a, b) = |a |.
Démonstration
Si a divise b, tout diviseur de a est un diviseur de b et ainsi D (a ) ∩ D (b ) = D (a ).
Comme |a| est le plus grand élément de D(a ), PGCD (a, b) = |a |.
Propriété 4
Soit a un entier naturel et b un entier naturel non nul et a = bq + r la division euclidienne de a par b.
Alors :
(D (a ) ∩ D (b )) = (D (b ) ∩ D (a − bq ))
et donc
PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a – bq) et ainsi PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r).
Démonstration
왘
Si d divise a et b alors d divise b et a – bq donc
(D (a ) ∩ D (b )) ⊂ (D (b ) ∩ D (a − bq )).
왘
Si d divise b et a – bq alors d divise b et (a – bq)+ bq = a donc
(D (b ) ∩ D (a − bq )) ⊂ (D (a ) ∩ D (b )).
Ainsi ( D (b ) ∩ D (a − bq )) = ( D (a ) ∩ D (b )).
D’où PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a – bq).
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Propriété 5
Soit a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls.
Alors PGCD (a ; b) = PGCD (a – b ; b).
Démonstration
On raisonne comme précédemment.
3. Recherche pratique de PGCD
par l’algorithme d’Euclide
Point
historique
Euclide, mathématicien grec, environ 330 avant J.-C. – 275 avant J.-C.
Euclide est l’auteur de ce qu’on appelle Les Éléments d’Euclide, dans lesquels
il donne un exposé magistral des mathématiques de son temps : théorème de
Pythagore, construction du pentagone régulier à la règle et au compas, résultats
d’arithmétique, démonstration de la formule donnant le volume d’une pyramide.
L’exposé d’Euclide a longtemps été considéré comme un modèle de rigueur
logique : Euclide précise les propriétés qu’il admet (les axiomes), cite soigneusement les théorèmes qu’il utilise et détaille chacune des étapes de ses démonstrations […]. Les Éléments sont à la base de l’enseignement de la géométrie
élémentaire jusqu’à ces dernières années.
Cned, revue Diagonales
Propriété 6
Soit a et b deux entiers tels que 0 < b ≤ a.
Considérons l’algorithme :
Entrée :
a, b
Traitement :
Calculer le reste r de la division euclidienne de a par b
Tant que r ≠ 0,
a prend la valeur b et b prend la valeur r
Calculer le reste r de la division euclidienne de a par b
Fin du Tant que
Sortie :
Afficher b.
Cet algorithme est appelé algorithme d’Euclide. En un nombre fini d’étapes, il
permet de calculer le PGCD de a et b.
Remarque
Le PGCD de a et b est le dernier reste non nul obtenu dans la succession des
divisions de l’algorithme d’Euclide.
Séquence 3 – MA03
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Démonstration
On écrit les divisions euclidiennes successives : a = bq 0 + r0 avec 0 ≤ r0 < b.
왘
Si r0 = 0, on arrête à cette étape et PGCD (a, b) = b car b divise a.
왘
On suppose maintenant que r0 ≠ 0.
L’entier a prend la valeur b et b prend la valeur r0 : b = r0q1 + r1 avec 0 ≤ r1 < r0 .
Si r1 = 0, on arrête à cette étape et PGCD (b, r0 ) = PGCD ( r0 , r1 ) = r0 .
Si r1 ≠ 0, b prend la valeur r0 et r0 prend la valeur r1 : r0 = r1q 2 + r2
avec 0 ≤ r2 < r1.
Si r2 = 0, on arrête à cette étape et PGCD ( r0 , r1 ) = PGCD ( r1, r2 ) =
r1 car r2 =0.
Si r2 ≠ 0, r0 prend la valeur r1 et r1 prend la valeur r2 : r1 = r2q 3 + r3
avec 0 ≤ r3 < r2.
…
On construit ainsi une suite de restes r0 , r1, r2 , r3 , etc.
Si aucun reste n’est nul, la suite (rn ) est une suite strictement décroissante
d’entiers naturels, ce qui est absurde puisqu’une telle suite ne peut exister. Il existe donc un entier naturel n tel que rn +1 = 0 et rn ≠ 0 (car on a supposé que
r0 ≠ 0 ). Comme rn +1 = 0, l’algorithme s’arrête et comporte bien un nombre fini
d’étapes.
De plus, comme rn +1 = 0,
rn = PGCD (rn , rn +1) = PGCD (rn −1, rn ) = ... = PGCD (r2 , r1)
= PGCD (r1, r0 ) = PGCD ( b , r0 )
= PGCD (a , b ).
Point
méthode
Présentation pratique de l’algorithme
Calculons à nouveau PGCD (2070,368).
On écrit les divisions euclidiennes successives :
2070 = 5 × 368 + 230 ;
368 = 1× 230 + 138 ;
230 = 1× 138 + 92 ;
138 = 1× 92 + 46 ;
92 = 2 × 46 + 0.//
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Séquence 3 – MA03
condition d’arrêt
PGCD et calculatrice
Les calculatrices disposent d’une fonction permettant le calcul du PGCD :
Texas instrument
MATH ¾ NUM ¾ gcd
Remarque
D
Exercice 1
Casio
OPTN ¾ NUM ¾ GCD
Dans le chapitre 3, l’algorithme de recherche des coefficients de Bézout donne
également le PGCD de deux entiers.
Exercices d’apprentissage
Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de 4 512 et 4 128.
En déduire leur PGCD.
Écrire sous la forme d’une fraction irréductible
4128
.
4 512
Exercice 2
En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer le PGCD de 1071 et 1029.
Exercice 3
Déterminer tous les ensembles constitués de couples entiers naturels (a ; b) dont
le PGCD est 50 et dont la somme est 600.
Exercice 4
Sur tableur, construire une feuille de calcul permettant d’obtenir le PCGD de 1617
et 325 (sans utiliser la fonction PGCD).
Exercice 5
Pour tout entier naturel n, on définit deux entiers a et b en posant :
a = 4n + 1 et b = 5n + 3.
On s’intéresse aux valeurs du PGCD de a et de b en fonction de n.
Séquence 3 – MA03
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Conjecture
a) Sur un tableur, créer trois colonnes donnant les valeurs de n, a et b pour
n variant de 0 à 100.
b) Remplir la quatrième colonne avec les valeurs du PGCD de a et de b.
c) Quelles semblent être les valeurs possibles de PGCD(a, b) ?
d) En observant les résultats obtenus sur le tableur, comment pensez-vous
pouvoir caractériser les valeurs de n telles que PGCD(a, b) = 7 ?
Démonstrations
a) Démontrer la conjecture faite au 1. c.
b) En raisonnant par disjonction des cas, déterminer les valeurs de n telles que
PGCD(a, b) = 7.
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Séquence 3 – MA03
3
Entiers premiers
entre eux
A
Objectifs du chapitre
En utilisant un nouveau système de chiffrement, nous allons étudier la notion
d’entiers premiers entre eux.
B
Activité 3
Pour débuter
Chiffrement de Hill
1. Principe du chiffrement
On fixe quatre entiers a, b, c et d qui constituent la clé du chiffrement.
Les lettres du message sont regroupées par blocs de 2. Chaque lettre est ensuite
codée par un nombre compris entre 0 et 25 suivant son ordre dans l’alphabet
(A Æ 00, B Æ 02, etc.).
On obtient une suite de nombres P1, P2 , P3 , P4 ...
On chiffre ensuite le bloc de deux nombres P1P2 par le bloc C1C 2 de la manière
suivante :
 a b   P1 
ton effectue le calcul matriciel 
 ;
 ⋅
 c d   P2 
ten remplaçant chaque coordonnée du vecteur obtenu par son reste dans la
 C1 
division euclidienne par 26, on obtient 
.
 C 2 
On procède de la même façon avec le bloc P3P4 ...
Le texte sera chiffré par le texte où les nombres C1C 2 C 3C 4 ... sont remplacés par
les lettres correspondant à leur rang dans l’alphabet.
Exemple
Prenons a = 3, b = 5, c = 6 et d = 17 et chiffrons le texte MATHEMATIQUE.
Compléter le tableau suivant :
Lettre
M
A
Rang Pi
12
0
T
H
E
M
A
T
I
Q
U
E
Séquence 3 – MA03
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a) Le premier bloc est (12 0). Indiquer les autres blocs.
b) Chiffrons ce bloc.
 C 1   3 5   12 
Écrivons « 
⋅
(mod 26) » pour
=
 C 2   6 17   0 
 C1 = 3 × 12 + 5 × 0 (mod 26 )
.

C
=
6
×
12
+
17
×
0
26
(mod
)
2

 C1 = 10
.
On a alors : 
 C 2 = 20
De la même façon, chiffrer les blocs suivants et compléter le tableau suivant :
Rang C i
10
20
Lettre
K
U
2. Principe du déchiffrement
Le rang P1P2 P3P4 ... de chaque lettre du texte clair est obtenu par le calcul matriciel suivant :
 P1   a b  −1  C 1 
«
⋅
 (mod 26). »
=
 P2   c d   C 2 
 a b 
On sait calculer la matrice 

 c d 
−1
.
Cette égalité « (mod 26) » signifie que l’on doit donc chercher, si elle existe, une
 a b 
nous
matrice à coefficients entiers dont le produit matriciel avec
 c d 


donne « modulo 26 », la matrice I 2.
Prenons un exemple.
 3 5
Calculer 
 6 17
−1
 à l'aide d'une écriture utilisant des entiers.

a) Compléter la table de multiplication par 21 modulo 26 ci-dessous :
21× 0 ≡ ...... (mod 26 )
21× 1 = ...... ≡ ...... (mod 26 )
21× 2 = ...... ≡ ...... (mod 26 )
21× 3 = ...... ≡ ...... (mod 26 )
21× 4 = ...... ≡ ...... (mod 26 )
21× 5 = ...... ≡ ...... (modd 26 )
21× 6 = ...... ≡ ...... (mod 26 )
21× 7 = ...... ≡ ...... (mod 26 )
21× 8 = ...... ≡ ...... (mod 26 )
21× 9 = ...... ≡ ...... (mod 26 )
21× 10 = ...... ≡ ...... (mod 26 )
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Séquence 3 – MA03
21× 11 = ...... ≡ ...... (mod 26 )
21× 12 = ...... ≡ ...... (mood 26 )
21× 13 = ...... ≡ ...... (mod 26 )
21× 14 = ...... ≡ ...... (mod 26 )
21× 15 = ...... ≡ ...... (mod 26 )
21× 16 = ...... ≡ ...... (mod 26 )
21× 17 = ...... ≡ ...... (mod 26 )
21× 18 = ...... ≡ ...... (mod 26 )
21× 19 = ...... ≡ ...... (mod226 )
21× 20 = ...... ≡ ...... (mod 26 )
b) En déduire « un inverse de 21 modulo 26 » (c’est-à-dire un entier qui, multiplié
 3 5 
par 21, est égal à 1 modulo 26 et une matrice « 

 6 17 
a) Compléter la deuxième ligne du tableau ci-dessous.
Lettre chiffrée
J
Rang C i
9
Rang Pi
7
Lettre claire
H
W
K
−1
mod 26. »
T
 P1 
 17 −5   C1 
b) En utilisant l’égalité « 
 = 5
 (mod 26 ) », com ⋅
 P2 
 −6 3   C 2 
pléter la troisième ligne du tableau et déchiffrer le message JWKT.
3. À l’aide du tableur pour chiffrer
Préparer la feuille de calcul suivante :
On utilise la fonction « =CODE » du tableur pour obtenir le code ASCII d’une
lettre puis on soustrait 65 pour obtenir son rang dans l’alphabet. (Cf. Prérequis C
de la séquence 1.)
Compléter la ligne 5.
Compléter les cellules B6 et C6.
Compléter les cellules B7. On pourra utiliser la fonction « =MOD » du tableur.
Compléter les cellules B8. On pourra utiliser la syntaxe « =CAR(B7+65) » pour
obtenir :
Copier-glisser les formules.
Séquence 3 – MA03
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4. À l’aide du tableur pour déchiffrer
Sur la même feuille de calcul, ajouter les informations suivantes :
Compléter la ligne 13.
Calculer l’inverse de 21 modulo 26. Pour cela, effectuer le produit modulo 26
de chacun des entiers de 1 à 25 par 21. Saisir en Q3 « = MOD(O3*$Q$1;26) »
et copier-glisser jusqu’en Q27.
Retenir celui qui donne un produit égal à 1. Saisir en R3 « =SI(Q3=1;O3;»» ) » et
copier-glisser jusqu’en R27.
Afficher l’inverse de 21 modulo 26 en faisant la somme des éléments de R3 à
R27. Saisir en R28 « =SOMME(R3;R27) ».
On obtient :
Compléter les cellules B14 et C14.
18
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Séquence 3 – MA03
Compléter les cellules B15 puis B16. On obtient :
Copier-glisser les formules.
5. Modification de la clé
Modifier la feuille de calcul précédente en prenant successivement :
a) a = 3, b = 9, c = 2 et d = 20.
b) a = 7, b = 8, c = 4 et d = 6.
c) a = 12, b = 8, c = 4 et d = 5.
d) a = 10, b = 5, c = 3 et d = 5.
En regardant dans chaque cas le nombre ad – bc, conjecturer une condition
nécessaire pour que le calcul de l’inverse modulo 26 soit possible et, ainsi, le
déchiffrement du message.
Activité 4
Combinaison linéaire
Pour stocker des matériaux, une entreprise dispose au maximum de 9 petits
conteneurs et de 6 grands conteneurs. Un petit conteneur peut contenir 10 m3 de
matériaux et un grand 15 m3.
L’entreprise veut stocker 120 m3.
On note x le nombre de petits conteneurs nécessaires et y celui de grands.
Justifier que x et y vérifient le système suivant :







 y

x ≥0
x ≤9
y ≥0
.
y ≤6
−2
≥ x +8
3
Séquence 3 – MA03
19
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Représenter dans un repère la zone du plan définie par le système ci-dessus.
Donner la liste de toutes les solutions possibles pour l’entreprise. Quelle est
celle qui nécessite le moins de conteneurs ?
C
Cours
1. Définition
Définition 2
Entiers premiers entre eux
Soit a et b deux entiers relatifs non nuls.
Les entiers a et b sont premiers entre eux lorsque PGCD (a, b) = 1.
Remarque
Il ne faut pas confondre nombres premiers et nombres premiers entre eux.
Propriété 7
Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. On note PGCD (a, b) = d et a’ et b’ les
entiers tels que a = da’ et b = db’.
Alors on a PGCD (a’, b’ ) = 1.
Démonstration
Supposons que PGCD(a ′ , b ′ ) = d ′ ≠ 1, alors a’ = d’a’’ et b’ = d’b’’ où a’’ et b’’
sont des entiers.
Par conséquent, a = dd’a’’ et b = dd’b’’ et ainsi dd ′ (qui est strictement supérieur
à d) est un diviseur de a et de b, ce qui contredit PGCD (a, b) = d.
Donc PGCD (a’, b’ ) = 1.
2. Théorème de Bézout
a) Le théorème
Point
historique
Étienne Bézout (1730-1783)
Bézout est d’une famille de magistrats de Nemours. La lecture d’Euler décide
Bézout à ne pas suivre la voie familiale ; ses premiers mémoires de mathématiques lui donnent accès à l’Académie des sciences en 1758.
C’est en 1763 que la carrière de Bézout prend une nouvelle orientation. Bézout
est chargé par le duc de Choiseul d’être l’examinateur des Gardes du pavillon
et de la marine. Le poste est important : il décide de la carrière de nombreux
20
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Séquence 3 – MA03
jeunes militaires. Il est lucratif : Bézout écrit son propre cours de mathématiques
en 6 volumes (arithmétique, géométrie et trigonométrie, algèbre, mécanique,
applications de la mécanique, traité de navigation). En 1768, Bézout accroît son
influence en devenant examinateur des élèves de l’artillerie. Il écrit un nouveau
Cours complet de mathématiques à l’usage de la marine et de l’artillerie, qui
aura un succès considérable. Napoléon Bonaparte a connu les livres de Bézout
quand il était élève à l’école de Brienne. Il continuait à les étudier dans son exil
de Sainte-Hélène.
Cned, revue Diagonales
Théorème
Théorème de Bézout
Soit a et b deux entiers relatifs non nuls.
On a PGCD (a, b) = 1 si, et seulement si, il existe deux entiers relatifs u et v tels que
au + bv = 1.
Remarque
Démonstration
La relation au + bv = 1 est appelée relation de Bézout.
On rappelle que toute partie non vide de
왘
admet un plus petit élément.
Supposons que PGCD (a, b) = 1.
Considérons l’ensemble E des entiers naturels non nuls s’écrivant sous la forme
aU + bV où U et V sont des entiers relatifs.
L’ensemble E est une partie non vide de , il possède donc un plus petit élément.
Notons n0 le plus petit élément de E, n0 est de la forme n0 = au + bv .
La division euclidienne de a par n0 donne :
a = n0q + r = (au + bv )q + r avec 0 ≤ r < n0 .
On a donc r = a − (au + bv )q = a(1− u ) + b ( −vq ) donc r est de la forme aU + bV.
Si r ≠ 0, comme r < n0 et que r est de la forme aU + bV, r est un élément de E
strictement plus petit que n0 . Il y a contradiction, on en déduit que r = 0.
Donc n0 divise a. De la même façon, n0 divise b.
L’entier n0 est donc un entier naturel diviseur commun à a et à b. Ces entiers
sont premiers entre eux donc n0 = 1 et, ainsi, il existe des entiers relatifs u et v
tels que 1= au + bv.
왘
Réciproque
Supposons qu’il existe des entiers u et v tels que au + bv = 1.
Si d est le PGCD de a et b, il divise a et b donc d divise au + bv soit d divise 1.
Ainsi d = 1 (car d est positif).
On a donc PGCD (a, b) = 1, c’est-à-dire que a et b sont premiers entre eux.
Séquence 3 – MA03
21
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Point
méthode
Exemple 2
Déterminer les coefficients de la relation de Bézout
Par tâtonnements !
Soit a = 4 et b = 7.
Trouver trois couples (u, v) tels que au + bv = 1.
Solution
Remarque
Exemple 3
On cherche un multiple de 4 et un multiple de 7 qui diffèrent de 1.
t On a 4 × 2 = 8 et 7 × 1 = 7 donc 2 × 4 + ( −1) × 7 = 1. Ainsi, u = 2 et v = −1
conviennent.
t On a 4 × 9 = 36 et 7 × 5 = 35 donc 9 × 4 + ( −5) × 7 = 1. Ainsi, u = 9 et v = −5
conviennent.
t On a 4 × 5 = 20 et 7 × 3 = 21 donc −5 × 4 + 3 × 7 = 1. Ainsi, u = −5 et v = 3
conviennent.
Le couple (u, v) n’est pas unique.
À l’aide d’un algorithme
En utilisant l’algorithme d’Euclide, démontrer que 392 et 33 sont premiers
entre eux.
En déduire deux entiers relatifs u et v tels que 392u + 33v = 1.
Solution
On écrit les divisions euclidiennes successives de l’algorithme d’Euclide :
392 = 11× 33 + 29
33 = 1× 29 + 4
donc PGCD(392, 33) = 1 et, ainsi, 392 et 33 sont
premiers entre eux.
29 = 7 × 4 + 1
4 = 4 × 1+ 0//
Pour déterminer u et v, on écrit chaque reste en repartant de la fin :
29 = 7 × 4 + 1 donc 1 = 29 − 7 × 4 ,
33 = 1× 29 + 4 donc 4 = 33 − 1× 29,
392 = 11× 33 + 29 donc 29 = 392 − 11× 33 ;
puis on reporte chaque reste :
1 = 29 − 7 × 4 ;
on remplace 4 :
1 = 29 − 7 × ( 33 − 1× 29 )
= 8 × 29 − 7 × 33 ;
on remplace 29 :
1 = 8 × ( 392 − 11× 33) − 7 × 33
= 8 × 392 − 95 × 33.
Ainsi, 1 = 8 × 392 − 95 × 33 donc u = 8 et v = −95 conviennent.
22
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Séquence 3 – MA03
b) Coefficients de la relation de Bézout et TICE
Soit a et b deux entiers relatifs non nuls premiers entre eux avec a > b.
On souhaite écrire un algorithme donnant un couple d’entiers relatifs (u ; v) tels
que au + bv = 1.
왘
Langage naturel
Entrées
a ; b
Initialisation
u prend la valeur 1, v prend la valeur 0
x prend la valeur 0, y prend la valeur 1
c prend la valeur 0, d prend la valeur 0
Traitement
Tant que b >0
q prend la valeur Partie Entière (a / b) ; r prend la
valeur a – bq ;
c prend la valeur u ; d prend la valeur v ;
u prend la valeur x ; v prend la valeur y ;
x prend la valeur c – xq ; y prend la valeur d – yq ;
a prend la valeur b ; b prend la valeur r ;
Fin du Tant que
Sortie
Afficher a, u et v
Séquence 3 – MA03
23
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왘
Calculatrice
Texas Instrument
Casio
Exemple :
3. Théorème de Gauss
a) Théorème de Gauss
Point
historique
24
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Karl Friedrich Gauss (1777-1855)
Gauss naît dans une famille très pauvre à Brunswick [en Allemagne] à 150 kilomètres de Hambourg. Il aimait à raconter des histoires de son enfance à ses
Séquence 3 – MA03
proches. Il avait appris à lire et compter seul vers 3 ans, questionnant les adultes
autour de lui. À 7 ans, il est remarqué par son instituteur pour avoir calculé instantanément la somme des nombres de 1 à 100, expliquant qu’il suffisait de
grouper les nombres en 50 paquets de somme 101 : 100+1, 99+2, 98+3, etc. Il
a la chance de rencontrer un jeune mathématicien qui le guide (il a une dizaine
d’années) dans ses premières lectures mathématiques. Le soutien financier du
duc de Brunswick lui permet de continuer ses études.
Les découvertes de Gauss en arithmétique se succèdent alors rapidement et
Gauss publie (il a 24 ans) en 1801 ses Recherches arithmétiques (en latin).
Il est impossible de décrire l’ensemble de l’œuvre de Gauss. Toute sa vie, Gauss
poursuivra ses travaux théoriques et pratiques en mathématiques (géométrie
des surfaces, arithmétique, analyse numérique), en astronomie, en statistique
(loi normale et courbe en cloche), en topographie (cartographie de Hanovre), en
physique et géologie (magnétisme), en économie, etc. Dans tous ces domaines,
la contribution de Gauss est exceptionnelle et c’est à juste titre qu’on l’a appelé
Prince des mathématiciens.
Cned, revue Diagonales
Théorème 2
Théorème de Gauss
Soit a, b et c des entiers.
Si a divise le produit bc et si a est premier avec b alors a divise c.
Démonstration
Si a est premier avec b, d’après le théorème de Bézout, il existe des entiers relatifs
u et v tels que au + bv = 1.
En multipliant par c, on obtient : acu + cbv = c.
Or, a divise acu et, comme a divise bc, a divise bcu.
Ainsi, a divise acu + cbv c’est-à-dire a divise c.
Conséquences
t Si deux entiers a et b premiers entre eux divisent un entier c, alors ab divise c.
tSi un nombre premier p divise un produit ab, alors p divise a ou p divise b.
Démonstration
omme c est divisible par a et b, il existe des entiers k et k’ tels que c = ka = k’b.
C
Comme a divise c, a divise k’b.
Comme a et b sont premiers entre eux, d’après le théorème de Gauss, a divise k’,
donc il existe un entier n tel que k’ = na.
On en déduit que c = k’b = nab, donc que c est divisible par ab.
왘
Soit un nombre premier p divisant un produit ab.
Si p divise a, la propriété est démontrée.
왘
Séquence 3 – MA03
25
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Si p ne divise pas a, alors p et a sont premiers entre eux. Comme p divise le produit ab, d’après le théorème de Gauss, p divise b.
b) Applications
Résolution d’équations diophantiennes
Une équation diophantienne est une équation dont les coefficients sont des
nombres entiers et dont les solutions recherchées sont également entières.
왘
Exemple 4
Solution
Équation du type ax = by d’inconnues x et y appartenant à Déterminer les entiers x et y tels que 4x = 3y.
L’entier 4 divise 3y et 4 est premier avec 3. D’après le théorème de Gauss,
4 divise y. Ainsi, il existe un entier k tel que y = 4k.
On a donc 4 x = 3 × 4k d’où x = 3k.
Réciproquement, si x = 3k et y = 4k,
4 x = 4 × 3k = 12k et 3y = 3 × 4k = 12k donc on a bien 4x = 3y.
Les solutions de cette équation sont les couples (3k ; 4k) avec k ∈ .
왘
Exemple 5
Équation du type ax + by = c d’inconnues x et y appartenant à Déterminer les entiers x et y tels que 2x + 3y = 1.
Déterminer les entiers x et y tels que 2x + 3y = 5.
Solution
On remarque que 2 × ( −1) + 3 × 1 = 1 donc le couple ( −1 ; 1) est solution de
cette équation.
De plus, 2x + 3y = 1 équivaut à 2x + 3y = 2 × ( −1) + 3 × 1
équivaut à 2( x + 1) = 3( − y + 1).
Supposons que (x ; y) soit solution de 2x + 3y = 1 alors 3 divise 2( x + 1) .
Comme 3 est premier avec 2, d’après le théorème de Gauss, 3 divise (x + 1).
Donc il existe un entier k tel que x + 1 = 3k soit x = −1+ 3k .
En reportant la valeur de x dans 2( x + 1) = 3( − y + 1), on obtient
2 × 3k = 3( − y + 1) soit − y + 1 = 2k , soit y = 1− 2k .
Réciproquement, si x = −1+ 3k et y = 1− 2k ,
2x + 3y = 2( −1+ 3k ) + 3(1− 2k )
= −2 + 6k + 3 − 6k
on a bien 2x + 3y = 1.
Les solutions de cette équation sont les couples ( −1+ 3k ; 1− 2k ) avec k ∈ .
Comme 2 × ( −1) + 3 × 1 = 1, en multipliant par 5 on a : 2 × ( −5) + 3 × 5 = 5 ,
donc le couple (–5 ; 5) est solution de cette équation.
De plus, 2x + 3y = 5 équivaut à 2x + 3y = 2 × ( −5) + 3 × 5
équivaut à 2( x + 5) = 3( − y + 5).
26
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Séquence 3 – MA03
Supposons que (x ; y) soit solution de 2x + 3y = 5 alors 3 divise 2( x + 5) . Comme
3 est premier avec 2, d’après le théorème de Gauss, 3 divise (x + 5).
Donc il existe un entier k tel que x + 5 = 3k soit x = −5 + 3k .
En reportant la valeur de x dans
2( x + 5) = 3( − y + 5),
on obtient
2 × 3k = 3( − y + 5) soit − y + 5 = 2k ou encore y = 5 − 2k .
Réciproquement, si x = −5 + 3k et y = 5 − 2k ,
2x + 3y = 2( −5 + 3k ) + 3(5 − 2k )
= −10 + 6k + 15 − 6k
on a bien 2x + 3y = 5.
Les solutions de cette équation sont les couples ( −5 + 3k ; 5 − 2k ) avec k ∈ Z.
Remarquons que l’on aurait aussi pu raisonner comme au 1 en remarquant que
(1 ; 1) était solution de cette équation diophantienne.
Petit théorème de Fermat
Point
historique
Pierre de Fermat
Il a vécu de 1601 à 1665. Originaire de la région de Toulouse, il a une brillante
carrière de magistrat dans cette ville. Cela lui laisse peu de temps pour faire,
en amateur, des recherches en mathématiques. La vie scientifique commence à
s’animer en France dans les années 1630 sous l’impulsion du Père Mersenne qui
écrit inlassablement aux uns et aux autres pour les informer de leurs recherches
respectives. C’est ainsi que Fermat prend contact avec les autres grands scientifiques de son époque : Descartes, Desargues, Pascal.
Dans tous les domaines qu’il étudie, il apporte des contributions importantes :
il participe à la fondation des calculs différentiel et intégral en donnant, par
exemple, une méthode nouvelle de recherche de maxima et minima et en 1654,
un échange célèbre de lettres avec Blaise Pascal est à l’origine du calcul des
probabilités.
Mais il est un domaine où personne n’est capable de rivaliser avec Pierre de Fermat,
c’est celui de l’arithmétique. Les questions qu’il pose sont profondes et d’une très
grande difficulté. Il donnera heureusement, en 1659, un aperçu de ses méthodes.
L’un des problèmes que s’est posé Fermat a une histoire extraordinaire : montrer
qu’un entier strictement positif qui est une puissance n-ième d’entier ne peut être,
pour n > 2, une somme de deux puissances n-ièmes d’entiers strictement positifs, autrement dit, l’équation an + bn = cn n’admet pas de solution en nombres
entiers strictement positifs. Ce problème, Fermat a cru l’avoir résolu, mais on en
doute, tellement les mathématiciens des siècles suivants ont « séché » dessus. Ce
n’était pas toujours en pure perte, car de belles théories, utiles pour les mathématiques, ont été construites pour essayer de le résoudre. Mais le problème résistait
toujours. Dans les années 1970-1980, le problème de Fermat a été réinterprété :
on a montré que ce serait une conséquence d’une propriété très générale.
C’est en 1993-1994 que le mathématicien anglais Andrew Wiles a démontré
cette propriété. Du coup, le théorème de Fermat était enfin prouvé. Pour une fois,
Séquence 3 – MA03
27
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tous les journaux ont parlé de mathématiques. Ce théorème a un énoncé d’une
grande simplicité, compréhensible par tout lycéen. A-t-il un intérêt pratique ?
Pour le moment aucun, mais les mathématiques qu’il a contribué à développer
en ont certainement un !
Cned, revue Diagonales
Le théorème suivant n’est pas une connaissance exigible du programme.
Théorème 3
Soit n un entier.
Si p est un nombre premier ne divisant pas n, alors n p −1 ≡ 1[ p ].
Corollaire
Si p est un entier naturel premier et n est un entier naturel alors n p ≡ n [ p ].
Démonstration
D
Exercice 6
La démonstration du théorème et de son corollaire font l’objet de l’exercice I.
Exercices d’apprentissage
Les nombres suivants sont-ils premiers entre eux ?
171 et 760
2635 et 4 807
Exercice 7
Déterminer les entiers x et y tels que 55x = 9y.
Déterminer les entiers x et y tels que 21x = 56y.
Exercice 8
Déterminer les entiers x et y tels que 11x + 31y = 1.
Déterminer les entiers x et y tels que 11x + 31y = 78.
Exercice 9
À l’aide du petit théorème de Fermat, montrer que, pour tout entier n, n 7 − n est
divisible par 21.
Exercice 10
On se propose de déterminer l’ensemble des entiers relatifs n vérifiant le sys n ≡ 9 [17]
.
tème : 
n
≡
3
[
5
]

28
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Séquence 3 – MA03
Recherche d’un élément de On désigne par (u ; v) un couple d’entiers relatifs tel que 17 u + 5 v = 1.
a) Justifier l’existence d’un tel couple (u ; v).
b) On pose n0 = 3 × 17u + 9 × 5v .
Démontrer que n0 appartient à .
c) Donner un exemple d’entier n0 appartenant à .
Caractérisation des éléments de a) Soit n un entier relatif appartenant à .
Démontrer que n − n0 ≡ 0[85].
b) En déduire qu’un entier relatif n appartient à si, et seulement si, il peut
s’écrire sous la forme n = 43 + 85k où k est un entier relatif.
Application
Zoé sait qu’elle a entre 300 et 400 jetons.
Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9.
Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3.
Combien a-t-elle de jetons?
Exercice 11
Le but de l’exercice est d’étudier certaines propriétés de divisibilité de l’entier
4n − 1 , lorsque n est un entier naturel.
Démontrer que, pour tout entier naturel n, 4n est congru à 1 modulo 3.
Prouver, à l’aide du petit théorème de Fermat, que 428 − 1 est divisible par 29.
Pour 1 ≤ n ≤ 4 , déterminer le reste de la division de 4n par 17. En déduire
4 4k − 1
que, pour tout entier k, le nombre
est divisible par 17.
n
Pour quels entiers naturels n le nombre 4 − 1 est-il divisible par 5 ?
À l’aide des questions précédentes, déterminer quatre diviseurs premiers de
428 − 1.
Séquence 3 – MA03
29
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4
A
Retour sur les nombres
premiers et application
au chiffrement RSA
Objectifs du chapitre
La notion de nombre premier est une notion de base en arithmétique. Nous allons
observer quelques résultats sur la répartition des nombres premiers et une des
applications des nombres premiers dans un système de chiffrement utilisé actuellement.
En exercices, nous étudierons deux familles de nombres liées aux nombres premiers.
B
Activité 5
Pour débuter
Crible de Matiiassevitch
Youri Matiiassevitch, mathématicien russe, né en 1947.
a) À l’aide d’un logiciel de géométrie, représenter dans un repère orthonormé
la parabole d’équation y = x 2.
b) Placer tous les points de d’abscisse entière n avec −7 ≤ n ≤ 7, n ≠ 0 et
n ≠ 1.
c) Relier par un segment les points de la parabole d’abscisse entière positive
aux points de la parabole d’abscisse entière négative.
d) Sur l’axe des ordonnées, donner la liste des points vérifiant les conditions
suivantes :
t l’ordonnée est supérieure ou égale à 5 ;
t l’ordonnée est inférieure ou égale à 25 ;
t qui ne sont pas point d’intersection d’un segment tracé à la question
précédente et de l’axe des ordonnées.
30
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Séquence 3 – MA03
e) Quelle conjecture peut-on formuler sur l’ordonnée des points de la figure
précédente ?
Démonstration de cette conjecture.
Soit m et n où m | n deux entiers naturels.
a) Déterminer l’équation de la droite (MN) où M(m ; m 2 ) et N(n ; n 2 ).
b) Que vaut l’ordonnée à l’origine de la droite (MN) ?
c) Justifier que l’ordonnée des points de la liste correspond à des nombres
premiers.
d) Le point de l’axe des ordonnées d’ordonnée 22 est dans la liste. Expliquer.
Remarque
Activité 6
Le crible d’Ératosthène (vu à la séquence 1) permet également de déterminer
tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à un entier N.
Répartition des nombres premiers
Cette activité peut être traitée même si la séquence du tronc commun sur la
fonction logarithme n’a pas encore être étudiée.
a) Écrire un algorithme qui, prenant en entrée un nombre N, affiche en sortie
tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à N ( N ≥ 2 ).
b) Modifier l’algorithme précédent pour permettre l’affichage des nombres
premiers compris entre N et M.
c) Combien y a-t-il de nombres premiers entre 50 et 60 ? entre 850 et 860 ?
entre 1 850 et 1 860 ? entre 2 850 et 2 860 ?
d) Les nombres premiers sont-ils répartis régulièrement ?
Séquence 3 – MA03
31
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Le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à un entier n est noté
π (n ).
Compléter le tableau suivant :
N
π (n )
10
4
100
25
1000
168
10 000
1 229
105
9 592
106
78 498
107
664 579
108
5 761 455
109
50 847 534
1010
455 052 511
1011
4 118 054 813
1012
37 607 912 018
1013
346 065 536 839
1014
3 204 941 750 802
1015
29 844 570 422 669
1016
279 238 341 033 925
1017
2 623 557 157 654 233
1018
24 739 954 287 740 860
1019
234 057 667 276 344 607
1020
2 220 819 602 560 918 840
n
ln(n )
Que constate-t-on ?
On définit le nombre n! par n ! = 1× 2 × 3 × ... × n et on lit « factoriel n ».
a) Sans effectuer de calcul, justifier que chacun des nombres des deux listes
suivantes n’est pas premier :
Liste A : 5! + 2 ; 5! + 3 ; 5! + 4 ; 5! + 5.
Liste B : 6! + 2 ; 6! + 3 ; 6! + 4 ; 6! + 5 ; 6! + 6.
Qu’ont de particulier les quatre nombres de la liste A les uns par rapport
aux autres ?
Qu’ont de particulier les cinq nombres de la liste B les uns par rapport aux
autres ?
b) Sur le même principe, créer une liste de 20 nombres consécutifs ne comportant aucun nombre premier.
32
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Séquence 3 – MA03
C
Cours
Les résultats évoqués dans cette partie ne sont pas exigibles mais la sensibilisation à ces notions est au programme.
1. Répartition des nombres premiers
L’activité 6 a permis d’émettre des conjectures sur la répartition des nombres
premiers. Voici quelques résultats :
t il y a une infinité de nombres premiers (voir séquence 1) ;
t la répartition des nombres premiers est irrégulière ;
t il y a des listes de nombres entiers consécutifs aussi longue que l’on veut qui
ne contiennent pas de nombre premiers ;
t pour de grandes valeurs de n, le nombre π(n ) (nombre de nombres premiers
n
(loi de raréfaction des nombres
inférieurs ou égaux à n) est proche de
ln(n )
premiers).
2. Utilisation des nombres premiers :
chiffrement à clé publique RSA
Rivest Shamir Adleman (presque toujours abrégé en RSA) est un algorithme de
chiffrement très utilisé pour échanger des données confidentielles sur Internet,
notamment dans le commerce électronique. Cet algorithme a été décrit en 1977
par Ronald Rivest, Adi Shamir et Leonard Adleman.
Le fonctionnement de RSA repose sur une idée simple : il est facile de multiplier
deux grands nombres premiers entre eux alors qu’il est très difficile de retrouver
les facteurs premiers du nombre ainsi obtenu.
RSA est un algorithme de chiffrement à clé publique. Cela signifie que la clé de
codage et l’algorithme de calcul ne sont pas cachés : n’importe quel émetteur
peut envoyer un message au destinataire. Par contre, seul le destinataire peut le
déchiffrer grâce à une clé de décodage privée qu’il tient secrète.
Le système est dit dissymétrique car les clés de codage et décodage sont différentes.
Séquence 3 – MA03
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Le protocole du RSA repose sur le théorème suivant :
Théorème 4
Théorème du RSA
Soit p et q deux nombres premiers distincts et supérieurs ou égaux à 3. On pose
n = pq.
Si le nombre e est un entier premier avec m = ( p − 1)(q − 1), alors il existe un entier d
strictement positif tel que ed ≡ 1 mod ( p − 1)(q − 1) et, pour cet entier d et un entier
naturel A quelconque, on a : Aed ≡ A mod(n ).
Démonstration
왘Soit e un entier premier avec m. Montrons l'existence d’un entier d strictement
positif tel que ed ≡ 1 mod ( p − 1)(q − 1).
Comme e est premier avec m = ( p − 1)(q − 1), d’après le théorème de Bézout, il
existe un couple d’entiers (u 0 ; v 0 ) tel que eu 0 + ( p − 1)(q − 1)v 0 = 1.
On a eu0 – 1 = (p – 1)(q – 1)v0 donc eu0 }1 mod (p – 1)(q – 1).
Mais on veut : ed }1 mod (p – 1)(q – 1) avec d > 0, on peut remplacer u0 par
d = u0 + k(p – 1)(q – 1) où k est un entier relatif sans rien changer à la congruence
modulo (p – 1)(q – 1) On choisit donc k de telle sorte que :
d = u0 + k(p – 1)(q – 1) > 0.
Posons v = −v 0 + ke .
n a alors :
O
eu 0 + ( p − 1)(q − 1)v 0 = 1
⇔ e (d − k ( p − 1)(q − 1)) + ( p − 1)(q − 1)( −v + ke ) = 1
⇔ ed − ek ( p − 1)(q − 1) − v ( p − 1)(q − 1) +
ke ( p − 1)(q − 1) = 1
⇔ ed − v ( p − 1)(q − 1) = 1
⇔ ed = 1+ v ( p − 1)(q − 1) (*).
Ainsi, ed ≡ 1 mod ( p − 1)(q − 1).
On a trouvé un entier d strictement positif qui vérifie ed ≡ 1 mod ( p − 1)(q − 1).
왘
Montrons que pour tout entier naturel A, on a Aed ≡ A mod(n ).
Si p divise A alors A ≡ 0 mod( p ) et Aed ≡ 0ed ≡ 0 mod( p ) donc Aed ≡ A mod( p ).
Si p ne divise pas A, comme p est un nombre premier, p est premier avec A.
On peut alors utiliser le petit théorème de Fermat et A p −1 ≡ 1mod( p ).
Ce qui implique :
Av ( p −1)(q −1) ≡ 1v (q −1) mod( p )
≡ 1 mod( p ).
En utilisant l’égalité (*), on a Aed −1 ≡ 1mod( p ) et en multipliant par A, on a
Aed ≡ A mod( p ).
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Séquence 3 – MA03
Donc, pour tout entier naturel A, on a Aed ≡ A mod( p ).
On raisonne de la même façon avec q et on obtient, pour tout entier naturel A,
on a Aed ≡ A mod(q ).
Comme Aed ≡ A mod( p ) et Aed ≡ A mod(q ), cela signifie que Aed − A est un
multiple de p et un multiple de q. Comme p et q sont deux nombres premiers, cela
implique que Aed − A est un multiple de pq = n et donc que Aed ≡ A mod(n ).
Principe
Alice, l’émettrice, souhaite envoyer un message chiffré à Bob, le destinataire.
zCréation de la clé privée
Bob se donne un quadruplet de nombres (p ; q ; e ; d ) tel que : p et q sont deux
nombres premiers ; e est un entier premier avec le produit ( p − 1)(q − 1) et d est
un entier strictement positif tel que ed ≡ 1 mod ( p − 1)(q − 1). L’entier d constitue
la clé privée tenue secrète par Bob.
zCréation de la clé publique
On pose n = pq. Bob rend public le couple (n ; e) qui constitue la clé publique.
zCodage
Alice veut transmettre une information sous la forme d’un nombre A à Bob
avec A < n (si A ≥ n , elle transmet plusieurs nombres). Pour cela, elle calcule
B = Ae mod(n ) et envoie le nombre B à Bob.
zDécodage
Pour décoder B, Bob calcule B d ≡ Aed ≡ A mod(n ) , ce qui lui redonne A d’après
le théorème du RSA.
Exemple
t Création des clés
Prenons p = 31 et q = 47 donc ( p − 1)(q − 1) = 1380.
Prenons e = 71. On a bien PGCD (e , ( p − 1)(q − 1)) = 1.
Prenons d = 311. On a bien ed = 22081 = 16 × 1380 + 1 donc
ed ≡ 1 mod(( p − 1)(q − 1)).
On a : n = 1457.
t Codage
Alice veut transmettre le message « RSA » à Bob ; elle dispose de la clé (1457 ; 71).
Elle transforme chaque lettre en un nombre suivant le code A --> 01, B --> 02,
etc.
Ainsi, elle veut transmettre le code A = 181901. Elle le coupe en deux nombres
inférieurs à n, par exemple A1 = 181 et A2 = 901.
Elle doit calculer suivant A1e mod(1457) ≡ 18171mod(1457).
Séquence 3 – MA03
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En utilisant la compatibilité des congruences avec les puissances, en élevant
chaque égalité au carré et en réduisant, on obtient :
1812 ≡ 707 mod(1457) ;
1814 ≡ 98 mod(1457) ;
1818 ≡ 862 modd(1457) ;
18116 ≡ 1431 mod(1457) ;
18132 ≡ 676 mod(1457) ;
18164 ≡ 935 mod(1457) ;
puis 18164 + 4 = 18168 ≡ 935 × 98 mod(1457) ≡ 1296 mod(1457) ;
18168+ 2 = 18170 ≡ 1296 × 707 mod(1457) ≡ 1276 mod(1457) ;
18170+1 = 18171 ≡ 1276 × 181 mod(1457) ≡ 750 mod(1457).
Donc 18171 ≡ 750 mod(1457) ;
Elle procède de même avec A2 = 901 et elle obtient 90171 ≡ 64 mod(1457).
Alice transmet le code 750 064 à Bob.
t Décodage
Bob reçoit le code 750 064.
Il doit calculer 750311 mod(1457). En procédant comme Alice, il obtient :
7502 ≡ 98 mod(1457) ;
7504 ≡ 862 mod(1457) ;
7508 ≡ 143 mod(1457) ;
75016 ≡ 676 mod(1457) ;
75032 ≡ 935 mod(1457) ;
75064 ≡ 25 mod(1457) ;
750128 ≡ 625 mod(1457) ;
750256 ≡ 149 mod(1457) ;
puis 750256+ 32 = 750288 ≡ 149 × 935 mod(1457) ≡ 900 mod(1457) ;
750288+16 = 750304 ≡ 900 × 676 mod(1457) ≡ 831 mod(1457) ;
750304 + 4 = 750308 ≡ 831× 862 mod(1457) ≡ 935 mod(1457) ;
750308+ 2 = 750310 ≡ 935 × 98 mod(1457) ≡ 1296 mod(1457) ;
750310+1 = 750311 ≡ 1296 × 750 mod(1457) ≡ 181 mod(1457).
Donc 750311 ≡ 181 mod(1457).
Il procède de même avec 064 et obtient : 64 311 ≡ 911 mod(1457).
Le code 18 19 11 donne bien les lettres R, S et A.
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Séquence 3 – MA03
Remarque
D
Exercice 12
On utilise, en réalité, de très grand nombres n, p et q. L'inviolabilité du système
en dépend. La sécurité du RSA réside en la difficulté de factoriser n en produit de
deux nombres premiers : si l’on réussit à factoriser n, le calcul de d étant aisé, le
code est facile à briser.
Exercices d’apprentissage
On se donne les entiers premiers p = 13 ; q = 31 et e = 37. Chaque lettre sera
remplacée par son rang dans l’alphabet (A --> 001 ; B --> 002, etc.) et on fera
des blocs de trois chiffres.
Calculer la clé privée du chiffrement RSA d avec 0 ≤ d ≤ n.
Calculer la clé publique.
Chiffrer le message « TOM ».
Déchiffrer le message « 005 054 001 ».
Exercice 13
Nombres de Fermat
Définition
n
Les nombres de Fermat sont les nombres de la forme Fn = 22 + 1 avec n ∈ N.
Au XVIIe siècle, Pierre de Fermat émit la conjecture que ces nombres étaient premiers.
Partie A
a) En utilisant le tableur et une liste des nombres premiers inférieurs à 100 000,
écrire la liste des entiers 0 ≤ k ≤ 19 tels que k + soit un nombre premier.
2
1
b) Émettre une conjecture.
a) Pour x ≠ 1, écrire plus simplement ( − x )0 + ( − x )1 + ( − x )2 + ... + ( − x )k −1.
1− ( − x )k .
b) Pour x ≠ 1, en déduire une factorisation de
a) Pour x ≠ 1, montrer que si k est impair alors x k + 1 est divisible par x + 1.
xk +1
b) Pour x ≠ 1, en déduire que si k n’est pas une puissance de 2 alors
n’est pas premier.
À quelle famille appartiennent les nombres de la forme 2m + 1 qui sont pre-
miers ?
Partie B
Vérifier que F0 ; F1 ; F2 ; F3 et F4 sont des nombres premiers.
Qu’en est-il de F5 ? Que dire de la conjecture de Fermat ?
Séquence 3 – MA03
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Partie C
Vérifier que pour tout entier naturel n, Fn +1 = (Fn − 1)2 + 1 et en déduire que
Fn +1 − 2 = Fn (Fn − 2).
Montrer par récurrence que Fn +1 − 2 = F0 × F1 × ... × Fn .
Soit n < n’. Montrer qu’un diviseur commun de Fn et Fn divise 2.
En déduire que deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux.
Exercice 14
Nombres de Carmichael On sait, par le petit théorème de Fermat, que pour tout nombre premier p et
tout entier a, a p ≡ a [ p ]. La réciproque de ce résultat, appelée test de Fermat,
est fausse, c’est-à-dire qu'il existe des nombres vérifiant les congruences précédentes sans qu’ils soient premiers : ce sont les nombres de Carmichael.
Un nombre de Carmichael est un nombre entier n (n > 1) qui n’est pas premier et
pour lequel a n −1 ≡ 1[n ] pour tout entier a.
Soit n un nombre de carmichael.
Soit p un facteur premier de n. En utilisant p n ≡ p [n ], montrer que p 2 ne
divise pas n.
Le critère de Korselt permet de reconnaître un nombre de Carmichael à partir
de sa décomposition en produit de facteurs premiers. On admet le théorème
suivant :
Théorème de Korselt Un entier n est un nombre de Carmichael si, et seulement si, n est strictement
positif, non premier, sans facteur carré, et tel que pour tout premier p divisant
n, p − 1 divise n − 1.
a) Montrer que les nombres de Carmichael sont impairs.
b) Montrer qu’un nombre de Carmichael possède au moins trois facteurs premiers (distincts).
c) Vérifier que 561 est un nombre de Carmichael.
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Séquence 3 – MA03
5 Synthèse
A
Synthèse de la séquence
1. Plus grand commun diviseur
Propriété et Définition
Soit a et b deux entiers relatifs. On suppose que a et b ne sont pas tous les deux nuls.
Un entier qui divise a et b est appelé diviseur commun à a et b.
L’ensemble des diviseurs communs à a et b admet un plus grand élément appelé
plus grand commun diviseur de a et b et noté PGCD (a, b).
Notation
On note D(n ) l’ensemble des diviseurs d’un entier relatif n.
L’ensemble D (a ) ∩ D (b ) est alors l’ensemble des diviseurs communs à a et à b.
Propriété
Soit a et b deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.
zSi, dans leur décomposition en produit de facteurs premiers, a et b n’ont pas de
facteur premier commun, PGCD (a, b) = 1.
zSinon, le PGCD de a et de b est égal au produit des facteurs premiers communs
de a et de b, chacun d’eux étant affecté du plus petit exposant figurant dans la
décomposition de a et de b.
Remarques
Pour tous a, b de
Z,non tous deux nuls :
tøPGCD (a, b) est un entier strictement positif ;
PGCD (a, a) = |a| ; PGCD (a, 1) = 1 ; PGCD (a, 0) = |a| ;
PGCD (a, b) = PGCD (b, a) = PGCD (|a|, |b|).
t D (a ) ∩ D (b ) = D (PGCD(a , b )).
Séquence 3 – MA03
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Propriété
Si a divise b, alors PGCD (a, b) = |a |.
Propriété
Soit a un entier naturel et b un entier naturel non nul et a = bq + r la division euclidienne de a par b.
Alors :
(D (a ) ∩ D (b )) = (D (b ) ∩ D (a − bq ))
et donc
PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a – bq) et ainsi, PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r).
2. Entiers premiers entre eux
Définition
Entiers premiers entre eux
Soit a et b deux entiers relatifs non nuls.
Les entiers a et b sont premiers entre eux lorsque PGCD (a, b) = 1.
Propriété
Soit a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls.
Alors PGCD (a ; b) = PGCD (a – b ; b).
Propriété
Soit a et b deux entiers relatifs non nuls.
Soit PGCD (a, b) = d et a’ et b’ les entiers définis par a = da’ et b = db’.
Alors on a PGCD (a’, b’ ) = 1.
Théorème 1
Théorème de Bézout
Soit a et b deux entiers relatifs non nuls.
On a PGCD (a, b) = 1 si, et seulement si, il existe deux entiers relatifs u et v tels que
au + bv = 1.
La relation au + bv = 1 est appelée relation de Bézout.
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Séquence 3 – MA03
Théorème 2
Théorème de Gauss
Soit a, b et c des entiers.
Si a divise le produit bc et si a est premier avec b, alors a divise c.
Conséquences
Si deux entiers a et b premiers entre eux divisent un entier c, alors ab divise c.
Si un nombre premier p divise un produit ab, alors p divise a ou p divise b.
B
Exercice I
Exercices de synthèse
Démonstration du petit théorème de Fermat
Le but de cet exercice est de démontrer le théorème suivant ainsi que son corollaire.
Théorème
Soit n un entier.
Si p est un nombre premier ne divisant pas n, alors n p −1 ≡ 1[ p ].
Corollaire
Si p est un entier naturel premier et n est un entier naturel, alors n p ≡ n [ p ].
Partie A
Démonstration du théorème
Soit p un nombre premier. Soit n un entier non divisible par p. Soit E l’ensemble
E = {n ; 2n ; 3n ; … ; (p – 1)n }.
Montrer que p ne divise aucun élément de E.
Montrer que deux éléments de E ont des restes distincts dans la division eucli-
dienne par p.
En déduire que la liste non ordonnée des restes possibles dans la division
euclidienne par p des éléments de l’ensemble E est {1 ; 2 ; 3 ; … ; p – 1}.
Soit M le produit des éléments de E : M = n × 2n × 3n × ... × ( p − 1)n.
a) Montrer que M = ( p − 1)!n p −1.
b) Montrer que M ≡ ( p − 1)![ p ].
c) En déduire que ( p − 1)!(n p −1 − 1) ≡ 0 [ p ] puis que n p −1 ≡ 1[ p ].
Séquence 3 – MA03
41
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Partie B
Déduire le corollaire de la partie A.
Exercice II
Chiffrement de Hill
Partie A
« Inverse de 23 modulo 26 »
On considère l’équation (E) :
23 x − 26 y = 1, où x et y désignent deux entiers relatifs.
Vérifier que le couple (−9 ; −8) est solution de l’équation (E).
Résoudre alors l’équation (E).
En déduire un entier a tel que 0 ≤ a ≤ 25 et 23a ≡ 1 [26].
Partie B
On veut coder un mot de deux lettres selon la procédure suivante.
Étape 1
Chaque lettre du mot est remplacée par un entier en utilisant le tableau cidessous :
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M N
O
P
Q
R
S
T
U
V W X
Y
Z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
On obtient un couple d’entiers ( x 1 ; x 2 ) où x 1 correspond à la première lettre du
mot et x 2 correspond à la deuxième lettre du mot.
Étape 2
Le couple d’entiers ( x 1 ; x 2 ) est transformé en un couple d’entiers ( y 1 ; y 2 )de
telle sorte que :
z 0 ≤ y 1 ≤ 25 et 0 ≤ y 2 ≤ 25 ;
 y1 
zles coordonnées de 
 sont respectivement congrues aux coordonnées
 y 2 

  x
de  11 3  ⋅  1
 7 4   x 2

 modulo 26.

On résume les deux conditions suivantes en écrivant :
 y  
  x 
«  1  =  11 3  ⋅  1  (mod 26) ».
 y 2   7 4   x 2 
Étape 3
Le couple d’entiers ( y 1 ; y 2 ) est transformé en un mot de deux lettres en utilisant
le tableau de correspondance donné dans l’étape 1.
42
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Séquence 3 – MA03
Coder le mot ST.
On veut maintenant déterminer la procédure de décodage.
 11 3 
a) Déterminer l’inverse de la matrice M = 
.
 7 4 
b) À l’aide de la partie A, déterminer un « inverse de 23 modulo 26 ».
 x 1   16 1   y 1 
⋅
c) En déduire que « 
=
 (mod 26 ) ».
 x 2   11 5   y 2 
d) Décoder le mot YJ.
Exercice III
Problèmes des restes chinois Combien l’armée de Han Xing comporte-t-elle de soldats si, rangés par 3 colonnes,
il reste deux soldats, rangés par 5 colonnes, il reste trois soldats et, rangés par
7 colonnes, il reste deux soldats ?
Remarque
Exercice IV
Ce problème est tiré du livre de Sun Zi, mathématicien et astronome chinois, le
Sunzi suanjing, datant du IIIe siècle. Il est connu sous le nom de « Problèmes des
restes chinois ».
Dans cet exercice, a et b désignent des entiers strictement positifs.
a) Démontrer que s’il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv =1,
alors les nombres a et b sont premiers entre eux.
b) En déduire que si (a 2 + ab − b 2 )2 = 1, alors a et b sont premiers entre eux.
On se propose de déterminer les couples d’entiers strictement positifs (a ; b)
tels que (a 2 + ab − b 2 )2 = 1. Un tel couple sera appelé solution.
a) Déterminer a lorsque a = b.
b) Vérifier que (1 ; 1), (2 ; 3) et (5 ; 8) sont trois solutions particulières.
c) Montrer que si (a ; b) est solution et si a | b, alors (a 2 − b 2 ) < 0.
a) Montrer que si (x ; y) est une solution différente de (1 ; 1), alors (y − x ; x)
et (y ; y + x) sont aussi des solutions.
b) Déduire de b) trois nouvelles solutions.
On considère la suite de nombres entiers strictement positifs (an ) définie par
a0 = a1 = 1 et pour tout entier strictement positif n, an + 2 = an +1 + an .
Démontrer que pour tout entier n > 0, (an ; an +1) est solution.
En déduire que les nombres an et an +1 sont premiers entre eux.
Exercice V
Théorème de Wilson
Soit p > 5 un nombre premier et soit A = {2 ; ··· ; p −2}. Montrer que pour tout
x dans A, x 2 − 1 n’est pas divisible par p.
a) Soit x dans A. Prouver qu’il existe un entier u tel que xu ≡ 1mod( p ).
Séquence 3 – MA03
43
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b) En déduire l’existence d’un unique entier r de A, distinct de x, tel que
xr ≡ 1mod( p ).
c) Établir alors que 2 × 3 × ... × ( p − 2) ≡ 1 mod( p ), puis que ( p − 1)! ≡ −1 mod( p ).
La précédente congruence demeure-t-elle vérifiée pour les nombres premiers
p = 2 et p = 3 ?
Réciproquement, soit p > 2 tel que ( p − 1)! ≡ −1 mod( p ). Montrer, en utilisant
le théorème de Bézout, que p est premier.
En déduire le théorème de Wilson : un nombre p est premier si, et seulement
si, ( p − 1)! + 1 ≡ 0 mod( p ).
Exercice VI
Dans cet exercice, on pourra utiliser le résultat suivant :
« Étant donné deux entiers naturels a et b non nuls, si PGCD(a ; b) = 1, alors
PGCD(a 2 ; b 2 ) = 1. »
n
3
Une suite ( Sn ) est définie pour n > 0 par Sn = ∑ p .
p =1
On se propose de calculer, pour tout entier naturel non nul n, le plus grand commun diviseur de Sn et Sn +1.
2
 n (n + 1) 
Démontrer que pour tout n > 0, on a : Sn = 
.
 2 
Étude du cas où n est pair.
Soit k l’entier naturel non nul tel que n = 2k.
(
a) Démontrer que PGCD(S 2k ; S 2k +1) = (2k + 1)PGCD k 2 ; (k + 1)2
b) Calculer PGCD (k ; k +1).
c) Calculer PGCD (S 2k ; S 2k +1).
Étude du cas où n est impair.
Soit k l’entier naturel non nul tel que n = 2k +1.
a) Démontrer que les entiers 2k +1 et 2k +3 sont premiers entre eux.
b) Calculer PGCD(S2k +1 ; S2k + 2 ).
Déduire des questions précédentes qu’il existe une unique valeur de n, que
l’on déterminera, pour laquelle Sn et Sn +1 sont premiers entre eux.
Exercice VII
On considère l’équation (E) :
17x −24y =9, où (x, y) est un couple d’entiers relatifs.
a) Vérifier que le couple (9 ; 6) est solution de l’équation (E).
b) Résoudre l’équation (E).
44
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Séquence 3 – MA03
Dans une fête foraine, Jean s’installe dans un manège circulaire représenté par
le schéma ci-dessous :
A
E
F
D
B
H
G
C
Il peut s’installer sur l’un des huit points indiqués sur le cercle. Le manège comporte un jeu qui consiste à attraper un pompon qui se déplace sur un câble
formant un carré dans lequel est inscrit le cercle. Le manège tourne dans le sens
des aiguilles d’une montre, à vitesse constante. Il fait un tour à vitesse constante.
Il fait un tour en 24 secondes. Le pompon se déplace dans le même sens à vitesse
constante. Il fait un tour en 17 secondes. Pour gagner, Jean doit attraper le pompon, et il ne peut le faire qu’aux points de contact qui sont notés A, B, C et D sur
le dessin. À l’instant t = 0, Jean part du point H en même temps que le pompon
part du point A.
a) On suppose qu’à un certain instant t, Jean attrape le pompon en A. Jean a
déjà pu passer un certain nombre de fois en A sans y trouver le pompon.
À l’instant t, on note y le nombre de tours effectués depuis son premier
passage en A et x le nombre de tours effectués par le pompon. Montrer que
(x, y) est solution de l’équation (E) de la question 1.
b) Jean a payé pour 2 minutes. Aura-t-il le temps d’attraper le pompon ?
c) Montrer qu’en fait il n’est possible d’attraper le pompon qu’au point A.
d) Jean part maintenant du point E. Aura-t-il le temps d’attraper le pompon en
A avant les deux minutes ?
왎
Séquence 3 – MA03
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