N°5 - Marcq Institution

3ème
DS de mathématiques n°5
Jeudi 19 mars 2015
1h50 – Calculatrice autorisée
Exercice 1 (5 points) Les étapes des calculs sont exigées.
Ecrire sous la forme + √ où a et b sont des entiers relatifs et b est l’entier positif le
plus petit possible.
A = √2 + 2√5 3√5 − √2 − 2 √10 + 3
; B = 5√63 + 6√7 − √28 ; C = 4 + 3√5
Exercice 2 (8 points)
On propose deux programmes de calcul :
Programme A :
Choisir un nombre.
Ajouter 3.
Calculer le carré du résultat obtenu.
Programme B :
Choisir un nombre.
Soustraire 5.
Calculer le carré du résultat obtenu.
1) On choisit 1 comme nombre de départ.
a. Quel résultat obtient-on avec le programme A ?
b. Quel résultat obtient-on avec le programme B ?
c. Peut-on en conclure que ces deux programmes de calcul conduisent toujours aux
mêmes résultats pour un même nombre de départ ? Justifier.
2) Quel(s) nombre(s) de départ faut-il choisir pour le résultat du programme A soit égal
au résultat du programme B ?
3) Quel(s) nombre(s) de départ faut-il choisir pour le résultat du programme A soit 0 ?
Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même
infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Exercice 3 (5 points)
x désigne un nombre positif.
Le triangle RST est-il rectangle en R quelle que
soit la valeur de x ? Justifier la réponse.
Exercice 4 (3 points)
1) Factoriser l’expressionE = ( + 5) − ( + 5)( − 5)
2) En déduire, sans calculatrice, la valeur de 1 0052 – 1 005 × 995
Exercice 5 (4 points) Le dessin n’est pas à l’échelle.
Quand l’avion reliant Nantes à Toulouse
n’est plus très loin de l’aéroport de
Toulouse, le radar de la tour de contrôle
émet un signal bref en direction de l’avion.
Le signal atteint l’avion et revient au radar 0,000 3 seconde après son émission.
1) Sachant que le signal est émis à la vitesse de 300 000 km/s, vérifier, qu’à cet instant,
l’avion se trouve à 45 km du radar de la tour de contrôle.
2) La direction du radar forme un angle de 5° avec l’horizontale. Calculer alors l’altitude
de l’avion à cet instant, arrondie à la centaine de mètres près. On négligera la
hauteur de la tour de contrôle.
Exercice 6 (3 points)
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse.
Affirmation 1 : Dans un triangle ABC rectangle en A, AB = 5 et ACB = 57°, la valeur
exacte de AC est donc 5 tan 57° .
Affirmation 2 : Si a est un angle aigu, cos a =
√
et sin a =
, alors tan a =
√
.
Exercice 7 (6 points)
Collées sur une vitrine, de grandes affiches annoncent une réduction de 30 % sur toute
la boutique.
1) Un article coûtant x € est soldé. Exprimer son nouveau prix p(x) en fonction de x.
2) Calculer le nouveau prix d’une jupe initialement à 20 €.
3) Calculer le prix initial d’un pull dont le prix soldé est 38,50 €.
4) Pour les personnes possédant une carte de fidélité, le magasin accorde une remise
supplémentaire de 10 % sur le prix soldé. Déterminer le pourcentage de la réduction
globale, entre le prix initial et le prix après la seconde réduction.
Exercice 8 (6 points) Un peu de Physique
En physique, la tension U aux bornes d’une "résistance" est proportionnelle à l’intensité I
du courant qui la traverse, c’est-à-dire U = R × I où R (valeur de résistance) est le
coefficient de proportionnalité.
On rappelle que l’unité d’intensité est l’ampère et que l’unité de tension est le volt.
Intensité I (en ampères)
0,02
0,03
0,04
0,08
Tension U (en volts)
3
4,5
6
12
1) a. Vérifier que ce tableau est un tableau de proportionnalité. Justifier clairement.
b. Quel est le coefficient de proportionnalité ?
c. Calculer la tension U si l’intensité I vaut 0,07 ampères.
On nomme f la fonction qui donne la tension U en fonction de l’intensité I.
2) Préciser la nature de la fonction f et donner l’expression algébrique de f (I).
3) Dans le repère en annexe (à coller sur la copie), tracer la représentation graphique de
la fonction f.
4) a. Lire graphiquement l’intensité quand U = 10 volts (donner une valeur approchée
avec la précision permise par le graphique).
b. Déterminer par le calcul la valeur exacte de l’intensité quand U = 10 volts.
Annexe : repère pour l’exercice 8 (à coller sur la copie)
3ème
Correction du DS de mathématiques n°5
Exercice 1 (5 points)
A = √2 + 2√5 3√5 − √2 − 2 √10 + 3
A = 3√10 − 2 + 6 × 5 − 2√10 − 2√10 − 6
A=
−√
C = 4 + 3√5
= 4 + 2 × 4 × 3√5 + 3√5
B = 5√63 + 6√7 − √28
B = 5 √9 × √7 + 6 √7 − √4 × √7
B = 5 × 3 × √7 + 6 √7 − 2√7
B = 15√7 + 6√7 − 2√7
= √
= 16 + 24√5 + 9 × 5 =
+
√
Exercice 2 (8 points)
1) a. (1 + 3)2 = 42 = 16
ou 1 + 3 = 4 et 42 = 16
Avec le programme A et 1 comme nombre de départ, on obtient 16.
b. (1 – 5)2 = (– 4)2 = 16 ou 1 – 5 = – 4 et (– 4)2 = 16
Avec le programme B et 1 comme nombre de départ, on obtient 16.
c. Pour 1, on obtient le même résultat, mais cela ne veut pas dire que ce soit le cas
pour tout nombre, on ne peut pas généraliser à partir d’un cas.
Si on choisit x, on obtient (x + 3)2 avec A et (x – 5)2 avec B.
ou Si on choisit 0, on obtient (0 + 3)2 = 32 = 9 et (0 – 5)2 = (– 5)2 = 25
(x + 3)2 – (x – 5)2 = 0
[(x + 3) + (x – 5)] [(x + 3) – (x – 5)] = 0
(x + 3 + x – 5) (x + 3 – x + 5) = 0
2
2
x + 6x + 9 = x – 10x + 25
ou
(2x – 2) × 8 = 0
16x = 16
2x – 2 = 0
x=1
x=1
Les résultats sont égaux si on choisit 1.
2) Soit x le nombre choisi,
programme A = programme B
(x + 3)2 = (x – 5)2
3) Si on choisit x, on obtient (x + 3)2 avec le programme A.
(x + 3)2 = 0 lorsque x + 3 = 0 soit x = – 3 Il faut choisir (– 3) pour avoir 0.
Exercice 3 (5 points)
ST2 = (5x + 15)2 = 25x2 + 150x + 225
RS2 + RT2 = (3x + 9)2 + (4x + 12)2 = 9x2 + 54x + 81 + 16x2 + 96x + 144 = 25x2 + 150x + 225
donc ST2 = RS2 + RT2
d’après le théorème de Pythagore, RST est donc rectangle en R pour tout x.
Exercice 4 (3 points)
1) E = ( + 5) − ( + 5)( − 5) = ( + 5)( + 5) − ( + 5)( − 5) =
E = ( + 5)[( + 5) − ( − 5)] = ( + 5)( + 5 − + 5) = ( + )
2) Pour x = 1 000, E = (1 000 + 5)2 – (1 000 + 5) × (1 000 – 5) = 1 0052 – 1 005 × 995
et E = 10( + 5) = 10 × (1 000 + 5) = 10 × 1 005 = 10 050
2
donc 1 005 – 1 005 × 995 = 10 050
Exercice 5 (4 points)
=
1)
et distance = 2 × RA car le signal va à l’avion puis revient
donc 2 RA = vitesse × temps = 300 000 × 0,0003 = 90 km
d’où RA = 90 : 2 = 45 km
L’avion se trouve bien à 45 km du radar de la tour de contrôle
2) Dans AIR rectangle en I, sin ARI =
donc AI = AR × sin ARI = 45 sin 5 ≈ 3,9 km
L’altitude de l’avion à cet instant est 3,9 km.
Exercice 6 (3 points)
L’affirmation 1 est fausse.
Dans le triangle ABC rectangle en A, tan ACB =
donc AC =
=
L’affirmation 2 est vraie.
tan a =
=
√
1
2
2
√3
= ×
=
1
√3
=
√3
3
.
Exercice 7 (6 points)
1) p(x) = 1 −
= 0,7 .
2) p(20) = 0,7 × 20 = 14. Le prix soldé de cette jupe est 14 €.
3) On cherche x tel que p(x) = 38,50 soit 0,7 x = 38,5 donc x = 38,5 : 0,7 = 55
Ce pull coûtait initialement 55 €
4) 0,7 × 1 −
= 0,7 × 0,9 = 0,63 =
La remise totale est de 37 %
=
=1−
Exercice 8 (6 points = 1+0.5+1 + 1 + 1 + 0.5+1)
1) a. 3 : 0,02 = 150 ; 4,5 : 0,03 = 150 ; 6 : 0.04 = 150 et 12 : 0,08 = 150
Les quatre quotients sont égaux donc c’est bien un tableau de proportionnalité.
b. Le coefficient de proportionnalité est 150.
c. U = 150 × I = 150 × 0,07 = 10,5 ou 0,07 = 0,03 + 0,04 donc U = 4,5 + 6 = 10,5
La tension U est 10,5 volts si l’intensité I vaut 0,07 ampères.
2) f est linéaire et f (I) = 150 I.
3) On trace la demi-droite qui passe par l’origine du repère et le point de coordonnées (0,08 ; 12)
4) a. Graphiquement, l’intensité est d’environ 0,065 ampères quand U = 10 volts
b. On cherche I tel que 150 I = 10, donc I =
=
L’intensité est de
ampères.