Rend. Sem. Mat. Univ. Poi. Torino Voi. 52, 4 (1994) M. Guediri SUR LA COMPLÉTUDE DES PSEUDO-MÉTRIQUES INVARIANTES A GAUCHE SUR LES GROUPES DE LIE NILPOTENTS Abstract. We prove that every left-invariant pseudo-riemannian metric on a 2-step nilpotent Lie group is geodesically complete, and give an example of a non-complete left-invariant Lorentz metric on a 3-step nilpotent Lie group. Introduction Le problème de la complétude d'une métrique pseùdo-riemannienne est très différent du cas riemannien, puisque la métrique ne définit plus une distance. Il existe par exemple des métriques homogènes non cpmplètes. L'exemple le plus simple d'une telle situation est celui du groupe affine A(1,R), autrement dit du groupe de Lie résoluble non abélien de dimension 2, muni d'une métrique Lorentzienne invariante à gauche. Dans cet article, on se propose d'étudier le cas nilpotent en montrant que toutes les métriques pseudo-riemanniennes invariantes à gauche sur un groupe de Lie 2-nilpotent sont géodésiquement complètes. De plus, nous donnons un exemple d'une métrique Lorentzienne invariante à gauche (incomplète) sur un groupe de Lie 3-nilpotent. Le cas résoluble fera Tobjet d'une publication ultérieure. 1. Géodésiques des métriques invariantes a gauche Soit G un groupe de Lie, et soit Q son algebre de Lie. On sait què la donnée d'une métrique pseudo-riemannienne invariante à gauche sur G équivaut à celle d'une forme quadratique non dégénérée sur Q. De plus, toute courbe de classe C1 t i-» c(t) de G est déterminée à une translation à gauche près par la courbe L~}t.c(t) de Q. Affirmation. Les courbes de Q associées aux géodésiques sont les solutìons de Véquation x = ad*xx où ad% est Vadjoint de adx relativement au produit scalaire sur Q. (*) 372 M. Guediri Preuve. Ceci découle immédiatement de la formule (voir [C-E]) VX,Y€G VXY =\{[X,Y]-ad*xY-ad*YX} où V est la connexion de Levi-Civita associée à la métrique. • 2. Cas semi-simple Dans le cas d'un groupe de Lie semi-simple G, la donnée d'une métrique pseudoriemannienne invariante à gauche g sur G est aussi equivalente à celle d'un isomorphisme linéaire If-adjoint (fi de Q; K étant la forme de Killing (non dégénérée) de Q. De plus, g et (fi se déterminent mutuellement par la relation VX,YeG ge(X,Y)=K((fi(X),Y). D'autre part, l'équation (*) s'écrit maintenant Dans [G-L] nous avons établi le résultat suivant. Si la métrique invariante à gauche sur 57(2, R ) définie par l 'endomorphisme (fi est Lorentzienne, elle n 'est complète que dans les deux cas suivants THÉORÈME. a) 4> admet un sous-espace propre de dimension 2 au moins. b) (fi est diagonalisable sur R, admet deux valeurs propres opposées, et les vecteurs propres associés engendrent un espace Lorentzien. REMARQUE Ce théorème implique qu'un groupe de Lie semi-simple (non compact) admet des métriques pseudo-riemanniennes invariantes à gauche non-complètes. En effet, l'algebre de Lie d'un tei groupe contient toujours une sous-algèbre de Lie isomorphe à 5/(2, R ) . Si on choisit (fi laissant cette sous-algèbre invariante, le sous-groupe correspondant sera totalement géodésique. D'autre part, on sait que tout groupe de Lie semi-simple admet des sous-groupe discrèts co-compacts, on obtient ainsi une foule d'espaces pseudo-riemanniens compacts localement homogènes et non-complets. 3. Cas nilpotent Rappelons qu'un groupe de Lie N d'algebre de Lie N est dit 2-nilpotent si [M,M]cZ où Z est le centre de A/\ Autrement dit Va; e Af ad2x= 0. 373 Sur la completitele des pseudo-métriques L'exemple classique d'un tei groupe est le groupe de Heisenberg H2p+i dont le centre est de dimension 1. 3.1. L'objet de cet article est le résultat suivant. Toutes les métrìques pseudo-riemanniennes invariantes à gauche sur un groupe de Lie 2-nilpotent soni géodésiquement complètes. THÉORÈME. Preuve. Soit N un groupe de Lie 2-nilpotent, A/" son algebre de Lie, et Z le centre de M. Par la suite, on designerà par (•, •) le produit scalaire (indéfini) sur H provenant de la métrique invariante à gauche ainsi considérée. Cas où (•, )|2 est non degènere. Soit li le supplémentaire orthogonal à Z, c'est-à-dire : N = U@Z et(Z,U)=0. Il existe donc une application j : Z —> End(U)\ définie par j(z)y = ad*yz VyeU , zeZ.- G'est-à-dire <j(z)v,V) = (z,[yìV]) WeAf. Affirmation. Pour x e Af , y eU et z e Z', on a l)ad*y = 0 2) ad*zx ='0 Preuve. On a WeAf (ad*yy,V) = (y,[y,V}) or [2/,'V] G Z , d'où 1). L'égalité 2) est evidente. • Cela étant, si e est une géodésique de N et si on pose L c~à*éW = y(f) + *(*) avec l'équation (*) s'écrit z=0 i/W e u » z(f)G z » 374 M. Guediri En posant 2(0) = ZQ et A = j(zo) , on obtient v = Mv)Cette équation avec la condition initiale y(0) = yo admet pour solution y{t) = etAy0 Par consequent, la géodésique e est prolongeable ; la metrique est donc complète. Cas où (-,-)\z est degènere. Faisons la preuve pour le cas Lorentzien, le cas general n'est pas très différent. Par hypothèse, le sous-espace Z est tangent au cóne isotrope. Par consequent, on peut trouver b e Z et Z\ un sous-espace euclidien de Z tels que Z = Rb@Z1 , {b,b) = {b,Z1)=-Q. D'autre part, dans Z± , on peut trouver un vecteur e tei que < c , c ) = 0 , (6,c) = - l . Autrement dit, on a la décomposition orthogonale suivante M = Vect{b,c] (&U\ © Z\ avec (•, •)\Ul$Zl definì positif. L'application j est, cette fois-ci, définie comme suit j : Zi®Rc-+ End{Vect{b, e} 0 Wi). LEMME. Avec tes mèmes notations précédentes on a : j(c)ceUu j(zi)ceUi, Preuve. directe. j{c)yieUi®Rb, j(c)b = 0 Jiz^yxeUxQRb, j(zi)b=0. • Considérons une géodésique e de N, et posons : L c(t)*òW)= z(f)b+y(t)c+2/1 L'équation (*) s'écrit maintenant w + ^iw avec 2/1G w i ' * i G ^i- zb + yc + yi 4-ii = 2/(j (21 )c) +.7(21)2/1 + y2(j(c)c) + 2/W(c)2/i)D'après le lemme précédent, le membre de droite de l'expression ci-dessus, est dans U\®Rb. On en déduit en particulier que y = zi = 0. Sur la completitele des pseudo-métriques 375 D'autre part, comme j(zi)b.= homogène suivant : j(c)b = 0 , on a donc le système linéaire non (zb + yi)f = j(zi0 + y0c)(zb + 2/1) + 2/0(7(210 -\-yoc)c) avec z10 = 2i(0),?/o = 2/(0). On l'écrira de fa?on compacte X = 'À(X) + b. Ainsi, la géodésique e est prolongeable, et la métrique est donc complète. Le cas general se traile exactement de la mème fagon qu'auparavant. Dans ce cas on aurait une décomposition orthogonale de type : JV=-^Vec*{6i,Ci}eWie2i.La preuve du théorème est ainsi achevée. • 3.2. Un exemple d'une pseudo-métrique 3-nilpotente incomplète Soit l'algebre de Lie nilpotente Q± , doni {ei,...., e A} est une base telle que [ei,e 2 ] = e3 , [ei,e3] = e 4 , les autres crochets étants nuls. Le centre de Q± qu'on noterà Z est réduit à la droite Re4. De plus, on voit bien que C/4 n'est pas 2-nilpotente, mais 3-nilpotente. Considérons le groupe de Lie 3-nilpotent (simplement connexe) qu'on note G4 , associé à £4. Soit (•, •) le produit scalaire (Lorentzien) sur C?4 défìni par : (ei,ei> = - 1 , (e^ei) = 1 et (e^ej) = 0 avec i ^ j . PROPOSITION. La métrique Lorentzienne invariante à gauche sur G\ associée au produit scalaire .(•,•) n'est pas complète. Preuve. On vérifìe aisément que ad*eie3 = e2, ad^e^ = - e 3 , ad*2e3 = -e\ et ad*3e4 = e\ et que les autres termes sont tous nuls. L'équation (*) s'écrit donc X\ = X3(x2 x2 = X1X3 X3 = X\X£ X4 = 0 +£4) ( x 376 M. Guediri avec L^c(t) = ^2xi(t)ei. On a : Cxi — X3X3 = 0 où C = X4(t) = cte. D'où : 2Cx2 = x\ + m. D'autre part : -x\ -\-x\ + x\ + C2 = e. Supposons C ^ 0 , et plac,ons nous sur le niveau e = ?n = 0 ; on trouve Autrement dit Gette expression portée dans la iroisième équation de (**), donne : Donc x3 tend versi'infini en un temps fini, et la métrique n'est pas complète. • Remerciements. Je remercie vivement le professeur J. Lafontaine qui m'a aidé à réaliser ce travail. REFERENCES [C-E] CHEEGER J., EBIN D., Comparison theorems in Riemannian geometry, North-Holland, 1975. [G-L] GUEDIRI M., LAFONTAINE J., Sur la complétude des variétés pseudo-riemanniennes, J. Geom.Phys. 15(1994), 1-9. Mohammed GUEDIRI C.N.R.S., Unite 1407 Département de Mathématiques, Université Montpellier II Place Eugène Bataillon, 34095 Montpellier Cedex 5, France. Lavoro pervenuto in redazione il 14.3.1994 e, informa definitiva, il 30.6.1994.