Calcul précis de la limite de Roche ( )

Calcul précis de la limite de Roche
ROCHE Edouard, 1820-1883, astronome français qui étudia les anneaux de saturne.
R
r
A
P
Masse = M
O
Masse = m
OP = D
On considère un satellite hypothétique sphérique, de centre O et de rayon r. Sa masse
volumique supposée constante sera notée s . On suppose qu’il possède une orbite circulaire
autour de la planète (Saturne), de rayon OP = D. La planète est caractérisée par son centre P
et sa masse M. Le satellite est, lui, de centre O, de rayon r, et de masse m.
Un point A du satellite est soumis à une force de la part de Saturne, force dépendante
de la distance PA. Deux points différents sont donc soumis à deux forces distinctes. Il en
résulte une attraction différentielle de Saturne sur le satellite. Si cette attraction différentielle
dépasse l’attraction gravitationnelle propre du satellite (responsable de sa cohésion), celui-ci
est détruit. Ce phénomène se produit à l’intérieur d’une zone sphérique entourant la planète et
dont le rayon est appelé "limite de roche" noté RR par la suite.
L’accélération aOS du centre O du satellite dans le référentiel "saturnocentrique" ainsi
que l’accélération aMS du point A défini sur la figure ( tel que P, A et O sont alignés) et supposé
solidaire du satellite sont données par :
aOS  
GM
er
D2
(O et A sont soumis à la force de gravitation exercée par la planète)
aMS  
GM
D  r 
2
er
On se place maintenant dans le référentiel du satellite (non galiléen), auquel on associe un
repère d’origine O. En supposant que le point M possède la masse m0 (négligeable devant la
masse m du satellite) et qu’il est soumis à l’attraction de Saturne et à celle du satellite, son
accélération
a AO est donnée par :
f S  f e  f C  f O  m0 a AO
f S : force gravitationnelle exercée par S définie par:
1/4
fS  
GMm0
D  r 
2
er
Gmm0
er
r2
Gm0M
fe 
er
D2
fO 
f O : force gravitationnelle exercée par O définie par:
f e : force d’inertie d’entraînement définie par:
f C : force de Coriolis
Au moment de la destruction, la vitesse de M dans le référentiel considéré est nulle, donc
fc=0. D’où :

M
m M
a AO  G  

 2  er
2
2
r
D 
D

r



Lorsque M n’est plus solidaire du satellite, et en posant a AO  aAO er , on a alors aAO  0
. r>>R donc :
1
D  r 
2

1
r 

D 2 1  
 D
2

1 
r 
1 2 
2 
D 
D
et
 1
 M
1
r 
r
M 2 

1

1

2


2
M



2
2
3
D

D
D
D


D  r  


m
r
m
M 3
3

2
M


D

2
r
r2
D3
r2
m
La limite de Roche est donc telle que :
D3  2
M 3
r
m
4
4 3
3
où : M  P  R et m  S  r
3
3
et
RR 
3
2 P
S
P R 3
 R  2r
S r 3
3
R
R  1, 26 3
3
P
R
S
En réalité il faut pratiquement multiplier cette valeur par 2. Cela est dû au fait que le
satellite prend une forme ovoïde à cause de l'effet de marée. La partie la plus proche de la
planète est plus éloignée du centre du satellite que sa valeur moyenne R :
RR  2, 45 3
P
M
R  2, 45 3 r
S
m
La limite de Roche a été calculée avec le modèle simplifié précédent.
Système
Terre - Lune
Soleil - Terre
Mars - Phobos
Mars - Deimos
Jupiter - Io
Limite de
Distance (km)
Roche (km)
17 000
300 000
1 300 000
150 000 000
10 000
9 400 !
10 000
23 400
116 000
422 000
2/4
Shoemaker Levy
3/4
4/4