0 о est colinéaire à tout vecteur : 0 о = 0u , quel que soit u . AI et DC

Bases et repères de l’espace
0 Vecteurs colinéaires
Définition
r
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r
Deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que v = k u ou
r
r
u = kv .
Remarque
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r
0 est colinéaire à tout vecteur : 0 = 0 u , quel que soit u .
Exemples
1
DC .
2
AB et GH sont colinéaires : AB = − GH .
AB et AD ne sont pas colinéaires.
AI et DC sont colinéaires : AI =
1 Caractérisation d'une droite
Les théorèmes suivants sont la généralisation dans l'espace de propriétés vraies dans le plan.
Théorème
r
Soit A un point et u un vecteur non nul.
r
L'ensemble des points M pour lesquels il existe un réel k tel que AM = k u est une droite.
r
r
Notation : (A, u ) = {M ∈ E / ∃ k ∈ AM = k u }.
Théorème et définition
r
r
Pour M ∈ (A, u ), le réel k tel que AM = k u est unique.
r
r
(A, u ) est appelé repère de cette droite. u est appelé base ou vecteur directeur de cette droite.
Théorème
r
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r
(A, u ) // (B, v ) si et seulement si u et v sont colinéaires.
Théorème
A, B et C sont alignés si et seulement si AB et AC sont colinéaires.
Théorème
Lorsque A ≠ B et C ≠ D : (AB) // (CD) si et seulement si AB et CD sont colinéaires.
2 Caractérisation d'un plan
Théorème
r
r
Soit A un point et u et v deux vecteurs non colinéaires.
r
r
L'ensemble des points M pour lesquels il existe deux réels α et β tels que AM = α u + β v est
un plan.
r r
r
r
Notation : (A, u , v ) = {M ∈ E / ∃ (α, β) ∈ 2 AM = α u + β v }.
Théorème et définition
r r
r
r
Pour M ∈ (A, u , v ), les réels α et β tels que AM = α u + β v sont uniques.
r r
r r
(A, u , v ) est appelé repère de ce plan. ( u , v ) est appelée base de ce plan.
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3 Plans et droites parallèles
Définition [combinaison linéaire de vecteurs]
Soit u1 , u 2 , …, u n n vecteurs de l'espace.
r
α 1 , α 2 , …, α n étant des réels, tout vecteur de la forme u = α 1 u1 + α 2 u 2 + … + α n u n
s'appelle une combinaison linéaire de u1 , u 2 , …, u n . Les réels α 1 , α 2 , …, α n s'appellent
les coefficients de cette combinaison linéaire.
Définition [vecteurs coplanaires]
r r
r
Soit u , v et w trois vecteurs.
r r
r
u , v et w sont coplanaires si et seulement si l'un des trois est combinaison linéaire des deux
autres.
Exemples
AI , BF et CH sont coplanaires : CH = BF − 2 AI .
AB , AD et AE ne sont pas coplanaires.
Remarques
r
r
r
1) Si l'un des trois vecteurs est nul, ils sont coplanaires : 0 = 0 v + 0 w .
r
r
r r r
r
2) Si par exemple u et v sont colinéaires, alors quel que soit w , u , v et w sont coplanaires
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r
r
r
r
car si u = k v , alors u = k v + 0 w .
r
r
r
3) Si deux des trois vecteurs ne sont pas colinéaires, et si u = α v + β w , alors il est possible
r
β r
1 r
d'exprimer l'un des trois en fonction des deux autres. Par exemple, v = − u −
w.
α
α
Théorème [lien entre points coplanaires et vecteurs coplanaires]
Soit A, B, C et D quatre points de l'espace.
A, B, C et D sont coplanaires si et seulement si AB , AC et AD sont coplanaires.
Théorème [parallélisme de droites et de plans]
r
r r
r r
r
La droite (A, u ) et le plan (B, v , w ) sont parallèles si et seulement si u , v et w sont
coplanaires.
Conséquence
(AB) // (CDE) si et seulement si AB , CD et CE sont coplanaires.
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4 Repère de l’espace
Théorème [décomposition d'un vecteur de l'espace]
r r
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Soit un point A, et u , v et w trois vecteurs non coplanaires.
Alors pour tout point M de l'espace, il existe un et un seul triplet de réels α, β et γ tels que
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r
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AM = α u + β v + γ w .
Définitions [repère, base de l'espace]
r r
r
Soit un point A, et u , v et w trois vecteurs non coplanaires.
r r r
( u , v , w ) s'appelle une base de l'espace.
r r r
(A, u , v , w ) s'appelle un repère de l'espace.
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r
r
Les réels α, β et γ tels que AM = α u + β v + γ w s'appellent les coordonnées de M ou de
r r r
AM dans le repère (A, u , v , w ).
Notations : M(α, β, γ ) ou AM (α, β, γ ).
r r r
α s'appelle l'abscisse de M ou de AM dans le repère (A, u , v , w ).
r r r
β s'appelle l'ordonnée de M ou de AM dans le repère (A, u , v , w ).
r r r
γ s'appelle la cote de M ou de AM dans le repère (A, u , v , w ).
Théorème
r r r
Soit A(xA, yA, zA) et B(xB, yB, zB) dans un repère (O, i , j , k ).
Alors AB (xB − xA,yB − yA, zB − zA).
Et le milieu I de [AB] a pour coordonnées I(
xA + xB y A + yB z A + zB
,
,
).
2
2
2
Théorème
r
r
Soit u (x, y, z) et v (x', y', z'), et k ∈ .
r r
r
Alors u + v (x + x', y + y', z + z') et k u (kx, ky, kz).
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