cours ch 2

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2 / vecteurs dans l’espace
(les exercices d’application seront à traiter avec l’aide du logiciel atelier géométrie 3)
coordonnées dans l’espace
   
 O, i , j 
 on a deux coordonnées : x (abscisse) et y
Dans le plan rapporté à un repère 
(ordonnée).
    
 O, i , j , k 
 et on a trois coordonnées : x (abscisse), y
Dans l’espace, le repère devient 
(ordonnée) et z (cote). Un repère de l’espace se représente ainsi en perspective cavalière :
Sachant que ABCDEFGH est un cube,
donnez les coordonnées des points dans le
repère imposé :
A

 
 

( A; AD, AB , AE )

 
 

( A; AB , AD, AE )

 
 

( D; DC , DA, DH )
B
C
D
E
F
2
Avec la figure ci-dessous, calculez les coordonnées des points :
A
B
C
D
E
F
G
H


Les coordonnées de deux vecteurs se calculent exactement comme dans le plan : AB a pour
coordonnées (xB – xA, yB – yA, zB – zA).
En utilisant la même figure, calculez les coordonnées des vecteurs :









AB
CD
EF
GH
GE
GA
EH
BF
Avec les figures ci-dessus donnez les coordonnées complètes des points :
A
B
C
A
B
C
3
Milieu d’un segment
On généralise la formule apprise dans le plan : le milieu du segment [AB] a pour coordonnées
 x A  xB 


 2

 y A  yB 


2


 z A  zB 
 2



Vecteurs colinéaires

La colinéarité des vecteurs correspond au parallélisme des droites : ainsi les vecteurs AB et

CD sont colinéaires si et seulement si les droites (AB) et (CD) sont parallèles.




Deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si l’un est multiple de l’autre.


En clair, il existe un réel k tel que u  k v .
Par voie de conséquence, les droites qui les supportent sont parallèles.
Pour démontrer que deux vecteurs sont colinéaires, il suffit de vérifier que leurs coordonnées
sont proportionnelles.
Dans la configuration ci-contre, donnez les
coordonnées du point M (centre de gravité du
triangle EGB). Démontrez que les trois points
D, M et F sont alignés.
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Vecteurs coplanaires
Deux vecteurs sont toujours coplanaires. La condition ne s’étudie donc que pour au moins
trois vecteurs.



On dit que les trois vecteurs u , v et




w sont coplanaires, si les quatre points O, A, B et


C définis par OA  u , OB  v et OC  w sont coplanaires.



Comment démontrer que trois vecteurs u , v et w sont coplanaires ?
1) on prouve que les quatre points correspondants O, A, B et C sont coplanaires ;
2) on démontre que l’un des vecteurs est combinaison linéaire des deux autres, par






exemple qu’il existe deux réels  et  tels que w   u   v .
3) on montre que le déterminant de leurs coordonnées est nul.
Dans un cube ABCDEFGH, I et J sont les milieux de [AD] et [BC]. Démontrez que les




vecteurs BF , AD et AH sont coplanaires.
Dans un pavé droit ABCDEFGH, I est le milieu de [AF] et J celui de [FG]. Démontrez que les



vecteurs FJ , AD et AB sont coplanaires.
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Distance de deux points
Sans coordonnées on utilise le théorème de Pythagore. C’est le cas notamment lorsque l’on
étudie des configurations à partir d’un cube :
Ci-contre le cube a pour côté 2. Calculez les
distances AG et BI.
Mêmes données ci-contre. Calculez les
longueurs des arêtes de la pyramide, ainsi que
sa hauteur.
Si on dispose de coordonnées dans un repère orthonormé, on applique la formule analytique
de seconde généralisée à trois dimensions :
AB 2  ( x B  x A ) 2  ( y B  y A ) 2  ( z B  z A ) 2
En reprenant cette configuration calculez les
distances FD, DM et FM.
6
orthogonalité




si u et v ont pour coordonnées respectives (X, Y, Z) et (X’, Y’, Z’), alors en repère
orthonormal, ces vecteurs sont orthogonaux si et seulement si
XX’ + YY’ + ZZ’ = 0
Toujours avec cette configuration montrez
que la droite (FM) est orthogonale à (EM).
Dans le cube ci-contre, I, J, K et L sont les
milieux des côtés [EH], [BF], [BC] et [DH].
En utilisant un repère d’origine D, démontrez
que IJKL est un rectangle.
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équations de plans
    
 O, i , j , k 
.
Pour ce qui suit, l’espace est rapporté à un repère orthonormal 
Dans l’espace, l’équation cartésienne d’un plan de vecteur normal (a ; b ; c) sera
ax + by + cz + d = 0 (un vecteur normal est un vecteur orthogonal au plan).
Trouvez une équation du plan passant par les points A(2 ; 3 ; 0), B(0 ; 4 ; 2) et C(0 ; 0 ; 4).
Dans un pavé droit ABCDEFGH, on prend A comme origine. Donnez les équations des plans
(ABF), (BCG), (ABC) et (BGD).
On ne manquera pas de noter la particularité des plans x = k, y = k et z = k.
Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
P1
P2
P3
P4
P5
Etudiez le parallélisme des plans suivants :
x + 2y – 3z = 1
2x + 4y – 6z – 2 = 0
– x + 2y – 3z – 6 = 0
3x + 6y – z – 1 = 0
3x + 6y – z – 5 = 0