Écoulements diphasiques Dynamique des interfaces 1 Écoulement

Université Pierre et Marie Curie - Paris VI
Écoulements turbulents et multiphasiques
Année 2009-2010
Master I Sciences de l’Ingénieur
Écoulements diphasiques
Dynamique des interfaces
1
Écoulement de Couette diphasique
U
p0
h
Fluide 1
h
Fluide 2
p0
L
Figure 1 – Écoulement de Couette diphasique
On considère un écoulement composé d’une mixture de fluides de viscosités différentes. Les fluides sont placés en
quantité égale dans un dispositif de Couette où la paroi supérieure est mise en mouvement à vitesse U , alors que la
paroi inférieure reste immobile (voir figure). On suppose ici que le fluide 1, de viscosité µ1 occupe la partie supérieure
du dispositif (de y = 0 à h), alors que le fluide 2 de viscosité µ2 occupe la partie inférieure (de y = −h à 0). L’interface
reste plane tout au long du mouvement, et on néglige les effets de pesanteur. Enfin, on suppose que l’extension
transverse du dispositif est suffisamment large pour rechercher une solution 2D.
1. Écrire les équations du mouvement ainsi que les conditions limites correspondant à un écoulement établi (ne
dépendant pas de la direction longitudinale) et stationnaire.
2. Calculer l’expression du champ de vitesse et de pression en fonction de β =
µ1
µ2 .
3. Tracer le champ de vitesse pour β = 0, 1, 2, ∞.
4. Calculer le flux de masse dans le cas général. Pour quel rapport de viscosité ce flux est-il maximal ? minimal ?
Expliquer.
1
2
Explosion d’une goutte de pluie
Figure 2 – Explosion d’une goutte de pluie filmée à la caméra rapide.
Dans un article récent, Villermaux & Bossa (Nature Physics, 2009) montrent qu’une grosse goutte de pluie peut
sous certaines conditions exploser pour former de multiples petites gouttelettes. On s’intéresse dans cet exercice aux
conditions nécessaires pour observer la rupture.
Les interactions aérodynamiques entre l’écoulement ambiant et la goutte font que cette dernière adopte rapidement la
forme d’un ’pancake’.
1. Les équations gouvernant l’écoulement d’air autour de la goutte déformée s’écrivent :
ρa Ur ∂r Ur = −∂r pa et ρa Uy ∂y Uy = −∂y pa
(1)
r∂y Uy + ∂r (rUr ) = 0
(2)
Justifier ces équations.
2. Montrer que si l’écoulement a une structure de point d’arrêt (Uy = −γy) alors la pression dans l’air suit la loi :
pa (r) = p(0) − ρa γ 2 r2 /8
(3)
Que vaut p(0) dans cette expression ?
3. Les équations gouvernant l’écoulement radial de liquide dans la goutte prennent la forme :
ρ(∂t u + u∂r u) = −∂r p
(4)
r∂t h + ∂r (ruh) = 0
(5)
où h(t) est l’épaisseur de la goutte. Justifier la forme de ces équations.
4. Montrer que le champ de vitesse u solution s’écrit
u(r, t) = (r/R)Ṙ
(6)
1
1
RR̈ = − (p(R) − p(0))
2
ρ
(7)
5. En déduire l’équation suivante pour le rayon :
6. Estimer la pression p(R) dans la goutte.
7. En prenant comme γ = U/R, mettre l’équation précédente sous la forme
R̈
1
= 2
R
τ
1−
1
We
On donnera l’expression de τ et de We.
8. Que se passe-t-il si We est plus petit que 1 ? plus grand que 1 ?
2
(8)