formulaire mathematiques

FORMULAIRE MATHEMATIQUES
Unités du système S I
Système International
Le système international compte 7 unités de base, le mètre m ; le kilogramme kg, la seconde s, l’ampère A, le Kelvin K,
la mole mol, la candela cd.
De ces unités de base, on déduit des unités dérivées par exemple pour exprimer une vitesse m/s ou m.s-1.
Unités d’aires
km²
hm²
dam²
1
m²
0
dm²
cm²
mm²
1 dam² = 100 m²
0
Unités de volume
km3
hm3
1
dam3
0 0 0
m3
dm3: L
cm3
mm3
1 hm3 = 1000 dam3
Puissances de 10
10m
 10m  n
10n
10m 10n  10m  n
10 
1
 10  n
10 n
m n
 10mn
Développement, Factorisation
Soit k, p, r, a, b, c, d des nombres réels
k  p  r   kp  kr
Identités remarquables
 a  b ²  a²  2ab  b²
 a  b c  d   ac  ad  bc  bd
 a  b ²  a²  2ab  b²
a²  b²   a  b  a  b 
Equations du second degré
Soit a, b, c des nombres réels, a  0 et   b²  4ac .
b  
b  
et x2 
.
2a
2a
b
 Si   0 , l’équation ax²  bx  c  0 admet une solution réelle double : x1  x2 
.
2a
 Si   0 , l’équation ax²  bx  c  0 n’admet aucune solution réelle.
b
c
Si   0 : ax²  bx  c  a  x  x1  x  x2  ; x1  x2 
; x1 x2 
a
a

Si   0 , l’équation ax²  bx  c  0 admet deux solutions réelles : x1 
Calcul vectoriel
Soit A  xA ; yA ; z A  et B  xB ; yB ; zB  deux points du plan
Coordonnées d’un vecteur défini par deux points
Coordonnées du milieu I de [AB]
Distance de A à B dans un repère orthonormal
r
 x  xA 
uuur  B

AB  yB  y A 
z z 
 B A
x
  x y  yB z A  z B 
I A B ; A
;

2
2 
 2
uuur
AB  AB   xB  xA  ²   yB  yA  ²   zB  z A  ²
r
Soit u  x; y; z  et v  x '; y '; z ' 
Norme d’un vecteur dans une base orthonormale
Condition pour que deux vecteurs soient colinéaires
r
u  x²  y ²  z ²
r
r
u  x; y; z  et v  x '; y '; z ' sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont respectivement proportionnelles.
x  x' 
r r 

u  v  y  y '
z  z' 


Somme de deux vecteurs
uuur uuur
uuur
Relation de Chasles
Soit A, B et C trois points de l’espace
AB  BC  AC
Barycentre de deux points
Le barycentre de deux points de l’espace A et B affectés des coefficients respectifs a et b tels que a  b  0 est le point
uur
uuur
r
G tel que aGA  bGB  0
xG 
ax A  bxB
ab
Produit scalaire
r
r
Soit u  x; y; z  et v  x '; y '; z ' 
rr
u.v  xx ' yy ' zz '
;
yG 
ay A  byB
ab
; zG 
az A  bz B
ab
rr r
r
u.v  u  v  cos 
rr
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si u.v  0
Produit vectoriel
r
r
Soit u  x; y; z  et v  x '; y '; z ' 
yz ' zy ' 
r r 

u  v   zx ' xz ' 
 xy ' yx ' 


 
r r
r
r
r r
u  v  u  v  sin u , v
Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est le vecteur nul.
Soit O, A et B trois points de l’espace : AAOB 
1 uur uuur
OA  OB
2
Configurations géométriques
180° équivaut à  radians équivaut à 200 grades
Relations dans un triangle rectangle
cos  
coté adjacent à l'angle 
hypotènuse
sin  
coté opposé à l'angle 
hypotènuse
tan  
coté opposé à l'angle 
coté adjacent à l'angle 
Relations dans un triangle quelconque
Aˆ  Bˆ  Cˆ  
a²  b²  c²  2bc  cos Aˆ
b²  a²  c²  2ac  cos Bˆ
a
b
c


sin Aˆ sin Bˆ sin Cˆ
1
1
1
L’aire du triangle est S  bc  sin Aˆ S  ac  sin Bˆ  ab  sin Cˆ
2
2
2
Aire des surfaces planes
ATRIANGLE 
ARECTANGLE
bh
2
 Ll
ATRAPEZE 
 B  b h
ACARRE  c ²
c²  a²  b²  2ab  cos Cˆ
APARALLELOGRAMME  bh
2
Cercles et disques
PCERCLE  2 R
LARC DE CERCLE  R
ADISQUE   R ²
ASECTEUR ANGULAIRE 
Volume et aire de solides usuels
Bh
3

VCONE 
VCUBE  c 3
VPARALELEPIPEDE RECTANGLE  Llh
ASPHERE  4 R 2
ACALOTTE  2 Rh
VCALOTTE   Rh 
VBOULE
4
  R3
3
2
2
h
B  Bb  b
3
VCYLINDRE  Bh
VCONE TRONQUE 
 R²
 h3
6

Dérivation
Nombre dérivé de f en x0 : lim
x  x0
f  x   f  x0 
f  x0  h   f  x0 
 lim
h 0
x  x0
h
Equation de la tangente à C f au point d’abscisse x0 : y  f '  x0  x  x0   f  x0 
Dérivées usuelles
Fonction f  x 
Dérivée f '  x 
Domaine de dérivabilité I
f ' x  0
I R
f  x  x
f ' x  1
I R
f  x  x
f '  x   nx
f  x  a
 a R 
n
f ' x 
f  x  x
1
x
1
f  x  n
x
1
f  x 
x
f  x 
f  x   ln  x 
f  x   exp  x   e x
1
I  0; 
2 x
1
f ' x   2
x
n
f '  x   n 1
x
1
f ' x  
2x x
1
f ' x 
x
f '  x   exp  x   e x
Opérations sur les dérivées
Fonction f  x 
I  ;0
I  ;0
f '  au '
Fonction f  x 
 a R 
f  uv
f '  u ' v  uv '
f  un
sinon
I R
f '  u ' v '
u
v
 n R
0;  si n est entier ; I  0; 
I  0; 
f uv
f 
0; 
I  0; 
Dérivée f '  x 
 a R 
f  au
I  R si n est entier ; I  0;  si 0 < n < 1 ; I  0;  sinon
n 1
f  u
1
u
1
f  n
u
f 
u ' v  uv '
v2
f '  nu ' u n1  n R 
f  ln  u 
f '
f  exp  u   eu
Dérivée f '  x 
u'
2 u
u'
f ' 2
u
nu '
f '   n 1
u
u'
f '
u
f '  u 'exp  u   u ' eu
f '
Intégration
Primitives usuelles
Fonction f  x   F '  x 
f  x  0
Primitives F  x 
Domaine d’intégrabilité I
F  x   cste
I R
f  x  a
a  ¡ 
F  x   ax  cste
I R
f  x   xn
 n  0
x n 1
 cste
n 1
2
F  x   x x  cste
3
I  R si n est entier ; I  0; 
F  x 
f  x  x
f  x    ax  b 
n
 a  0, n ¥ 
*
 ax  b 
F  x 
a  n  1
sinon
I  0; 
n 1
 cste
I R
f  x 
1
xn
f  x 
f  x 
1
 ax  b 
1
x
 a  0
Opérations sur les primitives
Fonction f  F '
 a R
f  u ' v '
f  u ' un
n  ¡
a  n  1 ax  b 
b

 b

I   ;   ou I    ;  
a

 a

 cste
n 1
F  x   ln  x   cste
F  x 
f  x   exp  x   e x
f  au '
entier ; I  0;  sinon
I  0; 
1
F  x 
1
x
1
ax  b
I  ;0 ou I  0;  si n est
1
 cste
 n 1 xn1
F  x   2 x  cste
 a  0, n  ¥ , n  2 
n
f  x 
f  x 
F  x 
 n  0, n  1
Intégrale de f entre a et b :
Relation de Chasles :
Linéarité :
Positivité :
Intégration d’une inégalité :
Valeur moyenne de f sur  a; b :
b

 b

I   ;   ou I    ;  
a

 a

1
ln  ax  b   cste
a
F  x   exp  x   cste  e x  cste
f 
F  au  cste
F
I R
Fonction f  F '
Primitives F
u'
un
n  ¡
u n1
 cste
n 1
Primitives F
, n  1
F
1
 cste
 n  1 u n1
F  ln  u   cste
u'
u
f 
F  u  v  cste
, n  1
I  ;0 ou I  0; 
f  u 'exp  u   u ' eu
f '  exp  u   cste  eu  cste
 f  x  dx   F  x   F b  - F  a 
 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx
 f  x  dx   f  x  dx
  f  x    g  x  dx    f  x  dx    g  x  dx
Si a  b et f  0 sur  a; b alors  f  x  dx  0
Si a  b et f  g sur  a; b alors  f  x  dx   g  x  dx
b
a
b
a
b
b
a
c
b
a
c
b
a
a
b
b
a
b
a
a
b
a
b
b
a
a
1 b
f  x  dx
b  a a
Calcul matriciel
Addition de deux matrices
Si A et B sont deux matrices de même type (n, p), la matrice S = A + B est la matrice de type (n,p) telle que pour tout
couple (i,j) tel que 1  i  n et 1  j  p , sij  aij  bij .
Multiplication par un réel
Si A est une matrice de type (n, p) et si  R , la matrice M  . A est la matrice de type (n, p) telle que pour tout couple
(i, j) tel que 1  i  n et 1  j  p : mij  .aij .
Multiplication de deux matrices
Si A est une matrice de type (n, p) et si B est une matrice de type (p, r) , la matrice P = A × B est la matrice de type (n, r)
telle que pour tout couple (i, j) tel que 1  i  n et 1  j  p : pij 
Théorèmes de Guldin
p
a
k 1
b .
ik kj
Si C désigne un arc de courbe plane de longueur P, de centre de gravité G, tournant autour d’un axe  ne la rencontrant
pas, la surface engendrée par C a pour aire : 2  GH  P où H désigne le projeté orthogonal de G sur  .
Si D désigne un domaine plan d’aire A, de centre de gravité G, le volume engendré par la rotation de D autour d’un axe
 situé dans son plan et ne le coupant pas est donné par la formule : 2  GH  A où H désigne le projeté orthogonal de
G sur  .