IV) Addition de deux nombres relatifs

ADDITIONS ET SOUSTRACTIONS
I) Addition de nombres décimaux
1) Définition
Lorsqu’on additionne deux nombres, on obtient la somme de ces deux nombres. Chaque nombre que l’on
additionne est appelé terme.
Exemple :
13, 7  1,3  15
terme
terme
somme
2) Propriétés
Voir activité 2 p 29 : propriétés de l’addition et de la soustraction
Lors du calcul d’une somme de plusieurs termes, on peut :

changer l’ordre des termes ;

regrouper différemment les termes.
Exemple :
12,8  3  4, 2
 3  12,8  4, 2
 3  12,8  4, 2
on change l’ordre des termes
on regroupe différemment les termes
 3 17
 20
3) Méthode
Regardons comment faire pour poser et effectuer une addition : 8,6 + 9,23 + 754,136
Voir activité 3 p 30 : calcul posé
8,
+
9,
+ 7 5 4,
7 7 1,
6
2 3
1 3 6
9 6 6
1ère étape : on aligne les virgules
2ème étape : on commence les calculs par la droite : 6 millièmes puis 3
centièmes plus 3 centièmes soit 6 centièmes puis 6 dixièmes plus 2
dixièmes plus 1 dixième soit 9 dixièmes. On n’oublie pas la virgule !!! 8
unités plus 9 unités plus 4 unités soit 21 unités : c’est en fait 2 dizaines et 1
unité : « on pose 1 et l’on retient 2 »...
II) Soustraction de nombres décimaux
1) Définition
Lorsqu’on soustrait deux nombres, on obtient la différence de ces deux nombres. Chaque nombre est appelé
terme ; on soustrait le 2ème terme au 1er terme.
Exemple :
10  2,5  7,5
1er terme
2eme terme
la différence
Attention, on ne peut pas changer l’ordre des termes d’une différence !
2) Méthode
Regardons comment faire pour poser et effectuer une soustraction : 456,8 – 37,5
1ère étape : on aligne les virgules
2ème étape : on commence les calculs par la droite : 8 dixièmes moins 5 dixièmes
soit 3 dixièmes. On n’oublie pas la virgule !!! 6 unités moins 7 unités, on ne sait
pas faire on ajoute 10 unités au 1er terme et une dizaine au 2nd terme. La
différence ne change pas. On obtient ainsi 16 unités moins 7 unités soit 9
unités…
4 5 6, 8
3 7, 5
4 1 9, 3
III) Ordre de grandeur
1) d’une somme
Voir activité 8 p 31 : contrôler l’affichage d’une calculatrice
Savoir faire :
Pour obtenir un ordre de grandeur d’une somme, on peut additionner un ordre de grandeur de chaque terme.
Exemple :
Ordre de grandeur de 6871,74 + 4357
Un ordre de grandeur de 6871 peut être 7000
Un ordre de grandeur de 4357 peut être 4000
donc un ordre de grandeur de 6871,74 + 4357 peut être
7000 + 4000 soit 11000
2) d’une différence
Savoir faire :
Pour obtenir un ordre de grandeur d’une différence, on peut soustraire un ordre de grandeur de chaque terme.
Exemple :
Ordre de grandeur de 2346 – 1154,37
Un ordre de grandeur de 2346 est 2000
donc un ordre de grandeur de 2346 – 1154,37 peut être
Un ordre de grandeur de 1154,37 est 1000
2000 – 1000 soit 1000
ADDITION ET SOUSTRACTION DE NOMBRES RELATIFS
I) Rappels
* Les nombres plus petits que zéro sont dits négatifs. Ils sont notés avec le symbole * Les nombres plus grands que zéro sont dits positifs. Ils sont parfois notés avec le symbole +
* 0 est positif et négatif
II) Distance à zéro
-5
-4
B
-3
-2
-1 0
1
2
3
A
4
* La distance à zéro de (+3) est la longueur du segment [OA], c'est-à-dire 3.
* La distance à zéro de (-3,5) est la longueur du segment [OB], c'est-à-dire 3,5.
* Attention une distance est toujours positive.
III) Comparaison de nombres relatifs
Soient a et b deux nombres relatifs :
5
* si a et b sont positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro.
Exemple :
(+ 7,1) > (+ 3)
* si a et b sont de signes contraires, le plus grand est le nombre positif.
Exemples :
(+ 6) > (--20) ; (+ 7,3) > (- 4,2)
* si a et b sont négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro (le plus proche de zéro).
Exemples :
(- 23) > (- 42) ; (- 4,23) > (- 5) ; (- 1,6) < (- 1)
IV) Addition de deux nombres relatifs
Voir activité : « Les pièces d’or »
1) Addition de deux nombres relatifs de même signe
La somme de deux nombres relatifs de même signe est le nombre relatif dont :
* le signe est le signe commun aux deux nombres ;
* la distance à zéro est la somme des distances à zéro.
Exemples :
(+ 8) + (+ 11) = (+ 19)
résultat : signe commun :positif
somme des distances à zéro : 8+11=19
(- 5) + (- 4) = (- 9)
résultat : signe commun : négatif
somme des distances à zéro : 5+4=9
2) Addition de deux nombres relatifs de signe différents
La somme de deux nombres relatifs de signes différents est le nombre relatif dont :
* le signe est le signe du nombre qui à la plus grande distance à zéro ;
* la distance à zéro est la différence des distances à zéro.
Exemples :
(- 3) + (+ 2) = (- 1)
résultat : résultat négatif car (-3) a la plus grande distance à zéro
différence des distances à zéro : la différence entre 3 et 2 est 1
(+ 8) + (- 3) = (+ 5)
résultat : (+8) a la plus grande distance à zéro donc résultat Positif
différence des distances à zéro : la différence entre 8 et 3 est 5
3) Opposé d’un nombre relatif
Deux nombres sont opposés si leur somme est égale à zéro.
Exemple :
(-6) est l’opposé de (+6) car (-6)+ (+6)=0
V) Soustraction de deux nombres relatifs
Soustraire un nombre relatif, c’est ajouter l’opposé de ce nombre.
Exemples :
(-9)-(+3)= (-9) +opposé(+3)
= (-9) +(-3)
= (-12)
13-(-7)= 13 + opposé(-7)
= 13 + 7
= 20
-11-(+12)= -11+opposé(12)
= -11+(-12)
= -23
-33-(-15)= -33+opposé(-15)
= -33+15
= -18
VI) Simplifications d’écritures
1) Suite d’additions de nombres relatifs
Dans une suite d’additions, on peut supprimer les parenthèses et les signes d’addition.
Exemple :
A = (-5) + (+7,1)+ (-10) peut s’écrire : A = -5+7,1-10
2) Suite d’additions et de soustractions
Dans une suite d’additions et de soustractions, il faut penser à remplacer toutes les soustractions par l’addition
des nombres opposés.
Exemple :
B = +23-(-7)-(+1,8)+(-1)
B = +23+(+7)+(-1,8)+(-1)
B = 23+7-1,8-1
B = 28,2-1
B = 27,2
On a transformé toutes les soustractions en additions.
On a simplifié l’écriture.
On a effectué le calcul.
ADDITION ET SOUSTRACTION DES FRACTIONS
I) Valeurs approchées d’un quotient
Lorsque la division de deux nombres a et b (b  0) se « termine », le quotient
a
est un nombre décimal. On
b
peut donner sa valeur exacte.
Exemples :
5
= 0,625
8
;
6
=-3
2
Lorsque la division ne se termine pas, on peut donner des valeurs décimales approchées de
Exemples :
3124
la calculatrice affiche 3.1271271. La division ne se termine pas.
999
Pour donner une valeur approchée d’un nombre, on peut tronquer ou arrondir.
3124
3 est la troncature à l’unité de
999
3124
3,12 est la troncature au centième de
999
a
.
b
3124
car 3,1 est plus proche de 3 que de 4.
999
3124
3124
3,1 est l’arrondi au dixième de
car
est plus proche de 3,1 que de 3,2.
999
999
3124
3,13 est l’arrondi au centième de
.
999
II) Comment déterminer si des quotients sont égaux ?
3 est l’arrondi à l’unité de
Voir activité : « fractions et calculatrice »
1) Propriété
Le quotient de deux nombres relatifs ne change pas si l’on multiplie ou si on divise le numérateur et le
dénominateur par le même nombre relatif non nul (différent de 0).
Notation : soient a, b, k des nombres relatifs avec b  0 et k  0 (car on ne peut pas diviser par 0) alors on a :
a k a
a ak


et
b k b
b bk
Exemples :
70
7  (10)
=
3
(0.3)  (10)
120  40
Error! =
= Error!
80  40
Error! =
2) Signe d’un quotient :
Si a est un nombre relatif et b un nombre relatif non nul (différent de 0) alors
a a
a
a
a



et
b b
b
b
b
Remarque importante :
Faire attention aux nombres, aux signes…pour mettre les traits de fractions
Exemple :
A faire à la calculatrice
3 3
7 7
7
 et


8 8
5 5
5
3) Produits en croix
Activité :
But : trouver une méthode facile pour prouver que deux fractions sont égales.
5/7 et 10/14
3/9 et 9/12
5/11 et 85/187
7/11 et 27,3/42,9
*17
*3,9
Pour tous les nombres a, b, c et d (avec b  0 et d  0) :
a c
Si  alors a  d = b  c
b d
Exemple :
5, 2 9,1

alors 5,2  14 = 8  9,1
8
14
Réciproquement, si a  d = b  c alors
a c

b d
Exemple :
3  4 = 6  2 alors
3 2

6 4
III) Addition et soustraction de nombres en écriture fractionnaire
Voir activité : « Une plaque de chocolat »
1) Savoir faire
Pour additionner (ou soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire :
1) on réduit les deux nombres fractionnaires au même dénominateur
2) on additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le même dénominateur
Notation : soient a, b, c des nombres relatifs avec c  0 alors on a
a b ab
a b ab
 
 
et
c c
c
c c
c
2) Exemples
2 3
 …
7 7
8 7
 …
13 13
1 3
 …
2 4
1 5
 …
8 12
8 2
 …
13 7
Dans le cas de dénominateurs différents, le but est de trouver un multiple commun aux deux.
Dans certains cas, nous n’avons pas le choix, le plus petit multiple commun n’est autre que le produit des deux
dénominateurs.
ADDITION ET SOUSTRACTION DES FRACTIONS
I) Comment déterminer si des quotients sont égaux ?
1) Propriété
Le quotient de deux nombres relatifs ne change pas si l’on multiplie ou si on divise le numérateur et le
dénominateur par le même nombre relatif non nul (différent de 0).
Notation : soient a, b, k des nombres relatifs avec b  0 et k  0 (car on ne peut pas diviser par 0) alors on a :
a k a
a ak


et
b k b
b bk
Cela permet notamment de simplifier une fraction
Exemples :
Error! =
70
7  (10)
=
3
(0.3)  (10)
Error! =
120  40
= Error!
80  40
2) Signe d’un quotient :
Si a est un nombre relatif et b un nombre relatif non nul (différent de 0) alors
a a
a
a
a



et
b b
b
b
b
Exemple :
3 3

8 8
7 7
7


5 5
5
3) Produits en croix
Voir activité : fractions égales
propriété
Si pour tous les nombres a, b, c et d (avec b  0 et d  0) on a
a c
 alors a  d = b  c
b d
Exemple :
Si
5, 2 9,1

alors 5,2  14 = 8  9,1
8
14
propriété
Réciproquement, si pour tous les nombres a, b, c et d (avec b  0 et d  0) on a a  d = b  c alors
Exemple :
3 2

6 4
II) Addition et soustraction de nombres en écriture fractionnaire
3  4 = 6  2 alors
1) Savoir faire
Pour additionner (ou soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire :
1) on réduit les deux nombres fractionnaires au même dénominateur
2) on additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le même dénominateur
Notation : soient a, b, c des nombres relatifs avec c  0 alors on a
a b ab
a b ab
 
 
et
c c
c
c c
c
2) Exemples
2 3
 …
7 7
8 7
 …
13 13
a c

b d
1 3
 …
2 4
8
2

…
13 7
1 5
 …
8 12
Dans le cas de dénominateurs différents, le but est de trouver un multiple commun aux deux.
Dans certains cas, nous n’avons pas le choix, le plus petit multiple commun n’est autre que le produit des deux
dénominateurs.
Méthode :
Calculer B =
B=
8
2

13 7

On écrit des nombres égaux et de dénominateurs positifs.
On réduit les fractions au même dénominateur, c’est à
dire que l’on écrit des fractions de même dénominateur
égales aux fractions données. Pour cela, on cherche un
multiple commun aux deux dénominateurs.
Multiples de 13 :
Multiples de 7 :
8
8  ...


13 13  ...
2 2  ...


7
7  ...
B=

B=
B=
SOUSTRACTION DE NOMBRES RELATIFS
I) Soustraction de nombres relatifs
Soustraction de deux nombres relatifs.
Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé.
Ainsi on peut transformer une soustraction en une addition.
Exemples :
7 – (+4) = 7 + (-4) = 3
(+4,5) – (-10,5) = (+4,5) + (+10,5) = +15
(-18) – (+24,5) = (-18) + (-24,5) = -42,5
II) Distance de deux points d’une droite graduée
Distance de deux points d’une droite graduée.
La distance de deux points d’une droite graduée est égale à la différence entre l’abscisse la plus grande et
l’abscisse la plus petite.
Exemples :
.
A
.
.
.
B
.
D
.
.
.
C
.
.
.
-3
.
.
0
1
.
-5
.
.
.
-1
0
.
L’abscisse de B est plus grande que celle de A donc
AB = 1 – (-3) = 1 + 3 = 4
L’abscisse de C est plus grande que celle de D donc
CD = -1 – (-5) = -1 + 5 = 4
Remarque :
Une distance est toujours un nombre positif ou nul.
III) Simplifications d’écritures
Un nombre positif peut s’écrire sans le signe + et sans les parenthèses.
Le premier terme d’une somme ou d’une différence peut s’écrire sans parenthèses.
Exemples :
(+11,5) – (+4,5) = 11,5 – 4,5 = 7
(-8) + (+3) = -8 + 3 = -5