énoncé

Spé ψ 2002-2003
Devoir n°3
MÉCANIQUE DES FLUIDES
Partie I
ECOULEMENT DE POISEUILLE
On considère une conduite cylindrique horizontale de rayon a, de longueur L. On note
Oz l’axe de symétrie de révolution de la conduite. On néglige l’effet de la pesanteur. On
étudie un écoulement stationnaire d’un liquide incompressible visqueux, de viscosité
dynamique η et de masse volumique µ.
On repère un point M quelconque du fluide dans la base cylindrique d’axe Oz et l’on
r
r
suppose que le champ des vitesses est de la forme v (M) = v(r, z) u Z et le champ de pression
de la forme p(r, z).
I-1) La relation fondamentale de la dynamique appliquée à un élément de volume de
r
fluide de masse dm = µ.dτ et d’accélération a conduit à la relation, dite de Navier-Stockes,
qui s’écrit ici :

→
r
r
µ a = –grad p + η ∆v. u Z.
a) Montrer que l’incompressibilité de l’écoulement entraîne que v ne dépend
pas de z.

→
b) Expliquer rapidement la signification du terme –grad p.
r
c) Expliquer rapidement la signification du terme η ∆v. u Z.
d) Écrire les projections de l’équation de Navier-Stockes dans la base
cylindrique indiquée.
I-2) On note pE la pression du fluide à la section d’entrée de la conduite et pS sa
pression à la section de sortie de la conduite.
a) Montrer que p ne dépend pas de r.
b) Déterminer la fonction p(z) à l’aide des grandeurs pE, pS et L.
dv( r )
I-3) On admet que
reste toujours borné.
dr
a) Déterminer la fonction v(r) en exploitant les conditions aux limites.
r b) L’écoulement est-il irrotationnel ? Peut-on définir un vecteur
tourbillon ω( M ) ?
I-4) On veut faire une analogie avec l’électrocinétique.
a) Déterminer l’expression du débit volumique DV en fonction de pE, pS, a, L et
η.
b) Détailler l’analogie que l’on peut faire entre l’hydraulique et
l’électrocinétique.
c) En déduire l’expression de la résistance hydraulique de la conduite notée RH.
Comparer l’influence du rayon de la conduite sur RH et du rayon d’un conducteur cylindrique
sur sa résistance électrique.
Spé ψ 2002-2003
page 1/4
Devoir n°3
d) Exprimer la résultante des forces de viscosité qui s’exerce sur le fluide
contenu dans le cylindre de rayon intérieur r (0 ≤ r ≤ a), de rayon extérieur r + dr et de
longueur L. En déduire la puissance reçue algébriquement par le fluide de la part de ces
forces, puis la puissance totale reçue par tout le fluide de la conduite en fonction RH, pE – pS.
Conclure.
I-5) Le fluide exerce sur la paroi de la canalisation une force due à la pression et à la
viscosité.
r
a) Calculer la force totale F exercée sur la conduite de longueur L.
b)rExprimer la vitesse moyenne U sur une section de la conduite. En déduire
l’expression de F en fonction de U, L et η. Commenter ce résultat.
Partie II
ETUDE D'UNE TURBINE PELTON
On considère une turbine Pelton, dispositif couramment utilisé par EDF pour convertir
l'énergie hydraulique (apportée par les barrages ou bien les conduites forcées) en énergie
mécanique. Ce type de turbine est utilisé pour entraîner un alternateur afin de produire de
l'énergie électrique. La roue Pelton est un ensemble mobile comportant sur sa périphérie des
augets destinés à capter un jet d'eau libre fourni par un injecteur. Cet injecteur est relié par
l'intermédiaire d'une conduite à une chute d'eau (voir figure). La dénivellation entre la surface
libre du réservoir amont et l'injecteur est notée h. Le jet d'eau, sortant de l'injecteur, supposé
cylindrique de rayon r (section S), de débit volumique QV, entraîne ainsi la roue en rotation
sur son axe. L'ensemble de l'installation, à partir de la sortie de l'injecteur, est baigné par la
pression atmosphérique pA. Par souci de simplification, on prendra pA = 0.
On notera ω la vitesse angulaire de la roue et R le rayon moyen de cette même roue au
niveau des augets. On supposera que l'auget provoque une déviation du jet d'eau d'un angle β
entre l'entrée et la sortie, comme l'indique la figure.
pA = 0
h
r
ur
Spé ψ 2002-2003
page 2/4
Devoir n°3
r r r
On désignera par ( u r, u θ, u Y) la base des coordonnées cylindriques.
On considérera que le rayon r du jet est faible devant le rayon R, c'est à dire qu'aucune
variation sur le diamètre du jet ne sera considérée.
r
On désigne par V1 la vitesse absolue du fluide en entrée de roue mobile par rapport au
r
r
sol fixe. V2 désigne la même quantité en sortie et U la vitesse tangentielle de la roue au
r
niveau de l'auget. Soit W1 la vitesse relative du fluide par rapport à la roue mobile en entrée et
r
W2 la vitesse relative du fluide par rapport à la roue mobile en sortie.
L'étude sera menée dans un référentiel R’ lié à l'auget, qui sera considéré comme
galiléen. Ce référentiel sera supposé en translation par rapport au référentiel R lié au sol,
pendant toute la durée de l'impact du jet sur l'auget.
On se propose, dans un premier temps, d'étudier le comportement individuel d'un
auget.
r
II-1-a) Appliquer la relation de composition des vitesses afin de déterminer V1 en
r
r
r
r
r
fonction de W1 et U puis ensuite V2 en fonction de W2 et U .
b) Déterminer le débit volumique QVR’ atteignant l'auget dans le référentiel R’.
En notant ρ la masse volumique de l'eau, exprimer la masse élémentaire dm d'eau admise dans
l'auget pendant une durée dt.
II-2) On cherche à appliquer le théorème du moment cinétique à la masse de fluide dm
transitant par la roue mobile pendant la durée dt. Pour cela, on utilisera la base des
coordonnées cylindriques indiquées.
Dans toute la suite du problème, on négligera les dimensions de l'auget par rapport à
celle de la roue.
a) Écrire le moment cinétique au centre de la roue de la masse dm entrant dans
r
r
l'auget en fonction de dm, R, du vecteur unitaire u r et de la vitesse relative W1 . On laissera
l'expression sous la forme d'un produit vectoriel.
b) On effectuera le même travail en sortie de l'auget. Le moment cinétique sera
r
r
exprimé en fonction de dm, R, u r, et de la vitesse relative W2 . On laissera également
l'expression sous forme d'un produit vectoriel.
c) Après avoir énoncé le théorème du moment cinétique, montrer que le couple
r
r
r r
r
C exercé par le fluide sur la roue est donné par : C = ρQVR R ur ∧ W1 − W2
d
i
d) En considérant le fluide dans son mouvement relatif par rapport à l'auget,
r
r
montrer que W1 = W2
Exprimer ensuite les produits vectoriels et montrer que le couple exercé par le fluide
r
2
r
sur l'auget est donné par : C = ρRS −U + V1 1 − cosβ uY où S est la section droite du jet
r
incident. On prendra soin de justifier le signe de la valeur algébrique de C .
e) En déduire la puissance mécanique PM cédée par le fluide à la roue mobile
en fonction de ρ, S, U, V1 et β.
c
Spé ψ 2002-2003
hb
page 3/4
g
Devoir n°3
r
f) Déterminer le module de la vitesse V1 en sortie de l'injecteur en fonction de
h, en négligeant les effets de la viscosité du fluide. On exprimera ensuite la puissance
hydraulique PH disponible sur cette chute d'eau, notamment en fonction de h et du débit QV.
II-3) On appelle rendement hydraulique η de la turbine le rapport entre la puissance
hydraulique cédée par le fluide à la turbine et la puissance hydraulique disponible. Ces
puissances sont prises en valeurs absolues.
Ÿ Exprimer η exclusivement en fonction de cosβ et x, où x désigne le rapport U/V1.
Ÿ Quelles sont les conditions à appliquer sur x et sur β pour que ce rendement soit
alors maximum ?
Ÿ Que vaut alors ce rendement maximum ?
En réalité, la roue Pelton comporte une multitude d'augets (une trentaine en général).
Les augets se succèdent donc régulièrement dans une même zone. On peut ainsi considérer
que c’est le débit QV du jet incident dans le référentiel R qui intervient dans les relations.
II-4) Exprimer de nouveau le rendement hydraulique η en fonction de cosβ, et x.
Donner les conditions à appliquer sur x et sur β pour que ce rendement soit alors
maximum. Que vaut alors ce rendement ?
Dans la pratique, il n'est pas possible de remplir la condition sur β pour obtenir un
rendement maximum. Pourquoi ?
En réalité, le rendement total de la turbine est nettement inférieur à la valeur trouvée
précédente. Essayer d'en donner les raisons.
II-5) Le rendement de la turbine au point nominal de fonctionnement est de 80%. On
donne pour ces conditions de rendement : QV = 12 m3.s–1 ; N = 208 tours.minute–1 ;
On prendra R = 1 m et h = 300 m.
Calculer la vitesse V1 en sortie d'injecteur ainsi que la puissance mécanique disponible
sur la turbine. Déterminer ensuite la valeur de l'angle β.
r r r
Données : expressions des opérateurs dans la base cylindriques ( u r, u θ, u Z)

→
∂f r 1 ∂f r ∂f r
grad f =
ur +
uθ +
uZ
∂r
r ∂θ
∂z
r 1 ∂ rAr
1 ∂Aθ ∂AZ
div A =
+
+
r ∂r
r ∂θ
∂z

→ r
1 ∂AZ ∂(rAθ ) r
∂Ar ∂AZ r 1 ∂(rAθ ) ∂Ar r
uθ +
rot A =
−
ur +
−
−
uz
r
r ∂θ
∂z
∂z
∂r
∂r
∂θ
b g
FG
IJ FG
H
K H
1 ∂ F ∂f I 1 ∂ f ∂ f
∆f =
+
Gr J +
∂z
r ∂r H ∂r K r ∂θ
2
2
Spé ψ 2002-2003
IJ
K
FG
H
IJ
K
2
2
2
page 4/4
Devoir n°3