TD: 2ème Principe de la Thermodynamique, Entropie
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TD: 2ème Principe de la Thermodynamique, Entropie Exercice 1: Transformations monotherme irréversible et monotherme réversible Sur un piston, de section 10cm2, de masse négligeable, enfermant 1 mole d'hélium dans un cylindre à parois conductrices de la chaleur, on dépose une masse m=10kg. Ce gaz parfait, initialement à la pression p1=1bar, est comprimé de façon monotherme et irréversible du fait de frottements, à la température de T=300K. Le piston se stabilise à une certaine hauteur lorsque sa pression est p2 et son volume V2. 1. Calculer le rapport des pressions finale et initiale x=p2/p1. 2. Effectuer le bilan énergétique. En déduire le travail et la chaleur reçus par le gaz en fonction de x et T. Applications numériques. 3. Effectuer le bilan entropique. Applications numériques. 4. Reprendre les questions précédentes dans le cas d'une transformation réversible. Exercice 2: Chauffage d’un volume d’eau par une plaque de cuisinière On chauffe, sur une cuisinière, 1L d'eau de 290K à 363K. On suppose que la température de la plaque de la cuisinière est à T=1000K. Calculer la variation d'entropie de cette masse d'eau au cours de cette transformation irréversible. Calculer l'entropie Séchangée de la part de l’eau. En déduire le degré d'irréversibilité: Scréee/ΔS. Capacité thermique de l'eau C0=4.18 JK-1g-1. Exercice 3: Irréversibilité et approche de la réversibilité 1. Une masse de 1kg d'eau à 273K est mise en contact avec une source de chaleur à la température de 373K. Quelles sont, lorsque l'eau atteint 373K, les variations d'entropie: a) de l'eau b) de la source de chaleur c) de l'univers 2. Si la masse d'eau est mise en contact, d'abord avec une source de chaleur à 323K, puis avec la source à 373K, quelle est la variation d'entropie de l'univers. 3. Comment l'eau pourrait-elle être chauffée de 273K à 373K, l'entropie de l'univers restant à peu près constante (chaleur massique de l'eau supposée indépendante de la température C0=4180J/kg). Application: Un corps de capacité calorifique mc passe de la température initiale T0 à la température finale Tf par contacts successifs avec une suite de n sources de chaleur de température Ti étagées entre T0 et Tf. On prendra Ti+1/Ti=α constant. Calculer la variation d'entropie totale ΔS en fonction de mc, α et n. Etudier ΔS pour n∞. Exercice 4: Mélange de gaz parfaits Un récipient à parois adiabatiques est séparé en deux compartiments contenant chacun un gaz parfait diatomique(Cvmolaire=5R/2): G1(n1, P1, T1) et G2(n2,P2 , T2). On supprime la paroi et on laisse le mélange s'effectuer. DCSM Sup MPSI TD: 2ème Principe de la thermodynamique; Entropie 1 1. On suppose dans cette question que les gaz sont de natures différentes a) Calculer la variation d'entropie ΔS associée au mélange des deux gaz. A.N.: T1=300K, P1=2.5bar, T2=400K, P2=1.5bar, n1=1mol, n2=2mol. b) Que devient le résultat précèdent lorsque l'état initial est caractérisé par T1= T2= T, P1= P2= P? 2. Reprendre les questions précédentes lorsque les deux gaz G1 et G2 sont identiques. Exercice 5: Entrée d’air, bilan entropique Un récipient de volume V, muni d'un robinet, contient de l'air à la température T0 et à la pression P0(1-y). Le milieu extérieur est à T0 et à P0. On entrouvre le robinet et l'air extérieur pénètre dans le récipient. Les parois sont diathermanes (qui permettent les échanges de chaleur); calculer le travail et la chaleur fournis par le milieu extérieur, la variation d'entropie du gaz qui se trouve dans l'enceinte à l'état final, celle de l'atmosphère et de l'entropie créée au cours de l'expérience. Exercice 6: Piston muni d’un ressort Un gaz parfait de coefficient γ constant est enfermé dans un cylindre adiabatique horizontal, fermé par un piston de surface s, initialement bloqué. Le gaz occupe alors une longueur l du cylindre, sous la pression P1 et à la température T1. Le piston est relié à un ressort (fig.1) de raideur k, qui est détendu dans l'état initial. Le vide règne à droite du piston. On libère le piston. Déterminer l'état final (P2, T2) du gaz, le raccourcissement x du ressort et la variation d'entropie du gaz. Exercice 7: Influence du chemin suivi par le gaz entre un même état initial et un même état final Une masse de 1kg de vapeur d'eau est contenue dans un cylindre muni d'un piston. L'état initial est P0=2.04 atm et T0 = 422K. Après compression, on fait passer la vapeur d'eau à l'état final suivant: Pf = 4.08 atm et Tf = 533.6K. 1atm=1.013 105 Pa 1. On suppose le cylindre et le piston adiabatiques. Déterminer le travail qu'il a fallu fournir pour réaliser la transformation. Est-elle réversible? 2. On envisage une suite de deux transformations réversibles simples subies par la vapeur qui conduiraient au même état final.: * cas a) transformation adiabatique réversible puis transformation isotherme * cas b): transformation isotherme puis transformation adiabatique réversible Déterminer dans chaque cas les échanges d'énergie avec le milieu extérieur W; Q ;Δu et Δs et comparer avec la question 1. Données : P (atm) 2.04 4.08 v (m3kg-1) 1.0126 0.5870 DCSM Sup MPSI h (kJ kg-1) 2.766 2984 s (kJ K-1kg-1) 7.2853 7.4013 T (K) 422 533.6 TD: 2ème Principe de la thermodynamique; Entropie 2 Exercice 8: Ecoulement stationnaire d’un gaz parfait dans une turbine De l'azote, assimilé à un gaz parfait diatomique (Masse molaire=28gmol-1, γ=1.4) s'écoule en régime stationnaire (permanent) dans une turbine, avec un débit massique D=4kgs-1. Les conditions d'écoulement sont: À l'entrée P1=4bars vitesse v1=20ms-1 À la sortie P2=2bars vitesse v2=180ms-1 La turbine fournit à l'extérieur une puissance P=80kW, le gaz sortant a une température T2 égale à la température extérieur Ta=T2=298K. 1. Dans l'hypothèse où la transformation subie par l'azote est isotherme, quelle est la puissance thermique δQ/dt reçue par le gaz? Calculer la variation d'entropie par seconde de l'azote, et en déduire la création d'entropie par seconde pour la turbine. 2. Si le gaz a subi une transformation adiabatique, quelle est la température T1 à l'entrée de la turbine? En déduire la création d'entropie par seconde pour la turbine. Elément de réponse : Ex.1 : Ex.2 : Ex.3 : 3. La variation de l’entropie de l’univers est donc toujours positive mais elle a diminué par rapport au cas ou il y avait qu’une seule source. On constate donc que lorsque le nombre de sources augmente l’irréversibilité de la transformation diminue. On peut donc peut être envisager une transformation qui fait passer le système par une infinité de sources dont les températures sont infiniment proches , cette transformation tend vers la réversibilité. DCSM Sup MPSI TD: 2ème Principe de la thermodynamique; Entropie 3 la transformation tend vers une transformation réversible. Ex.4 : donc l’état initial n’est pas discernable de l’état final. Ex.5 : A l’intérieur de récipient, il y a n1 moles sous la pression P0(1-y) et à la température T0. Les n moles qui vont rentrer dans le récipient sont à la pression P0 et à la température T0, elles occupent un volume Vair à déterminer. Ces n moles sont poussées par l’atmosphère à la pression P0 pour rentrer dans le récipient. Dans l’état final : il y a dans le récipient n+n1 moles d’air dans un volume V à la pression P0 et à la température T0. Pour déterminer le travail reçu par ces n+n1 moles : ce travail est fourni par l’atmosphère qui pousse ces moles dans le récipient : δWn +n1 = δWfourni par atmosphère = P0dVatm ⇒ W = P0Vair = P0 y V Les n+n1 moles d’air subissent une transformation isotherme , donc pour un gaz parfait ΔU=0. ΔU = 0 ⇒ W = −Q = P0 y V € Bilan entropique : pour un gaz parfait € Ex.6 : Système fermé : 1er principe : Equilibre du piston : Avec ces trois équations, on obtient une équation du 2ème degré en x : DCSM Sup MPSI TD: 2ème Principe de la thermodynamique; Entropie 4 Ex.7 : 1. h enthalpie massique , u énergie interne massique, v le volume massique , s entropie massique 2. L’étal final et l’état initial ne changent pas donc les variations des fonctions d’état sont les mêmes qu’à la question 1 : Ex.8 : 1. Enoncé du 1er principe pour un fluide en écoulement stationnaire, avec ec l’énergie massique cinétique et eP l’énergie massique potentielle. On suppose que l’écoulement est horizontal donc eP=cte → Δep=0 . Si la transformation est isotherme : Δh=0 Variation d’entropie pour un gaz de masse m (masse molaire M) qui subit une transformation isotherme avec une pression qui varie de P1 à P2 : 2. Transformation adiabatique :Q=0 DCSM Sup MPSI TD: 2ème Principe de la thermodynamique; Entropie 5 DCSM Sup MPSI TD: 2ème Principe de la thermodynamique; Entropie 6
