Cours Chap 11 P I. Mouvement de projectiles

Lycée J. CURIE
Terminale S
Cours Chap 11 P
Année scolaire 2008-2009
Mouvements dans un champ de pesanteur
I. Mouvement de projectiles

i

k
Un projectile est un objet de petite taille (par rapport à la Terre) qui est, en général, lancé
par une machine (arme, lanceur d’engins, …) dans une direction non verticale.

i
1. Equations différentielles du mouvement
On étudie le mouvement du centre d’inertie G d’un projectile dans le R.T.G (référentiel
terrestre galiléen). La position de G est repérée dans un repère
L’origine du repère coïncide avec la position de G à t = 0.
R (O, i, j, k) orthonormé.

i

j

v0


i
0
Le projectile est lancé avec une vitesse initiale v0 , qui fait avec l’horizontale un angle  appelé angle de tir. Les
composantes du vecteur vitesse sont dans ce repère :
 v 0x =

v 0  v 0y =
v =
 0z
Bilan des forces : au cours de sa chute le projectile est soumis uniquement à son ………………….……, vertical dirigé vers
le ………….. de valeur constante ….. = …………..
ème
D’après la 2 loi de Newton on peut écrire :
…… = ………………. Soit : …….. = …….. 
En projetant  sur les axes du repère on obtient 3 équations différentielles du mouvement de G :

a x (t) =


a G (t)  a y (t) =


 a z (t) =

d²x
=x=
dt²
d²y
=y=
dt²
d²z
=z=
dt²
2. Equations horaires du mouvement
Par intégration des équations différentielles précédentes, on obtient les coordonnées du vecteur vitesse
centre d’inertie du système :

 v x (t) =


v(t ) v y (t) =


 v z (t) =

v(t ) du
dx
=x=
dt
dy
=y=
dt
dz
=z=
dt
Les constantes d’intégration k1, k2, k3 se déterminent à partir des conditions initiales, c’est à dire de la connaissance
des coordonnées du vecteur vitesse à l’instant t = 0
 v0x = v0 cos α = k1

v0  v0y = 0 = k 2
d’où

 v0z = v0 sin α = k 3
 v x (t) =

v(t )  v y (t) =

 v z (t) =
On en déduit par intégration les équations horaires du mouvement :
 x(t) =

OG(t)  y(t) =
z(t)=

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Les constantes d’intégration k4, k5, k6 se déterminent là encore, à partir des conditions initiales portant sur
0:
x = 0 = k
0
OG(t) à t =
4

OG 0  y0 = 0 = k 5
z = 0 = k
6
 0
Les équations horaires du mouvement sont donc :
 x(t) =

OG(t)  y(t) =
z(t) =

On constate que :
L’abscisse x de G est une fonction linéaire du temps
L’ordonnée y de G est constamment nulle : la trajectoire de G est donc contenue dans le plan(xOz)
La cote z de G est une fonction parabolique du temps.
La chute libre d’un projectile peut s’interpréter comme la composition de 2 mouvements, l’un horizontal l’autre
vertical :
o Selon 0x le mouvement est rectiligne et uniforme à la vitesse constante de valeur v 0 cos
o Selon 0z, le mouvement est celui d’une chute libre verticale de vitesse initiale de valeur v 0 sin
Remarque
Les équations horaires font intervenir le paramètre , qu’on peut faire varier. On dit encore qu’il s’agit d’équations
horaires paramétriques.
3. Equation de la trajectoire
L’équation z = f (x) est celle de la trajectoire du centre d’inertie G du système.
Elle s’obtient en éliminant t entre x(t) et z(t) :
De l'expression x(t) = (v0 cosα) t on tire t =
x(t)
v 0 cosα
que
l’on
reporte
dans
l’expression de z(t), on obtient ainsi l’équation de la trajectoire :
1
z(x) = - g
2
2


x
x
1
x2
- g
+ x tanα

 + (v 0 sinα)
v 0 cosα
2 (v 0 cosα)2
 v 0 cosα 
L’équation de la trajectoire est c’elle d’une parabole dont la concavité est tournée
vers le bas.
4. Applications à la balistique
La portée et la flèche (distance et hauteur atteintes par
le projectile) dépendent des conditions initiales du
lancer c’est à dire des valeurs de vo (fig A) et de  (fig
B).
Pour une même direction du lancer, plus v 0 est grand plus la portée et la flèche sont importantes.
Pour une même valeur de la vitesse v 0, la portée et la flèche dépendent de la valeur  ; la portée est maximale pour
un angle  = 45°.
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Au point F correspondant à la flèche, la tangente à la trajectoire est horizontale, la composante de la vitesse vz est
nulle ( dz = 0 ).
dx
Exemple :
-1
L’équation de la trajectoire d’une balle de golf lancé avec une vitesse initiale v0 = 40 m.s et un angle  = 30° est :
z(x)= - 4,1 × 10-3x2 + 0,58 x
La portée se déduit de l’équation précédente en posant z(x) = ……, soit ……………………………………………………………….
Elle admet deux solutions : x = ….. (l’origine) et x =
dz
La flèche se déduit de l’équation suivante :
=
dx
 (ce résultat correspondant à la moitié de la portée était
Ses coordonnées sont donc : x =
prévisible, du fait des propriétés de symétrie de la parabole) et la flèche (hauteur maximale atteinte) est
z(71) = - 4,1 × 10-3 ×712 + 0,58 ×71 = 21 m
II. L’attraction universelle
1. Expression vectorielle de la loi d’attraction universelle
C’est à Newton que l’on doit l’expression de la force d’attraction
universelle.
Deux objets ponctuels A et B, de masse respective m A et mB , séparés par
une distance d, s’attirent mutuellement par une force exprimée ici sous sa
forme vectorielle :
FB/A  - FA/B  G.
m A .m B
.u AB
d2
AB
uAB est un vecteur unitaire : uAB =
AB
Les masses s’expriment en kilogramme (kg), d en mètres (m) et G est la constante de gravitation : G = 6,67  10
-2
N.m².kg
Ces deux forces ont même direction la droite AB, même intensité F = F A/B = F B/A, et sont de sens opposés.
- 11
Remarque :
Deux objets, quels qu’ils soient, séparés par une distance très grande devant leurs dimensions sont assimilables à des
objets ponctuels.
De même, deux corps même proches, mais dont la répartition de masse est à symétrie sphérique, sont assimilables à
deux objets ponctuels dont les masses seraient concentrées en leurs centres de symétrie.
C’est le cas du Soleil, des planètes, des satellites tels que la Lune, …
2. Champ de gravitation
Dans le cas de la Terre, l’identification entre les deux expressions du poids d’un objet de masse m situé à une altitude
h par rapport au sol terrestre, permet de retrouver l’expression globale du champ de gravitation
g=G
R
MTerre
Terre
+h

2
 G
MTerre
. Le champ de pesanteur g est dit radial (sa direction est un rayon de la sphère) et
d2
centripète (il pointe vers le centre). Sa valeur est proportionnelle à 1 .
d2
Si l’on se cantonne à des mouvements très proches de la surface de la Terre, la valeur du champ de gravitation (ou
encore de pesanteur) g = G
MTerre
peut-être considérée constante. Le champ g est alors uniforme localement. Sa
R2Terre
valeur, à la latitude de la France est g = 9,80 N.kg1.
Dans le cas du Soleil, l’expression de la force de gravitation exercée par le centre du Soleil de masse M Soleil sur un
objet de masse m, situé à une distance d de celui-ci peut s’écrire, par analogie avec l’expression du poids :
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F = m gSoleil . Le vecteur champ de gravitation solaire g Soleil a même sens et même direction que F , il est dirigé vers
M
le centre du Soleil. Il est radial et centripète. Son intensité est : g Soleil = G Soleil
, elle est proportionnelle à 1 .
d2
d2
III. Mouvement circulaire uniforme (voir TP n°2)
Définition : Un mouvement est dit circulaire uniforme quand la trajectoire est un cercle parcouru à une vitesse de
valeur constante
La valeur de la vitesse est constante, le vecteur vitesse est porté par la tangente à
la trajectoire circulaire.
Si l’on trace le vecteur accélération, on constate que celui-ci est constant en
valeur, et qu’il est toujours dirigé vers le centre du cercle.
Dans le cas d’une trajectoire circulaire, si le vecteur a a une direction radiale
(suivant un rayon) le mouvement est uniforme, et réciproquement. La valeur de
l’accélération est : a = v² . Le vecteur a est obligatoirement centripète (pointé
R
vers le centre du cercle).
Remarque :
Dans le cas d’un mobile se déplaçant sur un cercle de rayon R, à vitesse de valeur variable (mouvement circulaire non
uniforme), le vecteur accélération
a n’est plus radial. Il peut être décomposé en deux composantes :
2
a N radiale et valant
v
dv
et a T tangentielle, valant
. En appelant N et T deux vecteurs
dt
R
unitaires
ci-contre),
donc : a 
(fig
l’expression
générale
de
l’accélération
est
2
dv
dv
v

T+
N
dt
dt
R
On retrouve le cas d’un mouvement circulaire uniforme en écrivant
l’accélération se réduit alors à a 
dv
 0 ; l’expression de
dt
v2
N
R
IV. Mécanique céleste
1. Mouvement des planètes
On considère maintenant comme système une planète, tournant autour du Soleil ayant une
orbite circulaire. De façon à être galiléen, le référentiel d’étude qu’il convient de choisir, est
le référentiel héliocentrique.
On note m la masse de la planète et r la distance de son centre au centre du Soleil.
La planète n’est soumise qu’à la force gravitationnelle exercée par le Soleil notée F (en
négligeant l’influence des autres astres, soit très éloignés, soit de masse très inférieure à
celle du Soleil). Cette force centripète a pour expression vectorielle : F = G
m Ms
. uPS
r²
D’après la deuxième loi de Newton, on peut écrire :
Par conséquent, le vecteur accélération est radial, et le mouvement circulaire est uniforme.
Lorsqu’un mouvement circulaire a lieu sous l’effet d’une force radiale, le mouvement est obligatoirement uniforme.
On a donc
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. On en déduit la vitesse
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La vitesse d’une planète sur son orbite circulaire est :
v= G
Ms
r
Elle ne dépend que de la masse de l’astre
attracteur, et de la distance r.
2. Mouvement des satellites
A. La vitesse est fonction de l’altitude
Pour un satellite le référentiel à choisir est le référentiel planétocentrique
(géocentrique s’il s’agit d’un satellite terrestre) ; un calcul identique conduit à
l’expression suivante de sa vitesse :
Où MP est la masse de la planète autour de laquelle gravite le satellite, RP son rayon et
h l’altitude du satellite par rapport à la surface de la planète.
La vitesse d’un satellite qui décrit une orbite circulaire est constante. Elle augmente si
son altitude diminue. Pour une altitude donnée, la vitesse est imposée.
Exemple :
Pour le satellite Spot 4 qui gravite autour de la Terre, son altitude est h = 825,2 km, le
24
- 11
rayon de la Terre RT = 6371 km, sa masse MT = 5,98 × 10 kg et G = 6.6710 SI.
On obtient : v = 6,67  10-11 
5,98  1024
=7,44×103m.s-1
(6371  103 + 825,2  103 )
B. Application
Certains satellites jouent un rôle particulier : les satellites géostationnaires (comme le satellite Eutelsat2). De tels
satellites utilisés dans les télécommunications, sont toujours positionnés au dessus du même point de la surface de la
Terre. Par conséquent :
- leur vitesse angulaire  doit être égale à celle de la rotation propre de la Terre.
- leur sens de rotation doit être le même que celui de la Terre.
- leur orbite doit être dans le plan équatorial de la Terre.
L’altitude h de ces satellites est unique, puisque leur vitesse (angulaire et donc linéaire) est
imposée. Elle se calcule grâce à la relation :
v = (RT + h)  dans laquelle  est la vitesse angulaire de la Terre autour de l’axe des pôles.
Par définition : ω = 2π où T est la période de rotation propre de la Terre .
T
TT
En identifiant les deux expressions de la vitesse, on obtient :
d’où on tire :
.
Ce qui donne :
soit h  36000 km. Un tel satellite a sur son orbite, une vitesse v = 3,0710 m.s .
3
-1
3. Période de révolution d’un astre
Définition : La période de révolution d’un astre, est le temps qu’il met pour accomplir sa trajectoire (ou révolution)
autour d’un autre astre.
M (M étant la masse de l’astre
r
lourd autour duquel il tourne). Cette vitesse peut-être obtenue également en divisant la longueur 2 r parcourue en
une révolution par la durée T de la révolution. On obtient en égalant ces deux expressions :
La vitesse d’un astre sur son orbite circulaire est donnée par l’expression : v =
G
d’où :
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p. 5
4. Lois de Kepler
Les trajectoires des centres d’inertie des planètes ne sont circulaires qu’en première approximation. Des mesures
ème
effectuées dès le XVII
siècle ont montré qu’il s’agissait en fait d’ellipses peu aplaties (d’où l’approximation
circulaire). Les trois lois émises par l’astronome autrichien Kepler, énoncées ici dans leur version actuelle sont toujours
applicables dans les référentiels planétocentriques et le référentiel héliocentrique considérés comme Galiléens.
a. La première loi de Kepler
Bien que leurs mouvements soient considérés comme circulaires, en réalité les planètes ou
les satellites décrivent une orbite elliptique autour de l’astre attracteur, respectivement
dans le référentiel héliocentrique et planétocentrique. L’astre attracteur est un des foyers
de l’ellipse.
b. La deuxième loi de Kepler
La deuxième loi de Kepler, dite « loi des aires », précise que des aires balayées par le segment, reliant le satellite à
l'astre attracteur, pendant des durées égales, sont égales .
La vitesse d'une planète est ainsi plus grande lorsqu’elle se rapproche du Soleil. Elle est maximale quand la planète au
voisinage du point P (périhélie), et minimale au voisinage du point A (aphélie).
Pour un satellite terrestre le point P se nomme périgée et le point A apogée.
c. La troisième loi de Kepler
Dans le référentiel héliocentrique le rapport entre le carré de la période de
révolution T de chaque planète et le cube du demi-grand axe de l'orbite
elliptique est constant. Soit :
T2
 k.
a3
Dans un référentiel planétocentrique, ce rapport est
T2
= k'
a3
Cette constante k ou k’ ne dépend que de la masse de l’astre attracteur.
Remarque :
Dans le cas d’une trajectoire circulaire, le demi-grand axe de l’ellipse devient le rayon de l’orbite r.
La loi s’écrit alors :
, avec
Il vient :
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