Soit les matrices : A= ( ), B = ( ), C = ( ) et , D = ( ). Quels liens existe

CHAPITRE 5 – DÉTERMINANT D’UNE MATRICE CARRÉE
EXERCICE1 (CHAPITRE 6 – I)1
Soit les matrices :
A= (
), B = (
), C = (
) et , D = (
).
Quels liens existe-t-il entre | |, | |, | | et | | ?
CORRECTION
La fonction déterminant étant multilinéaire, on a :
| |=|
|=| ( ) (
| = 2| |.
)| = 2|
De même :
| |=|
| = |( )
(
)|
|
| |
|
| |
La fonction déterminant étant alternée, on a :
| |=|
|
|
| |.
|
D’où :
| |
| |
| |
| |
EXERCICE 2 (CHAPITRE 6 – I)
Sans faire aucun calcul, donner le déterminant des matrices :
(
) et (
).
CORRECTION
La fonction déterminant étant alternée, on a :
Les numéros de chapitres et de sections indiqués en rouge renvoient aux chapitres et sections du manuel
d’Introduction à l’algèbre linéaire d’Ozgür Gün et Sophie Jallais, référence sur l’epi).
1
1
|
|
|
puisque | |
|
,
et
|
|
|
(
|
)
.
EXERCICE 3 (CHAPITRE 6 – II)
Calculer le déterminant des matrices suivantes :
M1 = (
), M2 = (
).
CORRECTION
|
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(
|
)( )(
)
car (propriété VI-13, page 180 du manuel) le déterminant d’une matrice triangulaire est
égal au produit de ses termes diagonaux.
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|
|
|
|
|
,
(ici, le déterminant de M2 est calculé par rapport à sa troisième colonne, le suivant étant
calculé par rapport à la deuxième ligne de la matrice – voir propriété VI-11, page 176 du
manuel).
EXERCICE 4 (CHAPITRE 6 – II)
Calculer le déterminant des matrices suivantes :
A1 = (
A4 = (
), A2 = (
), A3 = (
), A5 = (
2
),
),
A6 = (
), A7 = (
) et A8 = (
).
Parmi ces matrices, lesquelles sont régulières ?
CORRECTION
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2(2) – 1(3) = 1 (voir propriété VI-8, page 169 du manuel).
( )
)(
)( )
(
|
|
(
( )(
.
)
|
.
|
(
|
)
)
(voir propriété VI-12, page 178)
.
Pour calculer ce déterminant, on pouvait également utiliser la règle de Sarrus, entre
autres (voir pages 172-173 du manuel).
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.
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|
.
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|
3
(
.
)|
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|
.
Une matrice est régulière si et seulement si son déterminant est non nul (voir propriété
VI-15, page 181 du manuel). Les matrices A1, A2, A3, A4, A6 et A8 sont donc régulières. En
revanche, les matrices A5 et A7 sont singulières.
EXERCICE 5 (CHAPITRE 6 – III)
Au moyen de la méthode de Cramer, résoudre le système :
{
.
CORRECTION
Le système :
{
peut également s’écrire
AX = U, où A = (
), X = ( )et U = ( ).
Si l’on note C1, C2 et C3 les trois colonnes de A respectivement, la solution de ce système
est (voir la règle de Cramer, pages 185-186 du manuel) :
é (
)
é (
)
é (
)
x=
,
y
=
,
et
z
=
.
é ( )
é ( )
é ( )
Comme :
dét(A) = dét(
) = dét(
) = dét(
dét(
dét(
) = 2,
) = dét(
) = dét(
) = 1(1) = 1,
) = 1(1 – 2) = – 1
4
) = dét(
et dét(
) = dét(
)= – 1(– 1 – 2) = 3,
la solution du système est :
⁄
( )=
⁄
.
⁄ )
(
EXERCICE 6 (CHAPITRE 6 – III)
Déterminer l’inverse de la matrice M :
M=(
).
En déduire la solution du système : MX = U où U = (
).
CORRECTION
Comme :
dét(M) = dét(
(
)
)
,
la matrice M est régulière donc inversible et l’on a :
=|
|
où est la matrice adjointe de M (autrement dit la transposée de la matrice des
cofacteurs de M – voir pages 189-191 du manuel).
Comme :
C=
(
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|)
|
|
|
5
(
),
on a :
=
(
La solution du système : MX = U où U = (
X=
)
(
).
) est donc :
U=(
)(
6
)
(
).
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