Lycée Gustave Eiel - Bordeaux Électromagnétisme III Électromagnétisme III Champ magnétostatique & théorème d'Ampère Considérons une bobine plate comportant N spires jointives concentriques dont le rayon évolue entre R1 et R2 . Ex. 1 Disque de Rowland Déterminer le champ magnétostatique produit en un point M de l'axe (Oz ) de cette bobine, en fonction de I (intensité Un disque de centre O et de rayon R, chargé uniformé- du courant parcourant les spires), R1 , R2 , θ1 et θ2 (angles ment (σ > 0) est mis en rotation à la vitesse angulaire ω sous lesquels les rayons R1 et R2 sont vus du point M ). R constante autour de son axe de révolution (Oz ). On donne dθ/ cos θ = ln |θ/2 + π/4|. Réponses : 1. Quel est le type de courant ainsi créé ? • 2. Calculer le vecteur densité surfacique de courant en un point P (r) du disque puis calculer l'intensité I du courant. → − B (M ) = Ex. 4 µ0 N I 2(R2 −R1 ) 2 /2+π/4| ln |θ + sin θ − sin θ êz . 1 2 |θ1 /2+π/4| Solénoïde tronconique On réalise un bobinage en enroulant sur un tronc de 3. Quelles sont les symétries et invariances d'une telle cône, jointivement suivant la génératrice, N spires d'un l distribution ? de cuivre de diamètre a et de résistivité ρ. Le tronc du cône 4. En décomposant le disque en spires de courant élé- de sommet S , de demi-angle au sommet α est caractérisé mentaire d'épaisseur dr, exprimer le champ magné- par les rayons r1 et r2 > r1 de ses deux bases. Chaque spire est repérée par sa côte z qui mesure la distance qui tique créé en point M de l'axe Oz . → − sépare son centre de S . On désigne par r le rayon de la Que vaut le champ B en z = 0 ? spire située à la cote z . Réponses : → − S 2. j s = σωrêθ, I = σωR2√ /2. → − µ0 σωz √ z z 2 +R2 4. B = 2 + − 2 êz . 2 2 z z +R a a r1 Ex. 2 Champ créé par une demi spire en son centre Une demi-spire de centre O et de rayon R, dont les extrémités sont terminées par deux demi-ls rectilignes suivant (Ox) et supposés innis, est parcouru par un courant d'in→ − tensité I . On note B (O) le champ magnétique créé par cette distribution de courant en O. y P q I O x → − 1. Quelle est la direction de B (O) ? Justier. 2. Quelle est la contribution des deux demi-ls au champ → − B (O) ? Justier. → − 3. Exprimer en fonction de µ0 , I et R le champ B (O), en utilisant comme variable d'intégration l'angle θ déni sur le dessin. Réponses : → − 1. B (O) = B (O) êz . → − 0I 3. B (O) = µ4R êz . Ex. 3 Bobine plate PCSI ∼ Année scolaire 2010-2011 r2 z 1. Exprimer le nombre N de spires qui constituent le bobinage en fonction r1 , r2 , a et α. 2. On désigne par dN le nombre de spires dont la cote est comprise entre z et z + dz . On considère que ces dN spires ont la même circonférence et qu'elles créent le même champ magnétique. Exprimer dN . 3. La résistance R d'un l de résistivité ρ, de section s et de longueur l est donnée par la relation : R = ρl/s. Calculer R pour l'ensemble du cône bobiné. 4. Le bobinage est parcouru par un courant I dans le sens représenté sur la gure. On désigne par µ0 la perméabilité du vide. → − Calculer le champ magnétique B créé en S par la totalité du bobinage. Réponses : 1. N = (r2 − r1 ) / (a sin α). 2. dN = dr/ (a sin α). 3. R = 4ρ r22 − r12 / a3 sin α . → − sin2 α 4. B (S) = µ0 I 2a ln rr21 êz . 1 Lycée Gustave Eiel - Bordeaux Ex. 5 Électromagnétisme III Conducteur cylindrique inni creux Réponses : 2. B (r) = B0 − µ0 j (r − R1 ) pour R1 < r < R2 et Soit un cylindre métallique d'axe Oz de rayon moyen R, B (r) = B0 − µ0 j (R2 − R1 ) pour r > R2 . car d'épaisseur e très faible (e R, la matière conductrice 3. B0 = µ0 j (R2 − R1 ). étant comprise entre les cylindres de rayon R − e/2 et R + e/2). On peut le modéliser par un courant surfacique Ex. 7 Câble coaxial circulant suivant Oz . 1. Exprimer le champ B (r) pour r > R et r < R en On considère un câble coaxial cylindrique de longueur fonction de l'intensité totale I . supposée innie, constitué d'un conducteur central plein de rayon R1 parcouru par un courant uniforme d'intensité 2. Dénir la densité surfacique de courant js et exprimer I et d'un conducteur périphérique évidé, de rayon intérieur B (r) en fonction de js . R2 , de rayon extérieur R3 > R2 > R1 et parcouru par un → − 3. Montrer que B subit une discontinuité à la traversée courant uniforme également d'intensité I mais circulant en sens inverse par rapport au courant du conducteur central. d'une nappe de courant de module µ0 js . On notera êz le vecteur unitaire de l'axe commun des deux Réponses : conducteurs. Soit M situé à une distance r de l'axe du 1. B (r) = µ0 I/ (2πr) si r > R. câble. → − → − 3. ∆ B 1→2 = µ0 j s ∧ êr,1→2 . → − 1. Montrer que le champ magnétique B créé au point M est orthoradial. Solénoïde équivalent à une distribution volumique de courant Ex. 6 Soit un solénoïde inni, d'axe Ox, comportant n spires par unités de longueur, parcouru par un courant I . On suppose que l'on peut assimiler ces n spires parcourues → − par le courant I , à un courant de densité volumique j uniforme, circulant entre R1 et R2 . j r R1 R2 Axe Ox 1. Rappeler le théorème d'Ampère, qui relie la circulation du champ magnétique sur un contour fermé au contour traversant ce contour. 2. Supposons, pour cette question que l'on connaît le champ sur l'axe Ox d'intensité B0 . En déduire, par le théorème d'Ampère, et en justiant au préalable l'utilisation du contour représenté sur la gure, l'expression du champ B , en fonction de B0 et des autres données du problèmes pour r < R1 , R1 < r < R2 et r > R2 . → − 2. Montrer qu'il peut se mettre sous la forme B = B (r) êθ où B (r) est une fonction de r uniquement. 3. Préciser alors la forme des lignes de champ. 4. En appliquant le théorème d'Ampère à un contour C que l'on précisera, donner l'expression de la composante B (r) du champ magnétique créé au point M en fonction de µ0 , I , r, R1 , R2 et R3 , dans chacun des cas suivant : • r > R 3 ; • R3 > r > R 2 ; • R2 > r > R 1 ; → − • R1 > r puis vérier la continuité du champ B . Tracer le graphe de la fonction B (r). Réponses : 2 2 0 I R3 −r 4. B (r) = µ2πr pour R2 R32 −R22 µ0 I r B (r) = 2π R2 pour R1 > r. 1 Ex. 8 < r < R3 et Cavité cylindrique Considérons un cylindre conducteur d'axe (O1 z ), de rayon R1 parcouru par un courant de densité volumique → − de courant uniforme j = jêz . On perce ce cylindre d'une cavité d'axe (O2 z ), et de rayon R2 , et on suppose que la distribution volumique de courant en dehors reste inchangée. 3. Par un raisonnement physique, concernant la valeur Déterminer le champ magnétostatique en tout point de la du champ à une distance innie de l'axe, en déduire cavité. Réponses : la valeur de B0 en fonction des données du problème. −−−→ → − • B = µ20 j êz ∧ O1 O2 . Reprendre les formules du champ magnétique obtenues lors de la question précédente, et les exprimer en fonction des données du problèmes. 4. D'après la relation entre j et I , en déduire la valeur du champ B0 , à l'intérieur du solénoïde inni en fonction de n et I . PCSI ∼ Année scolaire 2010-2011 2