Chapitre I : Lectures graphiques et généralités sur les fonctions

Chapitre I : Lectures graphiques et
généralités sur les fonctions
Seconde
Année scolaire
2012/2013
I) Rappels de troisième sur les fonctions :
1) Définitions, exemples et notations :
a) Fonction :
On considère un ensemble D contenu dans ℝ (notation : D ⊂ ℝ)
On dit que f est une fonction définie sur D si pour chaque nombre réel
x appartenant
à D elle associe un unique nombre réel y.
Notations :
f: x
y ou bien y = f(x)
On dit que D est l'ensemble de définition ou le domaine de définition de la fonction f.
b) Images, antécédents :
Dans la notation
antécédent
y = f(x) , y est l'image du nombre x par la fonction f et x est un
du nombre y par la fonction f.
Remarques :
- Tout nombre x de D n'a qu'une seule image par f
- Tout nombre réel y peut ne pas avoir d'antécédent par f , ou en avoir un ou bien
plusieurs.
Exemple : Si on considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x2
f(5) = 25 c'est-à-dire l'image de 5 par la fonction f est 25 mais, 25 a deux
antécédents par f : 5 et -5
2) Représentations graphiques :
On se donne un repère du plan.
L'ensemble des points M de coordonnées ( x;y) avec x∈ D et
représentative de la fonction f.
Exemple :
y = f(x) est appelé courbe
- L'axe des x est celui des abscisses
- L'axe des y est celui des ordonnées
- Si on appelle (Cf) la courbe
représentative de la fonction f, alors on
dit que (Cf) a pour équation y = f(x)
3) Utilisation de la calculatrice :(Sur CASIO Graph 35+)
a) Calcul d'un tableau de valeurs :
- Dans le menu principal, choisir TABLE
- Taper ensuite la fonction f
- Grâce à la touche f5 (RANGE) , on peut donner la valeur de x au départ, à la fin puis
le pas (pitch)
- Ensuite, par la touche f6 (TABLE)
Exemple :
Considérons la fonction f définie par f(x) = 3x4 – 7x3 + 2x2 – 9x + 1 sur [-10;10]
b) Représentation graphique :
- Dans le menu principal, choisir GRAPH.
- Sélectionner la fonction à représenter
!! ATTENTION !! au choix de l'échelle pour la représentation sur l'écran de la
calculatrice
Pour cela, taper sur shift puis F3 (V-Window)
4) Utilisation de quelques logiciels : (Voir en TP)
a) Sine qua non :
b) Geogebra :
c) Tableur : Open Office Calc
II) Intervalles :
1) Les différents cas :
On considère a et b, deux nombres tels que a < b
Soit x ∈ ℝ :
Tous les cas possibles sont rassemblés dans ce tableau :
Encadrement Intervalle
x se situe
a≤
x ∈[a;b]
[///////////////////]
a
b
a< x< b
x ∈]a;b[
]/////////////////// [
a
b
a≤ x<b
x ∈[a;b[
[///////////////////[
a
b
a<
x ∈]a;b]
]///////////////////]
a
b
x≤b
entre a et b
x se situe
en-dessous
Représentation
x≤b
x≤a
x ∈]-∞;a]
//////////////////////]
-∞
a
de a
x<a
x ∈]-∞;a[
x se situe
x≥b
x ∈[b;+∞[
x >b
x ∈] b;+∞[
au-dessus
de b
////////////////////[
-∞
a
[/////////////////////
b
+∞
] /////////////////////
b
+∞
Remarque : Les crochets sous toujours ouverts en + ou - ∞
Exemples :
a) x > -5 peut s'écrire : x ∈ ] - 5;+∞[ ou se représenter par :
]///////////////////////
-5
+∞
b) - 7 ≤ x ≤ 2 peut s'écrire x ∈ [- 7;2] ou se représenter par :
[//////////////////]
-7
2
2) Réunions d'intervalles :
On considère deux intervalles I et J.
Dire qu'un nombre x est situé dans I ou dans J se note : x ∈ I∪J (se lit « I union J »)
Exemples :
a) x > 7 ou x≤ - 2 pourra se noter : x ∈ ] -∞;-2]∪] 7;+∞[
b) x appartient à l'ensemble des réels sauf 4 peut se noter : x ∈ ℝ\ {4} ou bien :
x ∈ ] -∞;4[∪]4;+∞[
III) Equations et inéquations :
1) Rappel : résolution algébrique d'équations
a) Développements :
Développer une expression algébrique consiste à l'écrire sous la forme d'une somme.
Exemple + rappels de troisième sur les identités remarquables :
A = (3x – 2)2 – (x + 6)2
Développons et réduisons A en utilisant les identités remarquables : (a + b)2 = a2 + 2ab
+ b2 et (a – b)2 = a2 - 2ab + b2
A = 9x2 – 2x3xx2 + 22 – (x2 + 2x xx6 + 62)
= 9x2 – 12x + 4 – x2 – 12x – 36 (rappel: Quand on supprime des parenthèses précédées d'un
signe - ,on change tous les signes)
= 8x2 – 24x – 32
b) Factorisation :
Factoriser une expression algébrique consiste à l'écrire sous la forme d'un produit.
Exemples :
B = (2x + 3)2 + (5x – 1)(2x + 3)
= (2x + 3) [(2x + 3) + (5x – 1)]
= (2x + 3) (2x + 3 + 5x – 1)
= (2x + 3) (7x + 2)
On peut reprendre l'exemple A précédent :
A = (3x – 2)2 – (x + 6)2
C'est une expression de la forme a2 – b2 qui se factorise sous la forme : (a + b)(a – b)
D'où : A = (3x – 2 + x + 6)(3x – 2 – x – 6)
= (4x + 4)(2x – 8)
On peut encore « sortir » un 4 de la première parenthèse et un 2 de la deuxième :
D'où : A = 4x2(x +1)(x – 4) = 8(x +1)(x – 4)
Rappel de troisième : Avec la forme factorisée, on peut être amené à résoudre des
équations-produits.
c) Résolution :
Exemple : On souhaite résoudre l'équation suivante :
4x + 5 = - 6x – 13
- On va essayer de «mettre » tous les x à gauche et les nombres à droite :
Pour « supprimer » les x à droite , il suffit d'ajouter + 6x car -6x + 6x = 0
4x + 5 + 6x = -6x – 13 + 6x
4x + 6x + 5 = -6x + 6x – 13
10x + 5 = - 13
Pour « supprimer » les nombres à gauche , il suffit d'ajouter - 5 car -5 + 5 = 0
10x + 5 + (-5) = - 13 + (-5)
10x = -18
x = – 18
= - 1,8
10
Vérification : On remplace x par la valeur trouvée dans le membre de
gauche, puis on procède de même avec le membre de droite. Si les deux
résultats trouvés sont les mêmes, la solution est bien celle qui a été calculée
précédemment :
4x(-1,8) + 5 = - 7,2 + 5 = - 2,2
- 6x(-1,8) – 13 = 10,8 – 13 = - 2,2
Par conséquent : - 1,8 est bien la solution de l'équation
2) Résolution graphique :
a) Equations :
- Equations f(x) = a :
Pour résoudre graphiquement une équation du type f(x) = a où a est un nombre :
- On trace la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal du
plan
- On trace sur le même graphique une droite (d) horizontale à l'ordonnée a
- Les abscisses des points d'intersection de la courbe de f avec (d) sont les
solutions cherchées.
Exemple :
On souhaite résoudre graphiquement l'équation suivante :
- x2 – x + 2 = 0
A l'aide du grapheur Sine Qua Non, on trace la représentation graphique de la
fonction f définie par f(x) = - x2 – x + 2 sur [-3 ; 2] :
La droite horizontale à l'ordonnée 0 n'est autre que l'axe des abscisses.
On doit donc lire les abscisses des points d'intersection de la courbe de f avec l'axe
des abscisses :
Les solutions sont donc : -2 et 1
Remarque :
On peut vérifier ce résultat « algébriquement ».
En effet, on calcule l'image de – 2 par f : f(-2) = -(-2)2 - (-2) + 2
= -4 + 2 + 2 = 0
2
De même, on calcule f(1) = -1 – 1 + 2 = - 1 – 1 + 2 = 0
- Equations f(x) = g(x) :
Pour résoudre graphiquement une équation du type f(x) = g(x) :
- On trace les courbes représentatives des fonctions f et g dans le même
repère orthogonal du plan
- Les abscisses des points d'intersection de la courbe de f avec celle de g
sont les solutions cherchées.
Exemple :
On souhaite résoudre graphiquement l'équation suivante :
2x2 – 2x – 1 = x + 4
A l'aide de la calculatrice (CASIO graph 35+) , on représente f et g définies
respectivement par : f(x) = 2x2 – 2x – 1 et g(x) = x + 4 sur l'intervalle [-3;4]
Puis, à l'aide de la fonction TRACE (shift F1), on peut lire les abscisses des points
d'intersection . On trouve -1 et 2,5.
b) Inéquations :
- Inéquations f(x) < a (ou f(x) > a) où a est un réel :
Pour résoudre graphiquement une inéquation du type f( x) < a où a est un nombre :
- On trace la courbe représentative de la fonction f dans un repère
orthogonal du plan
- On trace sur le même graphique une droite (d) horizontale à l'ordonnée a
- Les abscisses des points de la courbe de f situés en-dessous de (d) sont
les solutions cherchées.
Pour résoudre graphiquement une inéquation du type f( x) > a où a est un
nombre :
- On trace la courbe représentative de la fonction f dans un repère
orthogonal du plan
- On trace sur le même graphique une droite (d) horizontale à l'ordonnée a
- Les abscisses des points de la courbe de f situés au-dessus de (d) sont les
solutions cherchées.
Exemple :
On souhaite résoudre graphiquement l'inéquation suivante :
x3 + x2 – 2x > 0 sur l'intervalle [-2;2]
- On commence par tracer la courbe représentative de la fonction f définie par:
f(x) = x3 + x2 – 2x à l'aide d'un grapheur ( Sine qua Non ,par exemple)
- On lit les abscisses des points de la courbe situés au-dessus de la courbe
représentative de la fonction f
- On écrit les solutions en utilisant éventuellement une réunion :
S = ]- 2 ; 0[ ∪ ]1 ; 2[
Remarque : Si on avait demandé de résoudre l'inéquation x3 + x2 – 2x ≤ 0 sur [-2;2],
on aurait répondu :
S = [0;1]
- Inéquation du type f(x) > g(x) ( Position relative de deux courbes)
Pour résoudre graphiquement une inéquation du type f( x) > g(x) où f et g sont
deux fonctions :
- On trace la courbe représentative de la fonction f dans un repère
orthogonal du plan
- On trace la courbe représentative de la fonction g dans le même repère
orthogonal du plan
- Les abscisses des points de la courbe de f situés au-dessus de la courbe de g
sont les solutions cherchées.
Remarque : on procède de même pour résoudre une inéquation du type f( x) < g(x)
Exemple :
1
1
Résoudre graphiquement l'inéquation
x + 1 < x3 – 3x2 + 4,5x + 1 sur [0;5]
2
2
- On trace dans le même repère les courbes représentatives des fonctions f et g
1
1 3
définies respectivement par f(x) =
x + 1 et g(x) =
x – 3x2 + 4,5x + 1 à l'aide
2
2
d'un grapheur (Sine Qua Non , par exemple) :
Les solutions sont les abscisses des points de la courbe représentative de f qui sont
situés en-dessous de celle de g.
Donc S = ]0;2[ ∪ ]4;5[
Remarque : Sur [2;4], on a f(x) ≥ g(x)
1
1
C'est-à-dire :
x + 1 ≥ x3 – 3x2 + 4,5x + 1
2
2
IV) Variations des fonctions :
1) Définitions :
On considère une fonction définie sur un ensemble D.
I est un intervalle contenu dans D (notation : I⊂ D )
a) On dit que f est strictement croissante sur I si et seulement si pour tous u et v
de I tels que u < v alors f(u) < f(v)
b) On dit que f est strictement décroissante sur I si et seulement si pour tous u et v
de I tels que u < v alors f(u) > f(v)
Remarque :
Si les inégalités précédentes sont larges, on dit que f est croissante au lieu de
strictement croissante et décroissante au lieu de strictement décroissante.
Exemple :
On va reprendre la fonction g utilisée dans l'exemple précédent :
1 3
g définie sur [0;5] par g(x) =
x – 3x2 + 4,5x + 1
2
- Sur [0;1], g est strictement croissante
- Sur [1;3], g est strictement décroissante
- Sur [3;5], g est strictement croissante.
2) Tableau de variation. Extremum :
a) En reprenant l'exemple précédent sur [0;4], on peut résumer les variations en
utilisant un tableau avec les valeurs qui interviennent et des flèches pour symboliser
la croissance ou la décroissance.
x
Variations
de f
0
1
3
3
1
4
3
1
b) Extremum :
En regardant le tableau précédent, on voit que 3 est la plus grande valeur que prend f
sur l'intervalle [0;4] et 1 la plus petite.
On dit que 3 est le maximum de f sur l'intervalle [0;4] et que 1 est le minimum de f
sur l'intervalle [0;4].
Définition :
On considère une fonction f définie sur un ensemble E, I étant un intervalle contenu
dans E ( I ⊂ E) et a ∈ I :
- On dit que f(a) est le minimum de f sur I, si et seulement si pour tout x ∈ I,
f(x) ≥ f(a)
- On dit que f(a) est le maximum de f sur I, si et seulement si pour tout x ∈ I,
f(x) ≤ f(a)
On appelle extremum un minimum ou un maximum.