l`examen partiellement corrigé

Master1 Génie des Systèmes Industriels
U.E.: Capteurs, Chaînes de mesure
1ère session 2010-2011
Code Unité : 107020
Code épreuve : 14977
Samedi 28 Mai - 8H00
Durée : 3 heures
Documents et Calculatrice autorisés
Les 2 problèmes sont indépendants et peuvent être traités dans n'importe quel ordre .
Partie I :Etude d’un capteur de température
On considère un capteur de température constitué par une résistance formée d'un fil de platine.
La variation de la résistance du fil en fonction de la température est donnée par:
2
R= R0 (1+ Aθ+B θ )
Où R est la résistance du fil (en Ohm) et θ la température en degré Celsius
Avec:
R0=100 Ω ; A= 3,908 10-3K-1; B= -5,80210-7 .K-2
I. On alimente cette résistance par un générateur de courant constant égal à10mA.
1. tracer la courbe V=f(θ) pour des températures comprises entre 0 et 120°C
2. La lecture de la tension se fait sur le calibre 2V d’un voltmètre dit 2000 points
a. En supposant l'incertitude du voltmètre égale à 1 digit, à partir de quelle température fautil tenir compte du terme du 2ème degré?
b. Quel est l'ordre de grandeur de l'écart à la linéarité à 50°C, à 100°C?
c. Quelle est la sensibilité s=
dV
du montage à 70°C, à 90°C?
dθ
10mA
10mA
R
V
figure 1
R
V
figure 2
II. La résistance de chaque fil de mesure est égale à 1 Ω. Quelle sera la valeur de la tension V1 lue sur
le voltmètre de résistance interne égale à 10M Ω dans le cas du montage (fig 1) et la valeur de la
tension V2 dans le cas où on utilise le montage (fig 2)
Quelle est l’erreur induite sur la valeur de la température mesurée ?
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III. On utilise maintenant deux capteurs identiques pour vérifier le bon fonctionnement d’un système
de refroidissement (fig 3). Le montage se fait en différentiel dans un pont de Wheatstone ; le pont est
alimenté par un générateur de tension parfait délivrant une tension constante V 0 de 2V.
Les deux capteurs R1 et R2 sont placés en série dans une des deux branches du pont. La branche
adjacente est formée de deux résistances R3 et R4 égales à 130Ω.
On négligera le terme du second degré dans l'expression de R 1 et R2 pour la suite du
problème.
En fonctionnement normal, la température à l’entrée du radiateur est de 90°C, elle est mesurée
par le capteur de résistance R1 à 90°C. La température à la sortie du radiateur doit être de 70°C; elle est
mesurée par un capteur identique dont la valeur à 70°C est R2
a. Donner la formule exprimant la tension (VA-VM) existant entre le point A et la référence
M du pont.
b. A partir de cette formule, calculer au 1er ordre la variation de tension ∆V lorsque R1 varie
de (-∆R1) et R2 de (+∆R2 ) (fig 4)
On rappelle que l’approximation au 1er ordre est justifiée si on peut considérer que l’ordre
2 de la grandeur (∆R/R) ne peut pas être perceptible sur l’appareil de mesure. Cette
condition est-elle remplie pour une variation ∆θ =10 °C autour de 80°C (l’appareil de
mesure étant le même que celui utilisé à la question I.2
d. Montrer que ce type de montage permet de ne pas tenir compte de l’auto-échauffement
des capteurs.
e. Calculer la tension entre les deux points A et B du pont.
f Donner la sensibilité théorique (∆V/ ∆θ ) de ce montage.
figure 3
figure 4
IV. La tension (VA-VB) issue du pont est utilisée pour vérifier le bon fonctionnement du système de
refroidissement, Le système de contrôle fonctionne de la façon suivante :
Si V > 3V le système est OK
Si V <1V, le système est en panne et un voyant rouge s’allume.
a. Quel doit être le gain de l’amplificateur à intercaler entre le pont et le système de contrôle
pour que celui-ci affiche un fonctionnement normal ?
b. Quelle est la valeur du ∆θ correspondant à l’allumage du voyant rouge ?
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Partie II : (à rédiger sur intercalaire séparé)
Le capteur de température TMP36 (Analog Devices) est constitué d'une puce électronique
(jonction) insérée dans un boîtier plastique isolé. Il est destiné à des mesures dans la gamme
[−40 °C , +125°C ] . La sortie de ce capteur est une tension V out .
figure 1
figure 2
Les caractéristiques constructeur sont :
- tension de sortie pour T A=25°C : V out =750 mV
- sensibilité : 10−2 V. K −1 .
1) Tracer rapidement la courbe de réponse pour T A ∈[ −40 °C , +125 °C ]
Le capteur présente-t-il un offset (argumenter)? On souhaite que la température s'affiche en °C
sur un voltmètre. Quel montage faut-il intercaler pour cet usage ? Sur quel calibre faut-il placer le
voltmètre ?
2) La partie active du capteur est isolée électriquement du boîtier. Cet isolant se comporte
comme un conducteur thermique entre le boîtier et la jonction, de résistance thermique RBJ . De plus,
le contact milieu ambiant/boîtier présente lui aussi une résistance thermique R AB , dont la valeur
dépend du milieu dans lequel est plongé le capteur.
Les données constructeur sont :
- capacité calorifique totale C = 0.426 J.K−1
- résistance thermique air-boîtier R AB=162 K.W−1
−1
- résistance thermique boîtier-jonction R BJ =120 K.W
figure 3
Quelle est l'équation différentielle liant la température ambiante T A à la température mesurée
par la jonction θ J ? Quelle est la relation entre V out et T A ?
3) On suppose que le capteur est en équilibre thermique avec l'air ambiant à la température
initiale T A0=20 °C . On plonge brusquement le capteur dans une enceinte dont la température est
T A=70 ° C . Donner l'expression de la réponse du capteur et la représenter graphiquement .
Au bout de quel temps le capteur atteint-il 63% de sa valeur finale ?
Le capteur TMP36 présente une erreur totale de ±2 °C . Au bout de combien de temps le
capteur atteindra-t-il sa valeur finale avec une erreur inférieure à sa précision ?
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3) Etude de l'auto-échauffement : pour fonctionner correctement, le capteur est alimenté par une
source V alim de 5V . Le courant consommé par le capteur est donné par la loi suivante:
- courant à 25°C : I alim=25μ A
- facteur de dépendance du courant/température : α alim=8 .10−8 A.K −1
Quel est le courant d'alimentation pour T A=50 °C ? Quelle est la puissance P alim dissipée
dans le capteur ? Comment se dégrade cette puissance ? Quel est l'effet sur le capteur ?
Justifier que l'équilibre thermique est caractérisé par : θ J = T A + P alim ( R AB + RBJ )
Quelle est l'erreur de mesure introduite pour T A=50 °C ? Est-elle admissible en regard de la
précision du capteur ?
4) On désire maintenant utiliser le capteur pour suivre l'élévation de température d'une enceinte
supposé isotherme dans laquelle est installé un radiateur électrique d'une puissance constante de 1kW.
L'enceinte a une capacité calorifique totale de 2 . 104 J.K−1
figure 4
Donner l'équation de bilan calorifique et en déduire l'équation différentielle .
La température initiale est T enceinte =25 °C . A l'instant t=0, on met en marche le radiateur.
Quelle loi suit la température de l'enceinte ? Donner son expression . Au bout de combien de temps
atteint-on 75°C ?
Quelle est la forme de la réponse du capteur ? Tracer l'allure générale. Le capteur donne-t-il la
valeur instantanée de la température de l'enceinte sans erreur ? Quel est le phénomène mis en
évidence ? Peut-on retrouver la constante de temps du capteur ?
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Numéro de place (seul repère en cas d'égarement de la feuille) :
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Numéro de place (seul repère en cas d'égarement de la feuille) :
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CORRIGE PARTIE II
1) La sensibilité étant constante, la réponse est une droite d'équation V out =σ(T a – 25)+0,750 .
L'ordonnée à l'origine est de V offset =500 mV . Pour afficher sur un voltmètre, il faut utiliser un
montage soustracteur à amplificateur opérationnel . Le calibre à utiliser est le calibre 2V.
2) Les résistances thermiques étant en cascade série, leurs valeurs s'ajoutent. Le système présente donc
une résistance thermique totale Rtot =R AB +R BJ soit Rtot =282 K.W −1 .
L'ensemble Résistance thermique – Capacité calorifique se traduit sous forme d'une constante de temps
thermique τ=Rtot C soit τ=120 s . L'équation différentielle est (voir cours) :
τ
d θ j (t)
+ θ j (t) = T A (t)
dt
La réponse θ j du capteur est la solution de l'équation différentielle pour l'entrée
V out est liée à θ j par la relation V out =σ θ j +V offset
T A . La mesure
3) La température d'entrée suit une loi en échelon. La solution à l'équation différentielle est (cours):
θ j (t) = (T A − T A0)( 1 − e−t / τ ) + T A0
Comme tout circuit du premier ordre, le système atteint 63% de sa valeur finale pour t=τ
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Soit t 68° C
le temps nécessaire pour atteindre sa valeur finale à 2°C près. Ce temps est donné par :
−t 68 /τ
50(1 – e
−t98 / τ
)+20=68 soit e
=0.04 d'où t 68° C =−τ ln ( 0.04) ⇒t 68=386 s
3) Auto-échauffement : à 50°C, le courant consommé par le capteur est : I 50° C =I 25° C +25α
soit
I 50 ° C =27 μ A
La puissance électrique consommée est : P 50° C =UI 50 ° C =135μ W ; elle se dégrade en puissance
calorifique , ce qui échauffe la jonction de mesure. L'élévation de température est donnée par :
Δ θ j= Rtot . P 50° C soit Δ θ j=0.0381° C négligeable devant la précision !
4) La présence du capteur est négligeable devant les dimensions de l'enceinte ( C e ≫C capteur ) .
Equation de fonctionnement de l'enceinte :
∑ q(t )entrant − q(t)sortant = C e
d T e (t)
dt
L'enceinte étant isotherme, q (t) sortant =0 ; la quantité de chaleur q (t)entrant est
L'équation est donc
La solution est :
Ce
P 0=103 W
d T e (t )
=P 0
dt
T e (t)=
P0
t+T e0 soit une rampe T e (t)=0.05t +T e0
Ce
On atteint 75°C pour t 75° C =20(T 75 – T e0 )
soit 1000s
La réponse du capteur est typiquement la réponse à une rampe d'un système du premier ordre.
−t
θ j (t) = a τ e τ + a (t − τ) + θ 0
avec a pente de la rampe et θ0 =T e0 (équilibre au départ)
Le phénomène mis en évidence est le traînage . La valeur du traînage, évaluée en temps, est égal à la
constante de temps τ du capteur, ce qui vérifie aisément sur le graphique.
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