Université Denis Diderot Paris 7 Mécanique Quantique 36U3MQ35 Chapitre 3 1 Particule libre sur un cercle Considérons l’exemple d’une particule libre qui se déplace sur un cercle de rayon R à une dimension. Utilisons comme coordonnée sur le cercle la variable x qui mesure la longueur de l’arc d’une origine donnée au point considéré. Alors x = 0 et x = 2πR représentent le même point. Dans la limite où R tend vers l’infini ce problème se réduit à celui d’une particule qui se déplace à une dimension sur une droite. En physique classique, le mouvement est très simple: la particule se déplace à une vitesse constante. Cette vitesse pouvant prendre des valeurs arbitraires (en mécanique non-relativiste). La position de la particule est donnée par x(t) = vt [2πR]. L’énergie de la particule est donnée par son énergie cinétique 21 mv 2 . 1.1 Onde plane Une particule avec une impulsion p est décrite, selon l’hypothese de de Broglie, par une onde plane φ(x) = Aeikx , (1.1) R 2πR 2 où k est le vecteur d’onde (p = h̄k) et A est une constante de normalisation telle que 0 |φ| dx = 1 . Comme x et x + 2πR représentent le même point sur le cercle on devrait 1 ou bien A = √2πR avoir φ(x) = φ(x + 2πR). Cette condition s’écrit comme eik2πR = 1 ou bien k = n p = h̄ , R n R qui implique (1.2) où n est un entier relatif. Les impulsions possibles de la particule sur le cercle sont donc quantifiées. Voila une première différence importante par rapport au cas classique. Une particule avec impulsion p a une densité de probabilité de présence en x donnée par |A|2 . La particule est donc complètement délocalisée sur le cercle ! Il n’est donc pas possible d’avoir une particule ayant une impulsion donnée qui soit localisée. C’est une deuxième différence importante par rapport à la physique classique. Supposons maintenant que la fonction d’onde φ(x) est quelconque mais périodique avec période 2πR. Le théorème de Fourier nous dit que cette fonction admet un développement en série de Fourier : ∞ X x c √ n ein R , φ(x) = (1.3) 2πR n=−∞ où les coefficients de Fourier cn sont déterminés par la relation 1 cn = √ 2πR Z 0 2πR x φ(x)e−in R dx. (1.4) La condition de normalisation de la fonction d’onde sécrit comme Z ∞ X 2 |φ(x)| dx = 1 = |cn |2 . (1.5) n=−∞ C’est l’égalité de Plancherel-Parseval. La dernière égalité s’obtient en écrivant le développement (1.3) pour φ et son complexe conjugué pour avoir Z Z XX cn c∗m i(n−m) x R dx, |φ(x)|2 dx = e 2πR n m (1.6) ensuite l’intégration sur x donne 1 2πR Z 2πR x ei(n−m) R dx = δn,m . (1.7) 0 Le développement en série de Fourier est un développement en onde plane, ceci suggère le sens physique des coefficients de Fourier cn Septième principe : Les valeurs possibles de l’impulsion d’une particule sur le cercle sont nh̄/R où n est un entier relatif. Si la particule est décrite par la fonction d’onde φ(x) alors la probabilité n qu’une mesure de l’impulsion de la particule donne le résultat h̄ R est |cn |2 . L’égalité de Plancherel-Parseval garantit que la somme des probabilités vaut bien l’unité. Exemple : Quelle est la distribution en impulsion de la fonction d’onde φ(x) = φ(x) = 0 ailleurs ? On a r na a sin 2R cn = na . 2πR 2R √1 a si − a2 < x < a 2 et (1.8) a La probabilité maximale est donc pour n = 0 et vaut 2πR , la “largeur” de la distribution est d’ordre 2πR ∆n = a . C’est à dire que les valeurs les plus probables de n sont 0 ± ∆n. On a donc ∆p = 2πh̄ a . Plus la particule est localisée (c’est à dire plus a est petit) et plus ∆p est grand. C’est un cas particulier du principe de Heisenberg que nous verrons plus tard ∆x∆p ≥ h̄2 . 1.2 Etats stationnaires Les états stationnaires qui sont des fonctions d’onde décrivant une particule avec une énergie donnée sont des solutions de l’équation de Schrödinger indépendante du temps −h̄2 00 φ (x) = Eφ(x). 2m (1.9) La fonction d’ondeR est périodiqueRde période 2πR. Si l’on mutiple l’équation précédente par φ∗ 2πR et que l’on utilise 0 φ∗ φ00 = − |φ0 |2 on trouve h̄2 E= 2m L’énergie est donc positive. Notons 2mE h̄2 Z 2πR |φ0 (x)|2 dx. (1.10) 0 par q 2 . L’équation (1.9) s’écrit alors comme φ00 (x) + q 2 φ(x) = 0. 2 (1.11) Ses solutions sont des combinaisons linéaires de eiqx et e−iqx . La périodicité de la fonction d’onde impose la condition n q= , (1.12) R où n est un entier. Les valeurs possibles de l’énergie sont donc discrètes et données par En = n2 h̄2 . 2mR2 (1.13) A chaque niveau d’énergie avec n 6= 0 sont associés les deux fonctions d’onde normalisées √ nx 1 e±i R . 2πR (1.14) On dit que les niveaux n 6= 0 sont dégénérés avec dégénérescence égale à deux. Les états stationnaires sont donc des ondes planes, tout comme les états avec impulsion donnée. Pour déterminer les probabilités d’obtenir une valeur donnée de l’énergie Em il suffit d’écrire le développement en série de Fourier de la fonction d’onde. Il correspond au développement en états stationnaires décrit dans le chapitre précédent. La probabilité de trouver Em comme valeur de l’énergie est donc |cm |2 + |c−m |2 si m 6= 0 et la probabilité de trouver une énergie nulle est |c0 |2 . Exemple : Le sixième principe appliqué à φ(x) = √1a si − a2 < x < a2 et φ(x) = 0 ailleurs donne la probabilité |cn |2 + |c−n |2 d’obtenir l’énergie En . Les cn sont les coefficients de Fourier déterminés en (1.8). 1.3 Evolution dans le temps Si la fonction d’onde à l’instant initial est donnée par le développement en série de Fourier ψ(x, 0) = ∞ X √ n=−∞ cn in x e R, 2πR (1.15) alors, comme chaque onde plane est un état stationnaire, on a E t |n| ∞ X cn e−i h̄ in x √ ψ(x, t) = e R. 2πR n=−∞ 1.4 (1.16) Paquet d’onde et limite classique Considérons le paquet d’onde 1 1 √ ψ(x, 0) = √ 2πR 2∆N N0X +∆N x ein R . (1.17) n=N0 −∆N Il décrit une particule avec une impulsion comprise entre h̄(N0 − ∆N )/R et h̄(N0 + ∆N )/R) 1 avec une distribution de probabilité égale à 2∆N . La somme est une somme géométrique qui peut être calculée ! +1)x sin (2∆N x 1 iN0 R 2R ψ(x, 0) = √ e . (1.18) x sin 2R 4π∆N R 3 La particule est donc localisée autour de l’origine avec une largeur de l’ordre ∆x = 2πR ∆N . La fonction d’onde à l’instant t s’écrit comme ψ(x, t) = √ 1 1 √ 2πR 2∆N ∆N X e−i (n+N0 )2 h̄t 2mR2 x ei(n+N0 ) R . (1.19) n=−∆N Supposons maintenant que N0 est beaucoup plus grand que ∆N et que ∆N >> 1. On a alors ∆x à t = 0 beaucoup plus petit que R. De plus on a (n + N0 )2 ≈ N02 + 2nN0 , la somme dans (1.19) avec cette approximation peut être effectuée et on obtient ! (2∆N +1)(x−xt ) 2 sin x −i N0 h̄t 1 iN0 R 2R ψ(x, t) ≈ √ e , (1.20) e 2mR2 t) 4π∆N R sin (x−x 2R avec h̄N0 t. (1.21) mR La particule est donc localisée à l’instant t en xt qui s’écrit comme < p > t/m où < p > est la valeur moyenne de l’impulsion h̄N0 /R. On retrouve donc la limite classique d’une particule avec une impulsion < p > et localisée en xt . Cette limite classique est valable donc si les conditions N0 >> ∆N >> 1 sont remplies : les nombres quantiques sont élevés et la fonction d’onde est une superposition d’un grand nombre d’états (un “ paquet d’onde”). xt = Exemple : un système macroscopique R = 1m et p = (1 ± 10−6 )Kgms−1 alors N0 de l’ordre de 1034 et ∆N de l’ordre de 1028 ceci conduit à une incertitude quantique sur la position de l’ordre de 10−28 ! 4