Devoir 3

GBM2620 Thermodynamique statistique biomoléculaire
Devoir #3 (Automne 2016)
Distribué : le mardi 13 septembre 2016
À remettre : le mercredi 28 septembre 2015
Nombre de problèmes qui seront corrigés : 5 problèmes sur 8
Problème 1 : Problème 1, Chapitre 7 de Molecular Driving Forces (MDF)
Problème 2 : Problème 2, Chapitre 7 de Molecular Driving Forces (MDF)
Problème 3 : Une machine alimentée en eau possède deux entrées où passent deux flux continus
et équivalents d’eau froide et d’eau chaude à température T1 et T2 (voir figure 1). Sa seule sortie
est un jet d’eau à grande vitesse. La capacité thermique par unité de masse d’eau, notée C , est
indépendante de la température. La machine est dans un régime permanent et l’énergie cinétique
dans les flux entrants est négligeable.
a) Trouvez la vitesse du jet d’eau à la sortie de la machine en fonction de T1 , T2 et T , où
T est la température du jet d’eau.
Indice : Calculer la perte de chaleur ou le changement d’énergie interne dans le système.
Cette perte est la source de l’énergie cinétique.
b) Trouvez la vitesse maximale possible du jet d’eau.
Indice : Le changement d’entropie doit être plus grand ou égal à zéro.
Figure 1
Problème 4 : Un contenant isolé est divisé en deux volumes égaux. La moitié gauche contient un
gaz idéal à température T0 et la moitié droite est sous vide. Une petite ouverture est pratiquée
entre les deux moitiés, permettant au gaz de s’écouler vers la moitié droite.
a) Quelle est la température finale du gaz ?
b) Le processus est-t-il réversible ? Justifier
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Problème 5 : Un cylindre avec des parois isolantes contient N atomes d’un gaz parfait. Le
cylindre est fermé à une extrémité par un piston. Le volume initial est V1 et la température
initiale est T1 .
a) Trouvez la différence de température, de pression et d’entropie si le volume augmente
soudainement (i.e. rapidement) à V2 en retirant le piston (voir figure 1).
b) Avec quelle rapidité le piston devrait-il être retiré pour que les expressions trouvées en
a) soient valides ?
Figure 2
Problème 6 :
Les radiations électromagnétiques d’un récipient sous vide de volume V à l’équilibre avec des
parois à température T (rayonnement du corps noir) agissent comme un gaz de photons ayant une
( )
énergie interne U  aVT 4 et une pression p = 1 3 aT 4 , où a est la constante de Stefan.
a) Démontrez que la relation suivante est satisfaite pour un processus adiabatique dans ce
gaz de photons :
U f Ui
=
T f Ti
b) En utilisant la relation démontrée ci-dessus, obtenir explicitement l’expression de
l’efficacité η=Wtot/qh d’un cycle de Carnot qui utilise le rayonnement du corps noir
comme sa substance de travail. Expliquez ce résultat.
Suggestion : Utilisez la relation wtot = qh + qc et exprimez qh et qc en fonction de
l’énergie U du système. NOTE : le travail total est celui fait par le système.
Problème 7 : Un gaz idéal est contenu dans une grande jarre de volume V0. Ajusté sur la jarre se
trouve un tube de verre (section transversale d’aire A), à l’intérieur duquel se trouve une bille de
métal de masse M dont la taille est parfaitement adaptée aux parois du tube (voir schéma). La
pression à l’équilibre dans la jarre (p) est légèrement supérieure à la pression atmosphérique p0
étant donné le poids de la bille.
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Si la bille est légèrement déplacée de sa position d’équilibre, elle va exécuter un mouvement
1 k
simple harmonique (négligeant la friction), soit f 
.
2 m
En assumant que cette oscillation est un processus adiabatique quasi-statique :
a)
Montrez que, pendant ce processus, la quantité PV
C P CV
est constante.
b) Trouvez une relation entre la fréquence d’oscillation f et les variables du problème, soit f ( A, p0 , m,V ) .
Note : La force exercée sur la bille peut être modélisée comme celle d’un ressort ( F
 kx )
Problème 8 : Un cylindre contenant un gaz idéal monoatomique est équipé d’un piston
n’engendrant aucune friction et aucune perte de gaz (voir Figure 2). L’axe du cylindre est
vertical et le système est initialement à l’équilibre à une température de 300K. Le poids du piston
est de 150N et sa section transversale est de 1 x 10-3 m2. Au départ, la hauteur de la colonne de
gaz est de 1 m. La pression externe sur l’extérieur du cylindre et sur le piston est nulle.
Figure 2
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Lors d’une expérimentation, on place un poids de 100N sur le dessus du piston, de quatre façons
différentes, toutes indépendantes les unes des autres mais ayant chacune les conditions de départ
présentées ci-dessus :
a) La masse est lentement abaissée (retenue par l’expérimentateur) de façon à ce que le
piston atteigne le nouvel état d’équilibre. La température du gaz est constante à 300K
durant le processus.
b) La masse est déposée sur le piston mais n’est pas retenue par l’expérimentateur.
Éventuellement, le piston atteint un nouvel équilibre à 300K.
c) La masse est lentement abaissée comme en a), mais cette fois-ci, le cylindre et le piston
sont isolés pour prévenir le transfert de chaleur vers le gaz ou hors du gaz.
d) La masse est déposée directement sur le piston et n’est pas retenue par
l’expérimentateur comme en b), mais le système est isolé contre le transfert de chaleur
comme en c).
Pour chacun des cas, indiquer s’il s’agit de processus diabatiques / adiabatiques, quasi-statiques /
non-quasi-statiques.
Déterminer également dans chaque cas :
 la hauteur finale du piston
 le travail effectué sur le gaz
 l’apport de chaleur dans le gaz
Finalement, comparer les valeurs de W obtenues (travail fait sur le système) et discuter ces
résultats par rapport à la nature quasi-statique / non-quasi-statique des processus.
Note : Pour un gaz monoatomique, γ= Cp/Cv = 5/3
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