QUELLE EST LA VITESSE MAXIMUM D'UN PISTON DANS UN CYLINDRE DE MOTEUR? par Pierre Bouchard Département de mathÇmatiques Université du Québec â Montréa1 Introduction. Le probli?me qui fait l'objet de ce travail me fut pos15 pour la premicre fois par un étudiant qLi, comme moi, suivait un cours de mécanique automobile au Cégep CU Vieux Montréal: il voulait savoir, 3 regime constant, quelle est la vitesse maximum qu'atteint un piston dans un cylindre et a quel moment de la course est-elle atteinte. Le problème s'est avéré plu s riche qu'il n'y paraissait ZI prime abord, tant mathématiquement, par l'exploration qu'il nous force a faire du c0té des équations du troisième degré, que didactiquement bien qu'il soit difficile de communiquer ce dernier aspect: le mieux serait de suggÇrer au lecteur de lire et d'essayer le probleme; il se rendra vite compte de l'importance d'un exemple concret qui non seulement sert de support 3 l'intuition pour trouver une solution mais aussi permet de venir souvent, en cours de calculs, confronter les résultats trouvés avec le bon sens (du rÇsultat donné par le graphique par exemple), permettant ainsi de corriger de nombreuses erreurs de calculs "avec des lettres" mais aussi de voir les limitations de l'approche intuitive (cf. section 2). Mentionnons aussi que sans une calculatrice de poche programable, je n'aurais jamais eu la patience de faire ladite confrontation; bien que cet outil soit assez peu mentionné dans le travail présenté ici, il s'est avéré très important en fait durant que je faisais les calculs. A: Axe du piston M: Maneton Ctoum.e autour de Z'axe du viZebreqwin) T: Axe du vilebrequin ~perpmdiculaire ÙT la feuil,ZeJ m: Bielle b: Longueur de la bielle r: Longueur de m Cragon de la rotation du maneton autour de lraxe du vilebrequin) 0: Angle AT14 t: Temps 6c1~~16 depuis le PMH CPMH:"poht mort haut", moment OÙ Ze pis?on est en haut de sa course) U: Vi tesse angulaire du moteur (0 = titj x(t): Longueur de n Cdistanee, au temps t, entre Z?axe du piston et eehi du viZebrequinJ v(t): Vitesse du piston dans le cylindre Cv(t) = :C(t), négative quand Ze piston descend) a(t): Accéléra$ion du piston dans le cylindre Ca(t) = t/'(t) = x"(t), négative quand Za vitesse du piston diminue) PROBLÈME Le moteur tourne a vitesse (angulaire) constante. On desire savoir, pour un moteur donne (c'est-a-dire pour b et r connus), ZI quel moment (ce qui revient a dire "pour quel angle 0") la vitesse du piston dans le cylindre kt-elle maximum. 7 -3- Deux approches peuvent Etre tentees pour rÇsoudre ce problsme. a) Approche formelle: on traduit tout en êquations et on tente de rr?soudre. b) Approche intuitive: d'aprk la situa.:ion dkrite, on formule une conjecture vraisemblable, puis on tente de la vérifier. Dans les pages qui suivent, rious allons raconter l'histoire de notre solution du probleme de la vitesse maximale du piston. 1. DÇbut d'approche formelle. La vitesse v(t) sera maximale quand l'accélération a(t) sera nulle. Comme a(t) = x"(t), on trouve x(t), on dérive deux fois et on resoud l'equation a(t) = 0. x(t) = t-w.& 4. &L-rLt(rcosut)L (07:abafsse Za pe~~pendieuhk MP à AT, Za connaissance de r et 0 (=Ut) pumet de eaZeuZer TP et MP tandis que wZZe de b et MP permet de ealeuler PA et:partant x(t) (=TA). rcostit x'(t) = -r~sin&.(i + 1) Jb2-r2t(rcosut)z x'(t) = -ti2(rcos& t 1 (r2-(rcos~t)2)(rcos~t)2t*~rcos~t~2_r2~ b2-r2+(rcosb1t)2 1 1 /b2-r2+(rcostit)2 Trouver un t qui annule x"(t) ne semkile pas a premiere vue facile.. Essayons plut6t une approche intuitive. 2. Début d'approche intuitive. Il semble que le maneton va tirer d'autant plus sur la bielle que cette dernike est tangente Z! son moLvernent. Il semble donc plausible que la vitesse maximum du pistcn soit quand AM est perpendiculaire a MT. 2.1 Vêrificat-ion sur un exemple concret. Pour mieux sentir ce qui se passe. On regarde un exemple concret. r=5cm b = 23 cm (mesures prises sur un vrai moteur) f_0 = 2000 tours par minute lvraisembtabte sur un vrai moteur) On a programmé une calculatrice de poche pour qu'elle donne la valeur de v(t) pour t variant par sauts de 100 PS jusquI 15 ms (c'est-à-dire un demi-tour) et fait le graphique. -4- l-l 7 l -5- D'autre part, on a calcule le temps donne par notre conjecture: en effet, si AMLMT, alors on a 6 = Arctg(F) = Arctg(q) = 1,3!j7 rad = 77'44' ce qui donne to= i = 6,478 ms. C'est assez encourageant car notre graph,ique, lui, donne v(6,4$msj)= -10,71 m/s = v(6,5ms) et c'est bien la que semble se situer le maximum de (la valeur absolue) de v(t). On est assez encourage pour passer a la IGrification. Bien que l'équation a(t) = 0 semble diff,icile a rÇsoudre a premiere vue, on a trouvé ici, par un moyen intuitif, ce qui pourrait bien en iXre la solution, a savoir to= ?rctg(F). Pour compléter notre vérification, on a qu'a remplacer cette valeur de t dans a(t) et voir que ça donne zéro. Faites-le et ça va vous donner a(to) = -$$-JW # 0 (car r et b sont non-nuls). Qu'a-t-il pu arriver ? Erreurs de calcul? On refait les calculs: même chose. Erreur dans le graphique? Si oui, trës petite. On calcule dans le cas de notre exemple a(to) = -23 m/s2 (plus de deux fois ZraeeéZération de la pesanteur!) En retournant a notre calculatrice, on s' aperçoit, (en y allant par sauts de 1 ns cette fois), que ~(6,521 ms) = -10,717 m,'s a(6,521 ms) = 0,009 m/s" pour un angle 0 de 78'15' et un angle TMA de 89'27', tres pres de 90': notre conjecture n'était pas si mauvaise, d'autant.plus que l'erreur sur la vitesse qu'on obtient ainsi est trës .'aible. Est-ce d0 au fait qu'on a et@ chanceux dans notre exemple? Nous y reviendrons. -6- 3. Retour a l'approche formelle. Il s'agit de se rÇsoudre a rÇsoudre l'Çquation a(t) = 0. (Où a(t) = x"(t) est donnee par la formule de la page 3). On pose z = rcosut et on divise par u", z doit satisfaire (r2-z2)z2 0 = z + Ip r2+zz t Zz2-r2} ' Jb2-r2tz2 ET lzl 5 r Cear ]~~SU~~~I~. qui, apres addition de -z a chaque membre mise au carré des deux membres et manipulations, (ATTENTION: donne Quand on met au caxw5, on ajoute parfois des sohtions) z6tz4(b2-3r*)-z2(b2-r2)(b2t3r2)+r'+(b2-r2) = 0. On s'aperçoit que cette derniere equa.:ion ne comporte que des puissances paires de z, on pose y=~*, ce qui nous mene a y3+(b2-3r2)y2-(b2-r2)(b2t3r2)ytr4(b2-r2) = 0 ET 0 5 y 2 r* Mais ceci est une équation du troisierle degrÇ et nous savons rÇsoudre des Çquations du troisieme degre... le savons-nous? Rappelons un peu de faits concernant -es Çquations du 3e degré. 4. Çquations du troisieme degré. (a coefl'icients rÇels) Une équation du troisieme degré a toujours au moins une racine réelle (pourquoi?). Comme, d'autre part, les racines complexes (qui sont non-réelles) apparaissent par paires (si un nombre complexe est racine d'une équation a coefficients reels, son conjugué l'est aussi, pourquoi?), une telle équation a oubien 1 racine réelle, oubien trois (re pourquoi?). La mÇthode de solution des Çquations du 3e(et du 4e degré)a vu le jour dans des circonstances parfois cocasses: il serait intÇressant d'aller la lire dans un livre d'histo-'re des mathématiques. Elle consistela éliminer d'abord le terme de degré 2 en faisant un changement de variable du genre y =:w t constante oti on doit arranger la constante pour ne plus avoir de terme en w2, c'est-a-dire, pour annuler le coeffic-ent de w2 dans l'expression en w que ça donne. b2 Ici, on s'aperçoit qu'il faut poser y = w t r 2 -?Y ce qui donne ’ Dans le cas des équations du 3e degré (*) w3 + (-$b4)wt Ouvrons ici une de la forme $llb2-Z7r2) = 0 Cl) (Nz perdons pas de vue que w vient de y q!ciest le earré de z qui est rcoswt) assez longue) parenthèse pour discuter de l'Çquation w3 + pw t q = o< Une méthode d'attaque de cette Çquation consiste a exprimer d'abord l'inconnue w sous la forme w=utv ce qui donne u3 + v3 + (p + 3uv)(u + v) + q = 0 puis a choisir u et v de façon que p t 3uv = 0 (ce qui va simplifier l'a llure de (2)). (3) Remarquant que la condition p t 3uv = 0 est la même chose que nous avons ramer-6 le probleme de la solution de (1) a celui de la solution du systeme c u3 t v3 = -q (4) (5) (012Z'équation (41 provient de (21 eomptz tenu de (3)); mais, mettant au cube chaque membre de (j), on a que chaque solution du systeme (S) sera aussi une solution dj systeme l’) En généra2 dans ay t by2 t cy t d = 0, on pose y = w - & pour obtenir une équation en w sans ?erme de degré 2. (4) (6) Attention: Toutes les solutions (u, v) de (S) sont parmi les solutions m (T) mais il peut y avoir des !;olutions de (T) qui ne sont pas solutions de (S). À partir de (T), un vieux truc vu a l'école secondaire nous permet de retrouver, non pas tout de suite u el: v mais au moins u3 et v3: en effet, donnÇs deux nombres A et B, i-s sont racines de l'Çquation (en s) qui s'krit s* - (A i-B)s i-AB =:0; donc, si on conna'Ît la somme et le produit de deux nombres, on peut trouver une Çquation du second degrÇ dont ils sont racines, il ne restera ensuite qu'a rÇsoudre cette équ;.tion du second degré pour trouver l'ensemble formé de ces deux nombres. Ici, posant u3 = A, v3 = B, le systsme (T) nous place dans cette situation et il n'y a plus, qu'a résoudw l'Çquation s* - (A i-B)s t AB = 0 c'est-a-dire (7) pour trouver A = u3, B = v3; r@solvant (7) a l'aide de la formule pour rf%oudre une Çquation du second degrÇ on trouve Comme le système (S) que nous voulons à la fin résoudre est symétrique en u et v, on ne perd pas de géneralité en posant u3 = A =-s+/$zg v3 = B -9- Remarquons que A et B peuvent être complexes non-rÇels (ils le seront quand et si nous designons par N un nombre complexe quelconque, et par une (fixee) des racines cubiques de N, alors les autres seront fl Où -r= -1 t i0 2 et T2 ---z _ -1 - i43 2 F sont les deux racines cubiques de 1 autres que 1. (cf. figure &-dessous) Notant ,% l'un des nombres u tels que u3 = A, fi l'un des nombres v tels que v3 l B, il y a a priori neuf possibilitÇs pour l,i solution (u, v) de (S) Pu isqu'on a 3 choix pour u et 3 choix pour v: u=?Kou u=T97ïouu=-r2?7ï v=%ou v=T%ouv=T2%; cependant, le systeme (S) prÇcise que UV = -$ fef. (LT)). Comme notre 8? est une racine cubique fixe mais arbiwaice de B, choisissons de -lO- noter % celle des trois pour laquelle WL=-$ CZ?une des trois racines eubiques de B Tatisfait l'&quation ci-dessus car, rappelons-le, les solutions de (Sj sont parmi Zes sohtions de CT) ZesqueZZes sont données par Zes neuf pxsibiZités mentionnées h-dessus). Comme on a dejZ! le couple (u, v) où u = est solution de (S). n, v = 5 Pour u = 8?, la valeur v = % trois valeurs possibles de v qui fasse de (u, est la seule des une solution de (S) v) si p # 0 car si v = 637, alors UV = ?R-(+E) = -3 z -$- si v = -r2$iT,alors UV = $K(?$IT) = -9 8 -5 (quant à la supposition p * 0, on peut se la permettre pour deux bonnes raisons: 2'un.ethéorique: si p = 0, l'équation (1) devient w3 = -q et ses solutions deviennent w = G, W = Tfi, W = ~~~ lavee répétitions si q = O), on peut done eonsidérer Ze probZème résoh Ze eus p = 0 et ne traiter que Ze cas p # 0; l'autre pratique: icf, dans notre problzme de pistion, lléquation (1) est ZIéquation f*J Cd2 la page 7) et p = -3" non nul car est la bieZZe d'un moteur est de Longueur b non miZZe!J. De meme, pour u = T%, la seule des troi:; valeurs de v qui fasse de (u, v) une solution de (S) sera v = -r2% et pour u = -r2,%, la seule des trois valeurs de v qui fasse de (u, 11) une solution de (S) sera v = -r% Des neuf possibilit& initialement envisagees, il n'en reste plus que trois qui sont solutions de (S) a savoir dans -ll- u=fietv=$E u = ~?Ket v = ~~3: u = -ï2?IT et v = -S%T ce qui donne comme solutions de l'equaticln W3+ QW t q =o: rappelons-le, T = -1 tifi 2 A=-$tfw B = -8 -m et fiet $'IT sont choisies de façon que fi,% = - : . Remarque importante: Si A n'est pas Me1 (et si Q et q le sont), disons A = a t bi, a c IR, b c IR, on est pas sOr en general de pouvoir exprimer fi = a' + b'i, a' E il?,b' E Il? avec a' et b' dÇcrits seulement a l'aide de radicaux (cubiques, carres ou autres) de nombres reels obtenus a l'aide de a, de b et des opÇrations d'addition, soustraction, multiplication et division par un nombre non nul: on se trouve alors dans ce que les mathÇmaticiens de la renaissance appelaient le "casus irreducibilis". Le lecteur interesse a en savoir davantage sur ce cas pourra consulter le livre Algebra de Van der Waerden (Ungar 1977) OÙ il trouvera à la section 8.8 du chapitre sur la théorie de Galois, la preuve qu'il est impossible de rÇsoudre l'Çquation (1) par radicaux réels dans le cas où les racines ne sont pas exprimables deja en quotients de QolynOmes en Q et q a coefficients entiers. Dans ce cas, la valeur de I% doit être %' (l). (') Rappelons que le conjugue d'un nombre complexe c = a t bi, a E IR, b E l?? est F = a - bi, que la partie rÇelle et la partie imaginaire de c sont respectivement les nombres rÇels Re(c) = a et Zm(c) = b, le module de c est -le nombre réel Ici = m E IR; on vérifie CT = ic12 et c-d = cd. -lZ- En effet, A n'etant pas rÇel alors que p et q le sont, on a B = r, puis --(?%)3 = ,%*m*$%.= (,%)3 =A= B ce qui montre que x est bien une des racines cubiques de B; de plus, = /Ai2 c II! (m-(%i) or, pour les deux autres choix possibles de a, soit TX et TIR, on trouve (K)+Q BR et ne peut donc êgaler - $ c R. Les racines de l'Çquation (1) sont alors ( Wl = Z-RCL(%)~ %+E= w2 = TJ?Ti- T2E NJ) 1 = T,% + -rfi = CRC+?%) 6W car 2 = T ce qui nous donne trois racines rÇelles precisement dans le cas où A n'est pas r$el! Il est maintenant temps de refermer la pc.renthi?seouverte a la page 7 et de retrouver l'Çquation (*). 5. Solution de l'equation (*). w3 t (- $44 b4 )w t dllb2 - 27r2) = 0 Avec les notations de la section précéderte, on trouve _ 8 = (27r2 - llb2)t4 54 ainsi que - - Z c d n c e ee s' e et b > O d u s e m n o s s =Z$ 5 sr s e é s in tst rg e -b b m ie st re . b I a - i st re< b cs i c iq o n avoir t2 ( n doit même 0 t b5& b- b 2u C 2 ue . t c i0i zb& 2a u 1 ' r2 e, t l ('t quel r >, 0 Ve- e u lls .c o r22 2 i + e e r Usa m eet .a u eZe c sb comme n r montre le u l m r Za figure de la page 2). O D s r e d "o t ai cn r nr ac o sr s ue u 2 + l* l 7 6u bt 2 r m 2 72 ) ) r ( b B = $ - l ' 2 - i* l + 7 6u bt 2 r = p x 2 72 ) ) r ( d l te v f e ( l us R p t q . 0 8 =r 4 A a c s u r di o n t o m e Cear e 2 Zm(A) > 0 = / a s e c R op s ro e lo u u C< l e l rl nr a l e , au d s ( o o Çl ut r to cv e tr r a t \f t l- - r _ 5 b( 2 2 u 2 r 22 7 $ i ie q b l A Fr comme b ) 2 -c2 -c observé) (car 7 P m *ii ee )b fear b > r : on a mZne observé ei-haut b > 2 - l& ) )7 r & ( ( b Le Zeeteur courageux 6 véri,fierales eaZeuls; le lecteur attentif se rappeZlera quz [ l f qu'ieip=-3 l m A et ique A d 8 b Z = /- g ti - :s 39 , -273 A s - e - l e / l A = $ p q nd e > - t ) droù IA1 = $6. d c CsystSme 3 CT), page 8 es r l e l ip C oa l z O 6 Rc(A) .C0 et Im(A) > 0. od cu o ' sh a lr a ao ne -a er u a sa Ù 'r cr n c r ic oe Posons Où $Z7r2C$ = Arccos (cap COS($) = llb2) [Ai [A[*I&T(A)]. Prenons pour fi la valeur qui se situe dans le premier quadrant (2) ( ‘) Formule de De Moivre: OÙ k E 10, 1, 21. les racines eubiques de A sont y e' Les trois racines de (*) Cvofr Zes &quabions CU) pagel2) restent 8 être exatninf5es: /A\cos(7~/3)< Re(A) .C [A~cos(T/~) (voir figure préeédente) d'où 2b2 -= 3 2b2 1 2 y-07 < 2=Re(A:l = wl. Si wl mh-te a une solution de notre problsme, alors d'où (Revoir Zes définitions z=f+ b2 Cear y et 3 de y et ~5 Za page 6) t r2 sont positifs) cosLlJt = $ > /gzl une contradiction pour le cosinus d'un nombre rÇel; donc wl ne mh-te pas à une solution de notre problème. w2 = 2*Re(T=%) --------------v Or (voir figure) Si wz mGne à une solution de notre probleme, alors -16- y = w2 r2 - t g2c-2b2&, 3 r2 _ F b2(2n _--..- r2 + 1) 3 < r2 -b2<0 mais y = z2 et z = cos&_ étant réel, son carr6 ne peut Gtre négatif; donc w 2 ne mène pas à une solution de notre probl$.me. = 2*&?(T2*9K) (e?est Za seuZe possikiZité qui reste!) ---~~~~~--~~~~~~ w3 Alors fef. équation (9)) ~~fl= e-(2W3).2b2_$W) 3 = 2tt.ei(W 7 b yfcos($- $q t - 2~r/3) i*sin(+ - $1 d'où w3 z ~.Rc(T~~ z ($ - 9) 4b2 -~OS($. _ $?L) + r2 - g y=w3+r-2-F=T rcos0 = rcoshxt = & 8 = Arccos $$OS z z2 fef.section 3.) = = Arccos(r ZZjZZ$- p) tr2 - g) Se rappelant Cef. page 14) que 27 r2 $ = ArccosC(E)(E) --11 l& on peut finalement écrire la réponse a notre problsme Capès substitution de (11) dans (10)) L'ANGLE 6 =Ut POUR LEQUEL LA VITESSE DU PISTON DANS LE CYLINDRE EST MAXIMUM EST DONNÉ PAR LA FORMULE 0 = Arccos 1 t 3:) 2 C4cos{$rccosC$k) 2 - El - p1 - 11. l -17- 6. Conclusion. On constate finalement que l'angle 8 pour lequel la vitesse maximale est atteinte ne depend que ciu quotient r/b. La formule qui donne 0 exactement est assez horrible! Cependant, nous avons remarquÇ a la fin de la section 2 que, au moins sur l'exemple concret envisage, 6 n'etait pas loin de l'angle Arctg(F) qui rend l'angle TMA êgal a un angle droit. Nous nous sommes demande s'il ne s'agissait que de chance dans ce cas... Eh bien non! Pas uniquement de chance. Nous laissons au lecteur le soin de montrer que plus r/b est petit, plus prGs d'un angle droit se trouve l'angle TMA, de sortes qu'on peut se faire une bonne idÇe de la vitesse maximale du piston en se contentant de remplacer ut par Arctg(b/r) dans la f'ormule de la vitesse x'(t) donnee en page 3. Comme dans ce cas TMA est un triangle rectangle, d'où la formule approximative pour la vitesse maximale: (en valeur absolue) VAPP = +%'r' i b'-. Qu'on la compare a la formule qui dorne la vitesse maximale exacte: (obtenue en remplaçant ut (en valeur absohe) par Za valeur exacte de 8 dans x’(t)) n'y G pas de place ici pour eerire VEXA au complet: allez vcir le tableau en annexe) (il VEXA = et on comprendra pourquoi on se contente souvent d'approximations dans des problemes du genre.. d'autant plus que dans le cas prÇsent, l'approximation est assez bonne dans tous les cas mÇcaniquement vraisemblables (b/r au moins 3) comme on pourra s'en faire une idée en regardant l'annexe OÛ on trouvera, pour diverses valeurs de r et b (par ordre déeroissant de valeurs de r/bj, calculees (l) les valeurs de 6, de l'angle TMA, de VAPP ainsi que de VEXA. (‘) P l'aide de l'ordinateur Cyber 171 de l'universitÇ du Québec. Bien qu'on ait rÇsolu le probleme pose, bien des questions meriteraient encore de l'attention; nous terminons ce travail en en soumettant quelques unes a la reflexion du lecteur. Themes de reflexions et exercices. 1. 6 et TMA, en tant que fonctions de r/b semblent (à l'examen de l'annexe II) tendre vers un angle droit quand r/b tend vers zero. Prouvez. Sont-elles croissantes? 2. Expliquez intuitivement, a la lumiere de notre conjecture de la section 2 et du rÇsultat final, pourquoi notre intuition premier-e devait Wre modifiÇe et comment il se fait que le resultat final soit quand même, numÇriquement, si pres de notre intuition premiere. (Regarder les exemples en annexe II). 3. Calculez des valeurs de 6, de VAPP et de VEXA a l'aide d'une calculatrice de poche. Arrivez-vous aux mêmes rÇsultats en changeant de calculatrice? Votre valeur de VAPP est-.elle plus fiable que celle de VEXA? Perdez vous de la prëcision en ëvaluant beaucoup de fonctions trigonometriques. Pouvez-vous estimer cette perte. 4. Donner un estime de l'erreur (pourcentage d'erreur) de VAPP par rapport a la valeur exacte VEXA. En d'autres mots, quelle est l'erreur maximum (indÇpendante de b et r) qui peut se produire. Le prouver (a l'aide de 1. ?). 5. Demandez-vous si vous auriez pu rÇpondre aux questions 2 et 4 en ne vous servant que des formules a l'annexe 1 sans voir les exemples a l'annexe II. 6. Consultez les spÇcifications d'une voiture (votre voiture si vous en avez une) et calculez la vitesse maximale a laquelle le piston peut se deplacer dans le cylindre. Compte tenu des metaux dans lequels sont fabriques piston et cylindre, calculer le rÇgime maximum auquel votre moteur de voiture peut tourner sans dommage cause par une friction trop rapide des metaux. 7. Expliquez intuitivement ce que vous avez trouvÇ en 1. ANNEXE 1 L'ANGLE 0 (=Ut) POUR LEQUEL LA VITESSE DU PISTON DANS LE CYLINDRE EST MAXIMUM: 8 = Arccos z 1 t i(b) [4cos{!jArccos[$$-(ff)2 - SI +-11 L'ANGLE TMA ENTRE LA BIELLE ET LE RAYON TM: 2 TMA = Arccos $$$--C!! l+?4r2 [ 1 z ttj-4 !!l)(b2 s $-C!!l)} où C!!l désigne [4cosf$xcosC$$ff) VAPP = Fr' 2 11 - ~1 -+11 t bT LA VITESSE MAXIMALE EXACTE DU PISTON DANS LE CYLINDRE: L t ,! VEXA = ub - $_4cos{$kccosC$$t) !$4cos{$ArccosC~(~) - $1 -+11 - $1 1 t 2$4cos{+rccos[+$~) - El 2z -+11 7 - A I L N v a a I i e b 2 1 3 5 1 7 1 E t r T t C 1 1 n 2 r C s N s (s0 et a / It W b so d U IE e 1 Cd E / A s 8 0 4 27 . 0 2 .. 7 0 . 20 2 0 . 0 5 07 . . 3 01 8 . 3 1 1 . 1 3 1 . 2 7 3 . 1 3 1 0 2 7 3 .1 8 . 3 10 1 O P s Sr . 8 30 3 1 1 . 7 er ‘ 07 0 O U A MT CU/Sl e s 0a4 . . 01 4 . M su / 0 6 3 S 0l. . 7 . 8 7 2u9 0 5 . TH d t E . O 0 0 6 0 . X 1 . 7 0 O 2 . 0 1 7 0 . . 8 3 3 0l 8 . 3 1S . 1 3 5. 2 7 3 3 0 0 5 7 . . . 8 50 2 02 8 * 8 2 1 . 1 S 1 . 6 3 7 2 7 . 0 . 7 04. 2 6 s 72 46 . 97 4 .. 47 . 39 38 1 3 .0 . 7 0. 7 6 S 2 28 . 7 2 .. 6 0 . 10 0 3 8 S0 2 02 9 . 7 2 1 . 9 0 1 . 0 0 3 1 3 1 0 0 4 7 .0 7 . . . . 7 0. 0 8 6 2 29 . s 2 .. 7 o . l1 2 o 1 1 . 0 7 7 2 . . 9 7 2 5 99 . 4 6 .. 1 0 . 02 9 0 6 2 . 0 7 7 1 . . 6 7 2 31 9 . 2 1 3 . 9 3 3 . 4 6 4 5 2 . 0 3 7 0 . . 8 6 2 01 9 . 1 1 0 . 2 7 0 . 4 S 4 4 2 . 0 9 8 1 . . 8 2 1 5 89 . 3 6 .. 2 9 . 66 3 0 4 3 . 0 7 8 0 . . 6 3 1 0 89 . 0 6 .. 8 8 . 49 9 1 8 0. 0 6 7 0 . 1 6 . 5 01 0 . 1 0 0 . 9 4 0 8 9 0 80 . 0 . 9 .. 7 4 0 . 30 7 0 S 4 1 1 .0 . 0 0 0 8 0 . 0 0