Chapitre 6 : Oscillations mécaniques forcées à un degré de liberté

Mécanique
Chapitre 6
PTSI
−
On s’intéresse dans ce chapitre à la réponse (en amplitude et en vitesse) d’un oscillateur
mécanique à une excitation sinusoïdale.
Cette étude sert de modèle pour traiter une grande variété de phénomènes obéissant au même
type d’équations différentielles (circuits électriques soumis à une excitation sinusoïdale,
membrane d’un haut-parleur, atomes ou molécules excités par des ondes lumineuses,
sismographe, etc.)
I. Réponse d’un oscillateur amorti par frottement fluide à
une excitation sinusoïdale
Système étudié et équation différentielle du mouvement
On s’intéresse à :
un point matériel M de masse m,
évoluant suivant un seul degré de liberté, noté x,
dans un référentiel galiléen,
Bilan des forces :
amortissement par frottement fluide f = −αv ,
force de rappel T = −k ( −
excitation sinusoïdale
poids.
)e x ,
F (t ) = F (t )e x
0
= F0 cos(ωt )e x ,
En choisissant judicieusement l’origine du degré de liberté, l’équation du mouvement de ce
système s’écrit sous les formes suivantes :
mx + αx + kx = F (t )
α
k
F (t )
x+ x+ x =
m
m
m
F (t )
x + 2λx + ω02 x =
m
ω
F (t )
x + 0 x + ω02 x =
Q
m
k
mω0 ω0
facteur de qualité.
avec ω02 =
pulsation propre de l’oscillateur, Q =
=
m
α
2λ
Si F(t) = 0, on retrouve l’équation différentielle décrivant les différents régimes libres.
L’exemple étudié dans le cours est un ressort vertical à origine mobile, notée A. L’équation
différentielle s’écrit alors :
mx + αx + kx = kx A (t )
.
ω
x + 0 x + ω 02 x = ω 02 x A (t )
Q
1
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Régime transitoire – régime sinusoïdal forcé
La solution de l’équation précédente est la somme d’une solution particulière xSP (t ) et d’une
solution sans second membre xSSSM (t ) . On s’intéresse uniquement à des excitations
sinusoïdales et on se placera toujours en régime permanent si bien xSP (t ) sera de type
sinusoïdal et que l’on pourra négliger xSSSM (t ) correspondant au régime transitoire au bout de
quelques fois la durée caractéristique τ de ce régime :
x A (t ) ou F (t )
n×τ
Excitation
0
x SP (t ) + x SSSM (t )
Transitoire
Solution
Régime
t
xSP (t )
Sinusoïdal permanent
II. Étude du régime sinusoïdal forcé
Représentation complexe
Pour une excitation x A (t ) = A cos(ωt ) , le RSP est de la forme x(t ) = X cos(ωt + ϕ) . Le
passage en complexe de l’équation différentielle donne :
ωω0
− ω2 X + j
X + ω02 X = ω02 A avec X = X exp( jϕ) .
Q
Résonance en amplitude
Après calculs X se met sous la forme X =
Soit en module X =
A
(1 − x )
2 2
Si Q <
x2
+ 2
Q
A
1− x2 + j
x
Q
avec x =
ω
.
ω0
.
1
≈ 0,707 , cette amplitude ne présente pas de maximum, il n’y a pas résonance en
2
amplitude.
Si Q ≥
1
2
, cette amplitude présente un maximum en xres = 1 −
1
. L’amplitude à la
2Q 2
QA
. Cette quantité est d’autant plus grande que Q est
1
1−
4Q 2
grand. De même plus Q est grand plus la résonance se produit proche de la valeur x = 1.
résonance est alors X (xres ) =
Les courbes de résonance en amplitude sont alors de la forme :
2
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3
Q = 0,4
Q = 0,707
Q=3
X/A
2
1
0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
pulsation réduite x
Résonance en vitesse
Pour trouver l’amplitude complexe de la vitesse on remarque que V = jω X soit après
QAω0
QAω0
calculs V =
et en module V =
.
2
1
1
1 + jQ x −
1+ Q2 x −
x
x
La résonance en vitesse se produit en x = 1 et l’amplitude de la vitesse à cette pulsation est
Vres = QAω0 .
On obtient le réseau de courbes suivant pour différentes valeurs du facteur de qualité :
10
Amplitude de la vitesse V/(Aω0)
8
Q = 0,5
Q=1
Q=3
Q=9
6
4
2
0
0,0
0,5
1,0
1,5
pulsation réduite
3
2,0
2,5
3,0
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PTSI
On observe donc des analogies avec les résonances en intensité et tension pour le circuit RLC
série :
Domaines de la
Électrocinétique
Mécanique
physique
Résonances
Intensité
Vitesse
Caractéristiques
Existent quel que soit Q.
communes
Se produisent pour x = 1.
Résonances
Tension aux bornes du
condensateur
Amplitude des oscillations
N’existent que si Q ≥
Caractéristiques
communes
1
2
.
1
.
2Q 2
QA
Le maximum vaut X (xres ) =
.
1
1−
4Q 2
Se produisent pour xres = 1 −
III. Étude énergétique
Bilan de puissance instantanée :
1 2 1 2
kx + mv . Les variations de cette énergie
2
2
sont uniquement dues à l’énergie dissipée par frottement et à l’énergie fournie par le système
excitateur :
dEm
= pdis. + pfournie .
dt
1 2
1
Les fonctions x(t ) et v(t ) étant périodique, on a en moyenne
kx = mv 2 = 0 .
2
2
L’énergie mécanique à un instant t s’écrit Em =
Bilan de puissance moyenne :
Ainsi, le bilan de puissance moyenne s’écrit :
pdis. + pfournie = Pdis. + Pfournie = 0 soit Pfournie = − Pdis.
La puissance moyenne fournie par la force excitatrice compense exactement les pertes par
frottement fluide.
IV. Analogie électromécanique
Il existe une analogie frappante entre un circuit RLC série alimenté par une tension
sinusoïdale et une masse reliée à un ressort, soumise à des frottements fluides et dont l’origine
A est mobile sinusoïdalement.
Les équations différentielles vérifiées par la grandeur oscillante sont de la forme :
q
Lq + Rq + = e(t )
mx + αx + kx = F (t ) = kx A (t )
C
4
Mécanique
Chapitre 6
PTSI
Tableau comparatif :
Grandeurs électriques
Grandeur oscillante : charge du
condensateur
Dérivée de la grandeur
oscillante :
intensité du courant
Inertie au changement de i :
inductance
Grandeurs mécaniques
i
L
Capacité du condensateur
C
Grandeur quantifiant
l’amortissement
R
Énergie magnétique
Énergie électrostatique
Puissance dissipée :
par effet Joule
Puissance instantanée fournie
par la source de tension
Définition de l’impédance
électrique complexe
Expression
dans le cas présent
Grandeur oscillante :
position de la masse
Dérivée de la grandeur
oscillante :
vitesse de la masse
Inertie au changement de
v : masse
Inverse de la constante de
raideur du ressort
Grandeur quantifiant
l’amortissement
q
1 2
Li
2
1 q2
2C
Énergie cinétique
Énergie potentielle
élastique
Puissance dissipée :
par frottement fluide
Puissance mécanique
instantanée fournie
Définition de l’impédance
mécanique complexe
Ri 2 (t )
e(t )i (t )
Z=
U
I
R + jLω +
1
jCω
5
Expression
dans le cas présent
x
v
m
1
k
α
1 2
mv
2
1 2
kx
2
αv 2 (t )
kx A (t )v(t )
Z=
F
V
α + jmω +
k
jω