R2_plus cours chemin
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Département d’Informatique Master Big Data Analytics & Smart Systems Realisé par : Encadré par : Salma Largo Pr.Meknassi Khalid El masry Année universitaire : 2016/2017 Introduction : Un problème de plus court chemin est un problème algorithmique de la théorie des graphes. L'objectif est de calculer un chemin entre des sommets d'un graphe qui minimise ou maximise une certaine fonction. Il existe de nombreuses variantes de ce problème. On suppose donné un graphe fini, orienté ou non selon les cas ; de plus, chaque arc ou arête possède une valeur qui peut être un poids ou une longueur. Un chemin le plus court entre deux nœuds donnés est un chemin qui minimise la somme des valeurs des arcs traversés. Pour calculer un plus court chemin, il existe de nombreux algorithmes, selon la nature des valeurs et d'éventuelles contraintes supplémentaires. Dans de nombreux cas, il existe des algorithmes de complexité en temps polynomiale, comme l'algorithme de Dijkstra dans des graphes avec poids positifs. En revanche, lorsqu'on ajoute des contraintes supplémentaires comme des fenêtres de temps, le problème peut devenir NP-difficile. L'exemple d'application le plus courant est de trouver le trajet le plus court entre deux agglomérations. Ce problème d'apparence simple, puisqu'il s'agit simplement d'additionner les distances kilométriques, devient plus compliqué si on veut en déduire le temps de parcours : l'intensité du trafic, le temps de traversée des agglomérations, sont des contraintes additionnelles. La recherche de chemin, ou pathfinding, est au contraire un problème de l'intelligence artificielle qui se rattache à la planification. Il consiste à trouver comment se déplacer dans un environnement entre un point de départ et un point d'arrivée en prenant en compte différentes contraintes. Il devient un problème complexe lorsque l'on cherche à prendre en compte diverses contraintes additionnelles (exécution en temps réel, présence d'incertitudes, contrainte de ressources, environnement évolutif, etc.). Définition du problème : On peut s'intéresser à la recherche d'un plus court chemin dans un graphe : 1 - entre deux sommets donnés 2 - d'un sommet à tous les autres 3 - entre tous les couples de sommets Le problème 2 n'est pas plus difficile à résoudre que le problème 1 et le problème 3 peut être résolu par application du problème 2 à tous les sommets. On s'intéresse donc au problème 2. SALMA LARGO & KHALID ELMASRY Page 2 Solutions : Algorithme de Dijkstra : En théorie des graphes, l'algorithme de Dijkstra (prononcer [dɛj.kstra]) sert à résoudre le problème du plus court chemin. Il permet, par exemple, de déterminer un plus court chemin pour se rendre d'une ville à une autre connaissant le réseau routier d'une région. Plus précisément, il calcule des plus courts chemins à partir d'une source dans un graphe orienté pondéré par des réels positifs. On peut aussi l'utiliser pour calculer un plus court chemin entre une source et un sommet d'arrivée. Algorithme : Algorithme de Roy-Floyd-Warshall : L'algorithme de Floyd-Warshall (parfois appelé algorithme de Roy-Floyd-Warshall car décrit par Bernard Roy en 19591) est un algorithme pour déterminer les distances des plus courts chemins entre toutes les paires de sommets dans un graphe orienté et pondéré, en temps cubique en le nombre de sommets. L'algorithme de Floyd-Warshall prend en entrée un graphe orienté et valué, décrit par une matrice d'adjacence donnant le poids d'un arc lorsqu'il existe et la valeur oo sinon. Le poids d'un chemin entre deux sommets est la somme des poids sur les arcs constituant ce chemin. Les arcs du graphe peuvent avoir des poids négatifs, mais le graphe ne doit pas posséder de circuit de poids strictement négatif. L'algorithme calcule, pour chaque paire de sommets, le poids minimal parmi tous les chemins entre ces deux sommets. Algorithme : SALMA LARGO & KHALID ELMASRY Page 3 Réferences : https://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_de_Floyd-Warshall http://ressources.aunege.fr/nuxeo/site/esupversions/2b1c56b6-109d-488a-94a33ea525f8beef/ModAidDec/cours/l3/l3.pdf SALMA LARGO & KHALID ELMASRY Page 4
